比較，讓數學概念更清晰

劉三榮

數學概念是學生學習的基礎。小學生對概念的理解和掌握程度影響其數學運算能力、邏輯思維能力和解決實際問題能力的形成與提升。在教學中，教師應引導學生充分經歷比較過程，幫助學生透徹地理解數學概念。

一、比較中求異，厘清概念區別

有比較才有鑒別。比較是確定事物之間相同點和相異點的一種重要思維方法，是小學生客觀、全面地認識數學概念的重要途徑之一。從某種意義上說，學生的一切學習活動都離不開比較。比較可以幫助學生較好地辨析數學概念的異同，把握概念的本質屬性。在概念相似之處很明顯的情況下，教師要致力于引導學生求異，也就是要在比較概念中發現其各自的個性。

如在比較周長和面積概念的不同之處時，我先引導學生獨立思考，再全班交流，最后發現他們的意義、單位和計算公式都不同。比較意義時，一位學生指著長方形說：“周長是它一周邊線的長度;面積是它表面的大小。”隨后，大家形成共識——周長指長方形四條邊的長度，面積指長方形面的大小。比較單位時，我拿出一把直尺、一根1分米長的小棒和面積1平方分米的正方形紙片。學生用直尺或小棒測量長方形周長，用正方形紙片測量長方形面積，并說明測量長方形周長其實就是計數周長有多少分米，測量面積其實就是計數鋪滿長方形的紙片有多少個1平方分米。在此基礎上，我引導學生分別想象米、分米、厘米以及平方米、平方分米、平方厘米的大小。

用比較的方法讓學生逐步建立空間表象，能促使他們加深對幾何概念的認識。學生在思考、交流和操作中形成了面積單位和長度單位的表象。善于利用比較的方法，有助于突出概念的認知重點，有助于突破概念理解的難點，從而防止學生混淆概念，提高辨別能力。

二、比較中求同，了解概念共性

只要有恰當的中介，人們就能把兩個毫不相關的事物或密切相關的事物聯系起來，進行比較。求同是學生在不同數學概念進行比較中發現共性的過程。一般而言，在概念的不同之處較為明顯的情況下，教師要致力于引導學生學會在比較中求同。

如在學生比較周長和面積，發現其不同之處后，可以引導他們思考兩者之間有沒有相同之處。經過獨立思考、反復討論和交流，他們最終發現：周長和面積都是基于封閉圖形而言的，否則就不用計算周長或面積（比如角）;一般情況下，計算周長和面積都要帶單位、計算長方形的周長和面積都需要知道長和寬。

理解數學概念的過程離不開學生對不同概念之間的相互比較。比較思維是學生進行辨證思維的主要形式。在比較中既求異又求同，符合學生認識概念的一般規律。雖然學生發現周長和面積的相同點有一定難度，但這恰恰是知識的本質。讓學生學會對不同概念之間發現相同點，有助于學生掌握數學學習方法、積累數學學習的經驗。

三、比較中判斷，溝通概念聯系

弄清概念的內涵與外延是學生正確理解和掌握數學概念的標準之一。理解數學概念的內涵，就要把概念的本質屬性揭示并表達出來;厘清數學概念的外延，就要理解概念間的相互聯系。如可以通過判斷練習，引導學生從概念的正、反兩方面進行理解，進一步讓學生建立準確的周長和面積概念，突出概念的本質屬性，明確概念的外延，幫助學生在溝通概念之間的聯系中理解周長和面積的本質。

首先，可以出示3個問題讓學生判斷：如果平面圖形的周長越大，它的面積就越大嗎？如果長方形的周長相同，它們的面積就相等嗎？如果長方形面積相同，它們的周長就一定相等嗎？判斷第1個問題時，學生都否定了。有的學生畫出長10厘米、寬2厘米的長方形與邊長6厘米的正方形進行比較，結果他們的周長相等，但長方形的面積較小;有的學生在一個長方形里畫出周長大但面積小的圖形，說明周長越大的圖形面積不一定大。判斷第2個問題時，一位學生舉例說明：用20米長的籬笆圍一個羊圈，可以分別圍成長9米寬1米、長8米寬2米、長7米寬3米、長6米寬4米的長方形，還可以圍成邊長5米的正方形。這些圖形周長相等、面積不同;長和寬越接近，面積越大;長和寬相等時，面積最大。判斷第3個問題時，我要求學生設計一個面積是40平方米的游樂場，并計算它的周長。學生獨立設計并交流后發現，長方形面積一定（或相等）時，長和寬越接近，周長就越小。

概念是思維的“細胞”。如果沒有數學概念或者無法正確理解和掌握數學概念，學生就無法進行正確判斷或推理。解決以上3個問題時，學生要對周長和面積的概念十分清楚，才能進行判斷和推理。組織學生用判斷的方式辨析概念，可以加深他們對概念的理解，從而幫助學生理順平面圖形周長和面積之間的關系，促進概念的內化。

四、比較中應用，形成概念結構

應用概念有助于學生鞏固和加深對概念的認識，學習數學的過程其實就是不斷利用數學概念進行比較、分析、綜合、概括、判斷、推理的思維過程。教師要從發展學生思維的角度，精心設計練習，引導學生在應用中鞏固和加深對數學概念的理解。其中，最重要的應用是根據所學概念解決實際問題。

基于此，在此較長方形和正方形的面積概念時可以設計這樣的三道練習題：

1.一塊長方形菜地，長20米，寬10米。這塊菜地的周長和面積各是多少？

2.一副長方形“十字繡”長50厘米，寬30厘米。給這幅“十字繡”做一個畫框，至少需要多長的木條和多大的玻璃？

3.下面的圖形都是用邊長1厘米的正方形拼成的，你能分別求出它們的周長和面積嗎？

學生獨立練習后，我引導他們交流并比較：第1題是基本應用，只要直接利用周長和面積公式進行計算即可;第2題是變式應用，求木條長度就是求長方形周長、求需要的玻璃就是求長方形面積，這樣有助于學生加深對周長和面積的理解，使學生在解決實際問題的過程中對周長和面積的內涵與外延有了更多認識;第3題是拓展應用，有助于學生在知識拓展與靈活運用過程中內化周長和面積的意義。這三道題雖然都要分別求出各自的周長和面積，但思維層次不同，計算方法也不盡相同。

學生在運用概念時會先有判斷、比較，不會盲目使用，遇到客觀存在的現象，會有一定的數學敏感性。組織學生在應用中比較周長和面積概念，不僅能加深他們對周長和面積意義的理解與鞏固，而且能幫助他們完善周長和面積的知識鏈，最終有效促使學生形成完整的概念認知結構。

（責任編輯：楊強）