一類脈沖隨機微積分方程解的穩定性分析

孫志強

（河南藝術職業學院，河南鄭州 450000）

1 隨機微積分系統研究的背景、研究意義及現狀

穩定性理論解決的是當t→∞時，微分方程的解x（t，t0）的極限狀態如何?極限狀態和初值x0的關系如何?在經典控制理論中，主要限于研究線性定常系統的穩定性問題。判斷系統穩定性的主要方法有奈奎斯特穩定判據和根軌跡法。它們根據控制系統的開環特性來判斷閉環系統的穩定性。這些方法不僅適用于單變量系統，而且在經過推廣之后也可用于多變量系統。

Lakshmikantham 等于1989年在《脈沖微分方程理論》中總結了他們對脈沖系統的研究成果，1892年俄國數學家和力學家A.M.李雅普諾夫在論文《運動穩定性的一般問題》中完成了關于運動穩定性理論的奠基性工作的，又經過這幾十年的研究，脈沖微分方程的理論被不斷提出，逐漸形成了一個較為完整的體系。

脈沖系統目前廣泛應用于機械制造、電子信息等，小到一個具體的控制系統，大至一個金融系統、社會系統、生態系統，這些系統總是在各種偶然的或持續的干擾下運行的，承受這種干擾之后，能否保持預定的工作狀態運行，而不至于失控至關重要。

較早研究脈沖隨機微積分的是Caro 和Rao，他們研究了以下脈沖隨機微積分系統：

他們擴展了脈沖隨機微積分穩定性的概念，用Lyapunov函數和微分不等式的技巧，得出上述系統的兩測度穩定性的充分條件。隨后，Liu 研究了如下隨機微積分系統：

然后利用脈沖隨機系統的比較原理，得到了下列比較系統最后再利用微分不等式，獲得脈沖隨即微積分方程解的唯一性和穩定性，并應用所得解的穩定性結果研究了其系統的脈沖鎮定問題。SaKthivel 和Luo 通過研究以下系統得到了帶有脈沖的非線性隨機微分方程解的穩定性：

在脈沖隨機微分方程解的穩定性的研究過程中，一般采用泛函微分系統的Lyapunov 泛函和Razumikhin 技巧。例如Cheng 等利用Lyapunov 泛函和Razumikhin 技巧，研究出了脈沖隨機微分方程的指數穩定性以及漸近穩定性。

最近幾年，許多學者開始研究對脈沖無窮時延遲微分方程、脈沖延遲積分方程、脈沖延遲混沌方程，雖然眾多學者在脈沖隨機系統方程解的穩定性研究已經取得了大量的成果，但由于時間較短，還有大量問題有待學者們研究解決。

2 帶有時滯脈沖的隨機泛函微分系統的穩定性分析

2.1 預備知識

本文研究時滯性隨機微分系統：

令PC（[-τ，0]；Rn）表示逐段右連續函數φ∈[-τ，0]→Rn的集合，令‖φ‖=sup-τ≤s≤0｜φ（s）｜，則{PC（[-τ，0]；Rn），‖φ‖｝表示線性賦范空間，且sup-τ≤θ≤0E ｜φ（θ）｜＜∞，其中，E 表示對于給定的概率預測度P 的數學期望。

2.2 主要結果

系統的穩定性分析一般采用Razumikhin 技巧和Lyapunov函數來建立系統的穩定性。

定理：若存在一函數a ∈VK，b ∈CK，V ∈ν0和一正常數p 使得

證明結束。

3 結束語

在很多情況下，脈沖延遲微分方程與隨機延遲微分方程是難于得到解的顯式表達式的。有時候需要對脈沖延遲微分方程或隨機延遲微分方程進行數值模擬或者需要定量研究，這就需要相應的數值方法。對脈沖微分方程數值方法的研究，目前只有少量的工作，并且都只是考慮了無延遲的情況。

本文討論了一類隨機延時脈沖微積分系統的階矩穩定性，利用一些不等式及其他脈沖微分不等式的性質，采用Razumikhin 技巧和構造Lyapunov 函數的方法得出其系統穩定性的充分條件，研究出其穩定性，雖然脈沖延遲微分方程理論近些年來已經得到了充分的發展，但還有許多問題等待我們研究。