基于Donnell-Mushtari理論的燃燒室機匣模態特性研究

李湉， 陽凡， 唐書發，郭亮

（1.中國航發成都發動機有限公司，成都610503；2.西南石油大學 機電工程學院，成都610500）

0 引言

航空發動機燃燒室機匣作為發動機重要的組成部分，其制造質量嚴重影響發動機的整體結構性能。燃燒室機匣材料為鎳基高溫合金，鍛造后采用機加工制成，其中主要以銑削加工為主。常規燃燒室機匣尺寸高度為600 mm左右，直徑為φ1000 mm左右，其毛坯質量較大。但是完全加工后的燃燒室機匣壁厚度為2～5 mm左右，相對于毛坯來說其材料去除率高達80%左右。因其材料的特殊性及超高的材料去除率，導致燃燒室機匣加工可切削性能差。更重要的是，因燃燒室機匣最薄處壁厚約為2 mm，在加工的過程中容易產生劇烈振動，導致刀具加速磨損的同時降低燃燒室機匣表面質量。加工系統振動原因很多，但是共振對振動的影響最為顯著。因此研究燃燒室機匣的模態特性，對認識燃燒室機匣振動機理及內在規律具有指導意義，為后續優化改進燃燒室機匣銑削工藝及減振工裝的結構設計具有很強的工程價值。

目前，現有殼體理論主要有：Reissner-Naghdi-Berry[1]理論、Donnell-Mushtari[2]理論、Love[3]理論、Flügg[4]理論、Goldenveizer-Novozhilov[5]理論、Sanders[6]理論及Kennard[7]殼體理論等。尤其是1973年Leissa A E[8]針對大量圓柱薄殼研究做出了整理歸納，主要包括薄殼理論基本方程、薄壁圓柱殼體的特性等。龐福振等[9]利用Reissner-Naghdi’s線性薄殼理論推導出適用于一般邊界條件下的圓柱殼求解模型，并通過與有限元仿真計算結果對比驗證了該方法的正確性。汪志強等[10]采用Flügge薄殼理論分析了正交各向異性圓柱殼的自由振動。將自由振動問題轉換為求解關于圓頻率的6次方程，經過將求解過程參數化，得到了在特定范圍下正交各向異性圓柱殼自由振動的解空間。王曉樂等[11]針對圓柱薄殼內動力機械的隔振設計問題，基于Goldenveizer-Novozhilov薄殼理論和模態疊加原理，建立了隔振系統解析形式波動模型，并通過有限元法驗證了所建模型的有效性。李正良等[12]基于Flügge薄殼理論并利用Rayleigh-Ritz法求解結構的頻率，然后將計算結果與有限元軟件ANSYS分析結果比較，驗證該方法的適用性及有效性，分析球殼扁率及組合殼體長徑比對頻率的影響。周正學等[13]對纖維薄殼進行理論建模，然后通過Rayleigh-Ritz法獲得了薄殼的固有頻率和振型，其理論解和對比實驗誤差在2.2%～9.3%。李文達等[14]基于Love薄殼理論，將改進傅里葉級數法和Rayleigh-Ritz法相結合，推導出旋轉功能梯度圓柱殼自由振動的頻率計算方程。楊永寶等[15]基于Donnell-Mushtari薄殼理論，針對彈性基礎上有徑向預壓力作用的薄壁圓柱殼的自由振動頻率給出了相應的精確解，然后分析了模態數和阻尼系數對薄壁圓柱殼穩態響應的影響。Bakhtiari等[16]采用廣義坐標法推導了運動方程，進而建立了對于多種各向同性材料的圓錐殼非線性振動的振幅方程。Zhang Jing[17]利用Kirchhoff-Love假設、Donnell的非線性淺殼理論、超彈性本構關系及Lagrange方程在小應變假設的基礎上，推導了描述薄殼體在大撓度振動時的非線性微分方程組，研究了徑向、周向和軸向振動的固有頻率。

總體上看，常用的3種薄殼理論分別是Donnell-Mushtari、Goldenveizer-Novozhilov、Flugge-Byrme-Lur'ye理論。有對比研究發現[18]：長徑比和厚徑比越小的薄壁圓柱殼體結構，這3種薄殼理論的計算精度誤差越小。其中，Donnell-Mushtari薄殼理論在實際工程應用中適合短而薄的圓柱殼結構的固有頻率計算。當圓柱殼結構長而厚的時候，需要采用適用性更加廣的Goldenveizer-Novozhilov薄殼理論計算其各階固有頻率和振型樣式。本文研究的航空發動機燃燒室機匣長徑比與厚徑比分別為：L/R=2，h/R=0.012，屬于短而薄類圓柱殼結構，因此采用Donnell-Mushtari薄殼理論計算其固有頻率。

1 燃燒室機匣銑削加工受力模型

一般情況下，燃燒室機匣中的內壁加強肋、外壁多島嶼特征及圓柱面加工時采用5軸數控車銑復合加工中心進行車-銑加工，如圖1所示。在使用常規無內支撐夾具對燃燒室機匣銑削加工時，夾具體放置在加工中心工作臺上并固定，燃燒室機匣零件下層安裝邊通過壓板約束在夾具體底座上。壓板限制了燃燒室機匣軸向運動，同時依靠壓板與安裝邊的摩擦力限制燃燒室機匣在銑削時可能產生的周向及徑向運動。

圖1 常規夾具銑削加工示意圖

在上述加工環境下，燃燒室機匣零件在高速銑削過程中因銑刀與零件表面周期性接觸與分離導致動態銑削力f（x，s）的產生，該銑削力可分解為x、y、z軸3個方向（即軸向、徑向、周向）力的合成。鑒于燃燒室機匣零件徑向無支撐，當銑削力作用到燃燒室機匣表面時，受力點會瞬間發生彈性變形且方向向內。隨后零件本身的恢復力會迫使零件變形區域回彈且方向向外，因此在徑向方向會產生較為明顯的振動，如圖2所示。

2 燃燒室機匣振動動力學模型

2.1 微分方程

基于Donnell-Mushtari理論，并以中面的位移分量來表示的薄壁燃燒室機匣振動微分方程為：

圖2 銑削力徑向分力作用

式中：R為中面半徑；μ為泊松比；E為彈性模量；u、v、w分別是沿軸向、周向、徑向的振動位移分量。

設定薄壁燃燒室機匣邊界條件為剪力薄膜支撐邊界條件。此類邊界條件適用范圍廣，振型函數簡單，大量針對殼體模態特性研究的文獻均有涉及。

2.2 固有頻率計算

設殼體振動軸向模態半波數為m，周向模態波數為n。對滿足剪力薄膜邊界條件的薄壁燃燒室機匣的中面位移級數展開可設為：

式中：u為沿軸向的振動位移分量；v為沿周向的振動位移分量；w為沿徑向的振動位移分量；Amn、Bmn、Cmn分別為第（m，n）階模態的軸向、周向、徑向幅值；ω為圓柱殼體角頻率。

利用數學與工程計算軟件Maple將式（2）中的u、v、w及其對x、t、θ所需的各階偏導數代入Donnell-Mushtari薄殼理論振動微分方程（1）中，令所有外力為0，便可以得到關于Amn、Bmn、Cmn的方程組，并將結果簡化整理成如下形式的矩陣：

3 案例分析及驗證

3.1 案例分析

以某航空發動機燃燒室機匣為案例，計算及驗證式（8）的準確性。該燃燒室機匣的幾何尺寸及材料屬性如表1所示。

表1 燃燒室機匣尺寸及材料參數

由式（8）可知，該等式是關于Ω2（ω2）的一元三次方程。對于每一組波數（m，n）都有3個固有頻率與之對應，這3個頻率分別為圓柱殼徑向彎曲振動固有頻率、軸向振動固有頻率和周向扭轉振動固有頻率。取軸向半波數m=1，周向波數n（1～10），將這10組（m，n）代入式（8），可以得到固有頻率ω隨周向波數n的變化情況。

由薄壁圓柱殼體特性可知在相同的波數（m，n）的條件下，從圖3中可以看出周向振動固有頻率和軸向振動固有頻率隨著周向波數n的增加而單調遞增，徑向振動固有頻率隨著周向波數n的增加先遞減后增加。

由圖4可見，徑向振動的固有頻率存在極小值（基頻）。正是因為該頻率值較小，在實際工程中十分容易觸發并出現共振現象。因此大量文獻將徑向振動固有頻率作為研究對象。

3.2 物理實驗對比

為了確定基于Donnell-Mushtari 薄殼理論的固有頻率計算精度，搭建了圖5所示的燃燒室機匣固有頻率測試實驗平臺。

基于圖5所示的燃燒室機匣測試實驗平臺，利用錘擊法來分析測試燃燒室機匣的固有頻率值，實驗流程如圖6所示。

圖3 固有頻率隨周向波數n變化

圖4 徑向振動固有頻率隨波數n變化

圖5 固有頻率測試平臺

圖6 錘擊法測試系統固有頻率

該實驗包含測試系統，信號采集與分析系統3部分,數據處理與分析系統。其中測試系統包含燃燒室機匣、夾具、加速度傳感器、力錘等，信號采集與分析軟件為Cutpro MaLT模塊，數據處理與分析軟件為Utekl頻譜分析軟件。利用錘擊法測得該零件的固有頻率，并將測試結果與基于Donnell-Mushtari薄殼理論計算得到的固有頻率作對比，具體結果如表2所示。

考慮到物理實驗測試系統偏差及綜合誤差，理論解和物理實驗偏差數據在相對較小的范圍內。該誤差來源于理論模型和物理實驗兩個方面，理論模型誤差主要在于未考慮微分方程中邊界條件和初始條件的設定、燃燒室機匣零件的產品缺陷和殘余應力的影響，而物理實驗誤差主要在于測試時夾具裝夾、傳感器安裝位置和錘擊點選擇是否具有特殊性。后續研究工作中將分別進行修正及改進，以便達到較為準確的結果。

表2 物理實驗值與理論解對比

4 結語

通過對航空發動機燃燒室機匣模態特性的研究,將Donnell-Mushtari薄殼理論應用于航空發動機燃燒室機匣銑削加工，構建了在特定邊界條件下航空發動機燃燒室機匣的固有頻率計算公式，以某型號鎳基高溫合金燃燒室機匣為測試對象，通過Donnell薄殼理論計算得到了固有頻率數值，然后將計算結果同物理實驗平臺測試的結果數據進行了對比分析，誤差保持在10%左右。上述理論研究為后期燃燒室機匣加工工藝改進及工裝設計提供了理論支撐。在下一步工作中將結合上述理論計算公式，針對不同尺寸燃燒室機匣和邊界條件對位移級數展開進行修正，從而改進理論解方法達到計算結果更加精準的目的。