數形結合　培養小學生的數學推理能力

周小青

推理能力是《義務教育數學課程標準（2011年版）》中的核心概念，是數學核心素養的重要內容。發展學生的推理能力是數學教學的重要任務，應貫穿于整個數學教學過程中。教學中，要讓學生經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發展學生的合情推理能力和初步的演繹推理能力，并能有條理地、清晰地闡述自己的觀點。

一、以“形”促“觀”：培養學生推理能力的前提

推理是由此及彼的推演過程，沒有觀察就沒有辦法了解“此”與“彼”之間的關系，就談不上推理。因此，觀察是推理的重要前提。通過觀察找到“此”與“彼”的關系并進行推理，直觀圖是一個很重要的載體。教學中，要通過直觀圖的“形”，促進學生更好地觀察，使其將抽象的知識和關系直觀化，并用直觀圖進行表示。這樣，學生就能在直觀觀察中發現問題，引發思考，從而培養推理能力。

如教學“植樹問題”一課時有這樣一道題：在全長20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵？教學中，可以先讓學生畫圖表示如何栽種，并寫出答案。然后，引導學生觀察和思考他們得出的三種種法有什么相同與不同，并提問：“你能利用圖示來解釋為什么只栽一端和兩端都不栽的列式依據嗎？”學生借助圖，從上往下觀察（也可以從下往上觀察），很快發現樹與間隔的關系，利用間隔與樹的一一對應關系解釋三種不同種法的列式道理。最后，引導學生在觀察的基礎上進行比較，從相同處發現規律，從不同中找本質區別， 引發思考。學生就會明白：觀察時要注意方法，做到有序觀察，有重點地觀察，多角度地觀察。這樣，學生在觀察中獲得了豐富的感知，為推理做好了準備。

二、以“形”促“思”： 培養學生推理能力的保障

數學知識的本質既表現為隱藏在客觀事物背后的數學知識、數學規律，又表現為隱藏在數學知識背后的本質屬性。學生只有將數學知識真正內化為自己的認知，才能完成由“此”及“彼”的推理過程。由此可見，圍繞核心問題進行數學思考是學生推理的保障。教師可以把抽象的數學知識借助圖形變得直觀，激發學生的思考，讓思考有目的、有對象、有方向，從而找到知識間的本質聯系。

在“長方體體積”一課的教學中，我提出了以下核心問題引導學生思考：回憶一下長方形面積計算公式是如何推導的？長方體體積我們該怎樣進行探究？長方體的體積會是怎樣的？

當學生建議也可以用拼擺的方式來推導出長方體的體積時，我順勢出示幾個相同的小正方體組成的長方體，學生借助直觀圖猜測、推理出了長方體的體積等于長×寬×高。如何驗證用經驗推斷出的結論是否正確？學生有了不同的驗證方法：

（1）利用手中的長方體再次擺一擺，通過觀察記錄和計算，發現：每排的數量×排數×層數=小正方體個數。也就是：長×寬×高=長方體體積。

（2）借助直觀圖，可以看成長方體是多個相同的長方形疊加在一起，由長方形的面積就是面積單位的累加類比推理出長方體的體積是體積單位的累加，從而推導出長方體的體積=長×寬×高。

這兩種方法都利用直觀圖讓長方體體積計算回到了源頭，抓住了長方體長、寬、高與體積之間的關系。這個過程中利用演繹推理進行驗證，都觸及本質聯系，都是在于讓學生利用直觀圖形啟發思考：是什么？為什么？循著問題一步一步完成推理，培養了學生的歸納推理能力。

三、以“形”促“說”：培養學生推理能力的關鍵

語言表達使圖形語言過渡到符號語言，有了清晰的語言表達，才能進一步提煉為符號語言。通過語言表達把數學本質關系顯示出來，這是數學推理的關鍵。在數學的教學活動中，要把數學結論與證明數學結論有機結合，讓學生更好地感悟邏輯推理的形式和道理，在感悟的基礎上積累數學思維的經驗，逐步形成個性化的、合理的思維模式。

以“形”促“說”重在思維的外顯性，重在表達學生自己的思考過程、推理過程或揭示數學內在的規律等，重在質的分析。表達時，可借助圖形的直觀來理清思路，也給聽者直觀的表象。如兩位數乘一位數（進位）16×3，我先讓學生借助具體操作表達抽象的豎式計算，學生邊操作邊把計算的每一步過程表達出來：先算6×3等于18，個位寫8，向十位進1，3個十加上1個十，有4個十，十位上寫4，所以16×3等于48的推理過程。接著，重點提問：為什么十位是4而不是3？讓學生借助圖說清算理，從而突破進位的難點。

推理的本質是關系的表達，找到本質聯系，推理就水到渠成。因此，教師要加強學生以“形”促“說”的訓練，說的過程要凸顯思維的過程，重視思考問題的表現方式，讓學生能有序地、較為嚴謹地表達邏輯關系。

四、以“形”促“構”：培養學生推理能力的途徑

這里的結構一方面指的是數學知識具有結構性，是各個組成部分的搭配和排列。另一方面也指學生作為學習的主體，在學習過程中有自己的認知結構。數學學習過程是一個螺旋式上升的過程，前后知識彼此間緊密聯系，有一張嚴密的整體結構網。如何找到知識之間的聯結點，形成關系網，外顯新知識的本質屬性，是促進學生推理能力發展的重要途徑。直觀圖猶如支架，能幫助學生順利找到聯結點，進行推理;經過推理后獲得的新知識又納入新的知識結構網中，讓學生不斷完成同化和順應的過程。

如在“異分母分數加減法”一課中，可以圍繞“異分母分數如何計算”“為什么這樣計算”這兩個核心問題進行教學。先利用直觀圖，讓學生理解每一份大小不相同無法直接相加減的道理。如何做到每一份大小都相同呢？學生提出借助通分，就可以把異分母分數變成了同分母分數，因此利用如下這個簡單明了的結構圖，就能很清晰地看出異分母分數與同分母分數的聯結點：通分（分數的基本性質），就可以變成同分母分數加減。把異分母分數加減通過順應（通分）納入到同分母分數的知識結構中，讓新知變得簡單，符合學生的認知特點，與學生的認知結構聯系起來。

簡單明了的結構圖示，不僅揭示了新舊知識的關系，也顯示了借助聯結點進行推理的過程與方法。

學習是一個不斷經歷“問題—探究—解決”的過程，這個過程往往要由推理來完成。而數學的抽象性需要借助“形”的直觀來幫助理解，只有找到已知和未知的內在聯結點，才能讓學生真正做到知其然并知其所以然，逐步形成推理能力及數學核心素養。

課題項目：本文系福建省教育科學“十三五”規劃課題“培養小學生科學歸納推理能力的教學研究”階段性成果之一。課題編號：FJJKXB19-452。

（責任編輯：楊強）