微分方程數值解之歐拉法在MATLAB下的應用

梁春葉 王橋明 孫遠通 葉曉艷 曾寶瑩

摘 要：微分方程在實際應用中十分廣泛，涉及領域眾多，但對于微分方程的數值解的計算仍然有很大挑戰。本文著重對微分方程數值解求解的常用的一類基礎方法——歐拉法進行在MAILAB的應用下的一個簡單介紹。

關鍵詞：數值解;歐拉法;MATLAB

1 概述

微分方程在實際的應用中非常廣泛，目前存在很多微分方程滿足解的存在定理的條件[1]，但方程的解不能表達成為初等函數的形式，對于這類微分方程的解的討論除了穩定性、定性方法之外，最常用是對其進行數值求解，利用數值解來研究微分方程的意義與用途。通過數值解的圖形軌跡曲線的探究對微分方程具有重大意義。本文著重簡單介紹微分方程數值解在MAILAB的基本應用。

2 數值解相關理論

2.1 數值解的定義

微分方程數值解是求初值解的問題

2.3 改進的歐拉方法

若微分方程的解取積分形式：

通過觀察運行結果可知，在0，6區間內，當h=0.1時，歐拉算法所得數值解與精確解所相差的平均值為13.4206;在6，10區間內，相同步長時，相差的平均值為851.22603。因此歐拉算法在部分區間可以近似的達到精確解，但在部分區間的求解與實解相差過大。

3 總結

通過以上兩個例子可以直觀歐拉算法的便捷，該算法能在有限的條件之下算出微分方程的數值解并且使其與精確解相差無幾。但歐拉算法的精確程度很大一部分取決于區間的大小和計算步長的長短，當區間長度過大時，前部分區間的近似效果較好，后部分的區間計算結果偏差較大，因此選擇計算區間需要進行一定的取舍。

參考文獻：

[1]王高雄，周之銘，朱思銘.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006-07.

[2]朱思銘.常微分方程學習輔導與習題解答[M].北京：高等教育出版社，2009-01.

[3]薛定宇.MATLAB微分方程求解[M].北京：清華大學出版社，2020-01.

[4]謝舒，陳俊吉，陸海華.常微分方程初值問題的數值解法中三種算法的比較[J].數學大世界（下旬），2019（10）：6-8.