基于觀測器控制的二維馬爾可夫跳躍系統

秦雪

（重慶師范大學數學科學學院 重慶市 401331）

二維系統是在兩個獨立的方向上進行信息傳輸的系統。在實際應用中，例如在許多物理過程中，由于系統的復雜性，建立二維模型是有必要的。文獻[1]中二維熱晶體管中的熱流開關和調制可以由二維切換系統進行模擬。本文研究的二維系統是由Roesser 在文獻[2]中針對線性圖像處理問題首次提出的著名的二維離散系統模型，也即Roesser 模型。到目前為止，許多學者對二維系統的穩定性進行了廣泛的研究，遺憾的是，在[3]-[6]這些文獻中的切換過程都沒有考慮轉移概率。實際上，在整個系統中有些模態被激活的概率很大，而有的模態被激活的概率確非常小。這些很少被激活的模態對系統動態行為的影響也非常小。因此，在研究二維系統的穩定性問題時迫切需要引入轉移概率。

符號介紹：Rn表示n 維歐幾里得空間，上標T 表示向量或矩陣的轉置，||·||表示向量或矩陣的歐幾里得范數，λ(A)表示矩陣A的最大特征值，E{·}表示數學期望，A>0 表示A 是正定對稱矩陣，*表示矩陣的對稱部分。

1 模型介紹

考慮如下的二維馬爾可夫跳躍系統：

本文需要以下假設條件以及引理

引理1[7]令γk作為假設2.1.2 中的切換信號，π 是的穩態分布并且滿足（2）。則對，有以下等式成立

其中Tp(k)表示第p 個模態在區間[0,k]上被激活的總時間。

創建一個依模態的狀態觀測器如下：

設計基于觀測器的控制器如下：

用系統（1）-（3）可以得到以下誤差系統：

由系統（1），可得到如下閉環系統：

2 主要結果

那么閉環系統（6）是漸進穩定的。

于是有

故有

其中Np(k)表示第p 個模態在區間[0,k]上被激活的總次數，于是有

根據上式，可得

利用條件（9），可得以下不等式成立

3 數值模擬

令 考慮系統參數為

有觀測增益和控制增益為

由圖1 和圖2 可知閉環系統是漸進穩定的。

圖1：閉環系統中狀態xh(i,j)

圖2：閉環系統中狀態xv(i,j)

4 小結

本文研究了二維馬爾可夫跳躍系統的基于觀測器的控制問題。通過線性矩陣不等式，提出了保證閉環系統指數穩定的充分條件。基于推導出的穩定性條件，解決了基于觀測器的控制器的設計問題。通過數值模擬驗證了該結果的有效性。