基于ACE法和模擬退火算法的土層等效參數反演*

曹凈 李豪

(昆明理工大學建筑工程學院 昆明 650500)

0 引言

位移量是一種描述物體在受力情況下變形形態的重要物理量，當前已被用來作為反分析確定巖土參數的主要依據，利用現場實測信息的反演方法成為獲取巖土體物理力學參數的一種新的可行途徑，并表現出了獨特的優勢[1-3]。在實際工程中，因為基坑或邊坡的支護結構位移是較為容易測得的，利用工程現場所測得的支護結構實際位移值對巖土物理力學參數進行反演分析的方法在實際工程應用中較為普遍。

利用實測數據進行巖土參數的反演，其目的就是將巖土參數的反演問題變為相應目標函數的計算尋優問題，但是由于巖土自身特性的復雜性，構造出的目標函數多為含有多峰的復雜非線性函數。對于傳統中利用多個約束條件對其目標函數進行計算得出參數值的方法，所得結果在一定程度上依賴于對約束條件和初始值的選取，且容易使目標函數陷入局部極值。許多學者也提出利用BP神經網絡和遺傳算法等智能算法對土層參數進行反演，但是其計算量大，計算時間長且收斂速度較慢[4-5]。因此，本文提出結合均勻試驗和ACE法的方法來建立出一種土層參數與支護結構位移之間的函數關系，構建出高效響應面，在此基礎上，運用插值運算得出土層參數的響應值(支護結構計算位移值)，最后結合模擬退火法對根據響應值和實測位移值構造出的反演目標函數進行解(土層參數)的尋優，來獲得更為合理的土層等效物理力學參數。

1 構建響應面的基本理論

1.1 均勻試驗

均勻設計試驗法[6-7]最開始由方開泰和王元兩位學者在1978年提出，此種方法是基于試驗點均勻散布在整個試驗范圍內的，且從均勻性的角度出發來提出的一種試驗設計方法。均勻試驗方法相對于優選法和正交試驗法，其試驗次數更少，效果更好。均勻試驗的設計過程如下列步驟所示：

(1)依據所研究的對象，確定出設計因素(變量)的個數，在因素個數確定的情況下選擇具有合適水平數(m個水平)的均勻試驗表。

(2)確定出各個因素的取值區間[Ximin,Ximax](i=1,2,…,n)，其中Ximin、Ximax分別為第i個因素的最小值和最大值，n為因素的個數。

(3)根據均勻試驗表選擇出的水平數安排m次試驗，并將每個因素劃分為m等分的情況：

(1)

式中，i=1,2,…,n，為因素序號；j=1,2,…,n，為每個因素水平序號；Xij則為第i個因素的第j個水平值。

(4)采用均勻試驗表組配試驗來實現均勻試驗設計。

1.2 ACE非參數回歸技術

非參數回歸技術，其實質就是在輸入與輸出數據確定的基礎上，來找出兩者之間的映射關系，也即響應面函數。采用ACE[8](Alternating Conditional Expectations)非參數回歸技術，不需要一開始設定出響應面函數的形式，而是尋找出輸入數據組X1，X2，…，Xm的映射值φ1(X1)，φ2(X2)，…，φm(Xm)和輸出數據y的映射值θ(y)，使其滿足：

θ(y)=φ1(X1)+φ2(X2)+…+φm(Xm)+ε

(2)

確定響應面函數：

y=θ-1[φ1(X1)+φ2(X2)+…+φm(Xm)]+ε

(3)

式中θ-1[.]為θ[.]的逆函數，ε為擬合誤差。

如果確定了φ1(X1)，φ2(X2)，…，φm(Xm)和θ(y)，那么也就可以確定出響應面函數關系，可以直接調用統計學軟件S-plus中提供的ACE數據包來獲得上述映射值。

1.3 插值計算

通過ACE回歸技術分析得到相應數據的映射值之后，從而進行擬合映射值來求解θ-1[.]，建立出響應面關系來得出如式(3)的顯示響應面函數。如果在變量較多時的試驗數組，其擬合函數關系非常復雜，而且進一步的擬合會產生出新的誤差。因此，通過采用簡單的插值法來直接進行輸入參數組的輸出值計算，來避免上述復雜擬合計算過程[9]。

由均勻試驗得到的輸入因素X1，X2，…，Xm中，各個因素的區間內均由n個計算點組成，并且計算點是均勻分布的，那么就能生成較密集的插值點。對于在各個計算區間內的任意輸入參數xi，即可根據響應面關系直接進行插值運算來得出相應的輸出參數yi。

φi(Xi)=interp(Xi，φi(Xi)，xi)i=1,2,…,m

(4)

則

(5)

則輸出yi為

yi=interp(θ(Y)，Y，θ(yi))

(6)

式中，Xi=[Xi1,Xi2，…，XiN]是由均勻設計確定的變量xi的各個水平組成的試驗向量，φi(Xi)是與該試驗向量對應的變換值且φi(Xi)=[φi(xi1，xi2，…，xiN)]，Y是試驗輸出結果向量，θ(Y)是Y的映射值。通過MATLAB編寫相關程序語言實現從式(4)到式(6)的過程，即可完成Xi與Y之間的插值計算。

2 模擬退火算法基本原理

模擬退火算法[10](Simulated Annealing，SA)，它是一種基于Monte-Carlo迭代求解策略的隨機尋優算法，其優點在于對目標函數進行求解時可以避免陷入局部解。算法思想來源于工業中對固體進行退火的原理，在對金屬固體進行熱加工時，退火就是先將固體加熱到某一種高溫狀態下，而后徐徐進行降溫的過程。在加溫時，固體內部中的粒子隨著溫度的升高而成為一種無序狀態，并且內能增大。在徐徐降溫的過程中粒子漸進有序地在每個溫度下達到平衡狀態，最后在某一低溫下達到平衡。模擬退火算法就是在固體退火的機理上建立起的一種尋優算法，其能夠在一定概率下搜索出目標函數的最優點。

2.1 模擬退火算法的模型要素

(1)解空間。該空間由在指定前提或者約束條件下的諸多可行解構成。

(2)目標函數。目標函數一般為由已知條件給定的，需要進行優化計算的函數，其最大(小)點所對應的參數為所需的最優解。

(3)可行解狀態改變規則。在一定的概率情況下，由一個可行解(xold)向另一個可行解(xnew)進行轉換，判斷其xnew是否能被接受，最常用的接受準則是Metropolis準則。

(4)溫度Tk下降規律。指由一高溫狀態向一低溫狀態冷卻的降溫規則。為了計算簡潔明了，在實際應用中，常用式(7)來表示降溫規律：

Tk=αTk-1

(7)

式中，α為小于1 的數，根據不同實際情況，其取值區間常為0.5～0.99。

2.2 模擬退火法的思想步驟

(1)初始化：設定出初始解的狀態xold(算法迭代的起點)，初始溫度T、終止溫度Tk以及每個溫度下的迭代次數L。

(2)在迭代L次數下，產生新的可行解(xnew)，并計算增量△=C(xnew)-C(xold)，其中C(xold)為評價函數。

(3)利用Metropolis準則進行當前解的判斷：若△<0則接受xnew為當前解，否則生成一個[0,1]區間上均勻分布的隨機數λ，若λ

(4)滿足終止條件后，輸出當前解為最優解，并結束在某一溫度下的程序計算。

(5)T根據降溫規律逐步減少，若T>Tk則返回第二步，直到達到終止溫度，程序計算結束。

3 基于ACE法和模擬退火算法的土層等效參數反演

進行土層參數反演的實質就是尋出一組待反演的參數，并且使與之相應的支護結構位移計算值與位移實測值不斷地逼近。其最終目標函數可取為

F(xi)=|f(xi)-μ|

(8)

式中，xi為某一組的反演參數，f(xi)為反演計算位移值，μ為相應位置點的實測位移值。

進行土層參數反演的計算步驟為

(1)按照計算案例，合理確定出巖土參數的取值范圍，并根據均勻試驗構造出計算方案。

(2)根據均勻試驗表所構造出的樣本組，按照規范算出每個樣本組下的計算位移值。

(3)將均勻試驗構造出的樣本組作為輸入數據，對應樣本組計算出的位移值作為輸出數據，利用ACE法進行兩者之間的映射，構建出響應面。

(4)運用響應面關系進行插值得出響應值，并結合實測數值構造出目標函數，然后根據其函數增量的范圍選擇退火策略，設定出合理的初始溫度，并給出每個溫度下的迭代次數，相比于進行大范圍的盲目計算，此方法有利于提高效率。

(5)給出退火算法的初始狀態(即土層參數的初始值)，將其作為當前的最優點，并代入響應面進行插值運算，得出計算位移值和目標函數值。

(6)對當前最優點在響應面計算區間內進行隨機變動，產生出新的最優點，代入響應面進行插值運算，得到計算位移值，最后計算得出新的目標函數值以及目標函數增量△。

(7)對增量△進行判斷，若△<0，就接受新產生的最優點為當前計算中的最優點；若△≥0，則生成一個[0,1]間均勻分布的隨機數λ，若λ

(8)如果沒有到達某一溫度下的迭代次數，就回到步驟4繼續迭代計算。

(9)如未達到冷卻終止溫度，則轉回步驟6；如達到終止溫度，就輸出當前計算中的最優點，結束計算。

4 應用算例

算例為昆明市五華區某基坑工程，本文選取此基坑工程7-7剖面進行反演分析。基坑7-7剖面采用樁錨支護系統，其開挖放坡坡高為3.0 m，取臺面為1.0 m，坡比1∶0.83。支護樁為旋挖樁，樁徑0.8 m，樁長32 m，間距1.1 m?；訌纳现料乱还苍O置了1排土釘和3排預應力錨索，具體的支護情況見圖1。7-7剖面中坑底以上范圍共有4層土，各土層相應的物理力學指標見表1。

表1 土層物理力學指標

圖1 基坑支護簡圖(單位：mm)

基坑7-7剖面施工工況如下：①工況一：基坑開挖至3.8 m(含0.5 m超挖深度)；②工況二：在3.3 m深度處施加第1排錨索；③工況三：基坑開挖至5.8 m(含0.5 m超挖深度)；④工況四：在5.3 m深度處施加第2排錨索；⑤工況五：基坑開挖至8.3 m(含0.5 m超挖深度)；⑥工況六：在7.8 m深度處施加第3排錨索；⑦工況七：基坑開挖至9.7 m(到達坑底)。當基坑開挖至基坑底后，基坑開挖工程基本完成，所測得的支護樁位移數據基本開始穩定，故分別選取工況七中地面以下4 m深度處(測點一)、5 m深度處(測點二)和8 m深度處(測點三)的支護樁實測位移值來作為目標函數(式8)中的實測數據。

在構建響應面之前，將每層土的物理力學指標作為隨機參數，為了使響應面涵蓋的范圍足夠大，考慮實際工程中可以接受的參數范圍，將參數的范圍盡可能地擴大，見表2。根據文獻[5]中均勻試驗表的建立過程，構建出一個8因素、30水平的均勻表，均勻表構建采用方冪法，利用MATLAB編程得到均勻表U30(308)，將各個參數的取值范圍分為30個水平，代入建立的均勻表，即得出輸入樣本。根據《建筑基坑支護技術規程》(JGJ 120—2012)[11]的相關規定，依次計算出不同試驗組下測點一、測點二和測點三的支護樁位移來作為輸出數據組。輸入和輸出數據見表3。

表2 土層物理力學指標取值范圍

表3 均勻試驗輸入及輸出數據組

獲得輸入和輸出數據之后，即可通過ACE非參數回歸的方法構造出兩者之間的高效響應面，此步驟直接調用統計學軟件S-plus中的ACE回歸的數據包，分別對測點一、測點二和測點三對應的30組試驗逐一進行回歸，其回歸擬合系數均高達0.99，限于篇幅，只給出測點一的輸入與輸出數據的映射值，見表4。然后在所給的每個參數范圍內進行參數的隨機選取，根據已經確定的響應面進行插值運算，計算出每組參數對應的支護樁計算位移值，并代入目標函數(式8)中，最后利用模擬退火算法以目標函數最小值為目標來進行解(土層參數)的計算選取。

表4 測點一的輸入及輸出數據映射值

根據前文第2.2節中對模擬退火算法接受壞解概率的Metropolis準則的描述：若△<0則接受xnew為當前的解，否則生成一個[0,1]間均勻分布的隨機數λ，若λ

圖2 不考慮初始溫度的目標函數值隨迭代次數變化

圖3 測點一的目標函數值隨迭代次數變化

圖4 測點二的目標函數值隨迭代次數變化

圖5 測點三的目標函數值隨迭代次數變化

對表5中的反演結果與設計值進行對比分析，發現基于ACE法和模擬退火算法反演得出的每個測點下的土層參數值與設計值稍有偏差，可能的原因是基坑開挖過程是一個卸載的過程，開挖的過程中的土層卸載會使土體實際抵抗變形的能力降低，對計算造成一定誤差。由于單個樣本組的反演結果可能具有一定的偶然性，應結合實際對比分析多個樣本組的結果，由表5可以看出，3組反演計算結果的平均值與設計值較為接近，說明利用該方法進行土層等效參數的反演具有一定的可行性。

表5 土層等效參數反演計算結果

5 結論

(1)響應面法通常用來處理較復雜系統的輸入與輸出之間的映射關系問題，其計算量小并且適用于復雜的非線性問題。本文將均勻試驗和ACE法融合在一起，利用ACE法的非線性映射能力，構建出參數之間高效響應面，極大地簡化了計算過程，提高了反演的計算速度，再結合模擬退火算法對利用響應值與實測值構造的目標函數進行參數解的尋優，以一定的概率搜尋出最優參數解。將這一算法模型對一工程實例進行運用，發現其在解決變量與目標函數之間無明顯的數學表達式的工程問題時具有一定的可行性。

(2)模擬退火算法的運用，極大地依賴對初始參數的選取，針對不同的計算案例，應考慮需要求解數據的實際情況，分析目標函數增量與退火溫度的比值對收斂性的影響，經過調試選取出合理的初始

參數，再結合算例進行不同數據組的計算，這樣有利于提高計算的效率。在計算的過程中可以發現，由于模擬退火算法有接受壞解的概率準則，容易丟失計算過程中更好的解，如何將計算過程中所有解保存下來重新挖掘有效數據，進而提高計算的精度是下一步需要深入研究的內容。