開口圓環類聲子晶體傳播禁帶特性研究

唐榮江，潘朝遠，鄭偉光，何宏斌，唐經添

(桂林電子科技大學機電工程學院，桂林 541004)

0 引 言

聲子晶體是一種周期性排列的復合結構，它一般由兩種及以上的材料構成，該結構具有抑制或衰減波傳播的禁帶特性，已廣泛應用于噪聲振動控制領域[1-2]。研究人員通過結構的創新設計來獲得帶隙，并聚焦于聲子晶體帶隙內傳輸損耗性能的研究。Elford[3]和Yu[4]等設計了一種開口圓環結構，均能獲得寬禁帶和性能優越的衰減損耗。但頻率局限在高頻，這顯然不利于這一類結構的實際應用。為滿足低頻段的減振需求，姜久龍等[5]設計了一種雙開口的Helmholtz周期結構，在100 Hz附近得到一條窄帶隙，但其衰減損耗仍集中在2 000 Hz的中高頻。梁孝東等[6]則提出一種四組元的聲子晶體結構，強的衰減損耗都表現在200 Hz以下的禁帶內，這對緩解地鐵的低頻振動十分有利。以上的研究并不重視晶胞對稱性的問題，較多地關注晶體禁帶單一方向上的衰減能力[2-6]。這對非嚴格對稱的聲子晶體而言，并不能全面反映結構的聲學性能。有研究表明：打破模型的對稱性有利于改善某些頻率的隔聲效果[7]；芯體和基體的對稱性不同，帶隙表現差異明顯[8-9]。

因此，本文對非嚴格對稱的開口圓環類聲子晶體結構進行振動帶隙研究。基于有限元法和彈性波傳播理論分析其禁帶特性；通過施加振動激勵，比較晶體MΓ和ΓX方向的衰減曲線，發現在禁帶內ΓX比MΓ方向的衰減能力強。禁帶內彈性波傳播被明顯抑制，結構產生的位移變形量很小，通帶內則相反，這一結果全面展現了非嚴格對稱結構的隔振性能。本文借助振動模態解釋了帶隙產生的原因，并對影響帶隙的幾何尺寸和材料參數進行深入研究。

1 模型與彈性波傳播理論

1.1 單個晶胞模型

本文設計的二維聲子晶體如圖1(a)所示。晶格常數a=10 mm,圓環半徑r1=2.5 mm和r2=4 mm，開槽寬度w=1 mm。中心開槽圓環稱為芯體或散射體，材料為結構鋼，將其嵌入橡膠基體中研究其傳輸損耗性能，材料參數見表1。圖1(b)則表示正方晶格的布里淵區，由ΓXM圍成的三角形區域為第一布里淵區或不可約布里淵區(irreducible Brillouin zone,簡稱IBZ)，由于本模型非嚴格對稱，需對ΓXMR區域進行全掃略。圖1(c)展示了波矢k的計算域和ΓXM的掃略方向。

圖1 晶胞結構和不可約布里淵區

表1 材料參數

1.2 彈性波傳播理論

對晶胞的邊界使用Bloch定理[10]，計算單個晶胞的振動模式來預測無限周期系統的能帶結構:

u(r)=us(r,k)e-ikr

(1)

式中：u(r)是位移矢量，r是區域Ω內的位置矢量，us(r,k)是布里淵區的周期函數，k=[kx,ky]T是波矢，彈性波在無限周期介質中傳播的動態平衡方程為[11]:

(2)

(3)

us(r+R)-us(r)=0

(4)

式(4)中R是晶胞的平移周期[13]；有限元晶胞剖分網格后，離散形式的特征方程為

(K(k)-ω2M)u(r)=0

(5)

式中，K(k)和M表示元胞波矢k的剛度矩陣和質量矩陣[11]，具體定義如式(6)所示，此處的ω2是方程的特征值。

(6)

(7)

式中，λ和μ是材料的拉梅(lame)常數，拉梅常數和楊氏模量E、泊松比υ又存在以下關系：

(8)

因此，將材料屬性代入(7)，(8)兩式再結合頻率值，即可得到彈性波長與結構帶隙的關系。

2 帶隙結構與傳輸特性分析

本文采取先從M→Γ開始掃掠，拾取前十階能帶結構。計算MΓ方向時，波矢k在x,y方向的分量kx,ky在0到π/a間同時取25個數值點，從而得到一組能帶曲線；計算ΓX方向時，使波矢k在y方向的分量ky=0，而kx從0到π/a間取25個數值點，得到另一組能帶曲線；計算XM方向時，保持波矢k在x方向的分量kx=π/a不變，使ky從0到π/a間取25個數值點，計算得第三組能帶曲線；其余兩組方法相同，將得到的五組能帶曲線結合起來便能獲得該結構的禁帶。能帶結構圖如圖2(a)所示。而對于傳輸損耗，在結構邊界通過給定單位加速度激勵Ii并獲得出口處加速度幅值大小It，并由(9)式計算得出。

TL=-20log(Ii/It)

(9)

將晶胞沿x軸陣列5個并施加ΓX和MΓ方向Ii=1 m/s2的加速度激勵，計算頻域下的聲子晶體傳輸特性，如圖2(b)所示。

由圖2(a)可見在716.1～1 012.5 Hz頻率范圍內有300 Hz寬的完整禁帶，方向帶隙有三條：分別是在600 Hz附近的MΓ方向和頻率為1 405～1 522 Hz的ΓX、RΓ方向。禁帶內的傳輸損耗表現優異，方向禁帶只表現比較小的衰減峰值。值得注意的是MΓ和ΓX方向衰減性能并不同步，其中水平的ΓX方向最穩定，峰值均出現在相應帶隙內，而MΓ方向比較異常，在禁帶內825 Hz出現衰減低谷。為此選取了幾個處于衰減曲線峰值(波峰波谷)點的位移云圖做分析，如圖3所示。

圖3(a)～(f)對應圖2(b)中A～F各點。顯然，在選取的通帶頻率為425 Hz和1 015 Hz的彈性波均能順利通過，特別是1 015 Hz時，聲子晶體本身的振動加劇了位移振幅。在禁帶825 Hz內，兩個晶胞周圍的橡膠產生振動導致MΓ方向出現衰減低谷，原因是晶胞非嚴格對稱導致彈性波沿5×5的晶體邊緣傳播(見圖3(b))，加速度信號通過結構邊緣傳遞過去，增加晶體數量能改善這一缺陷；而ΓX方向可以完美抑制或衰減彈性波，位移只在激勵源一側產生，振動響應未能穿過聲子晶體，所以ΓX方向衰減表現更好。究其原因，由于開口的存在，使得該結構只有沿y軸方向的對稱性，彈性波在MΓ方向傳播時晶胞的周期性抑制作用減弱。在禁帶725 ～1 000 Hz內ΓX方向平均衰減量為27.8 dB，MΓ方向為22.3 dB，同比增加5.5 dB。此外，700 Hz和1 525 Hz的方向帶隙衰減彈性波的性能也比較好，衰減量為26.4 dB和14.3 dB。更進一步地，該帶隙的打開和屬于哪種機理下的聲子晶體仍值得繼續探索。

圖2 聲子晶體能帶結構(a)和傳輸特性(b)

圖3 通帶和禁帶的位移云圖

圖4比較了相等波矢值下起始和截止頻率處晶胞的振動模態，它們分別對應由鋼塊和橡膠基體組成的“質量-彈簧”系統的平移和扭轉振動模式。在P1點芯體受到左側邊角橡膠的擠壓從而發生水平向右的平移運動，與垂直傳來的彈性波剛好存在一個相位差，同頻率的彈性波與該晶體結構振動反相進而抑制了波傳播，禁帶起始頻率得以打開；到P2點橡膠從晶胞斜對角以相反的方向垂直運動，會對芯體產生一個剪切作用力，導致芯體發生扭轉振動，橡膠板基體中的長波行波難以與圓環鋼的振動相耦合[6]。此外，由于芯體及其附屬的橡膠未能把振動能量局限在單元內[14]，與同相彈性波不存在耦合作用，禁帶在P2點截止。

圖4 P點振動模態圖

將結構鋼的材料參數代入(7)，(8)兩式，取晶格常數a=10 mm帶隙中心頻率為800 Hz作為比較波長，得到縱波波長約為7.3 m,橫波波長約為112.8 m，兩者與晶格尺寸存在2～4個數量級的差異，這類結構突破了布拉格機理的限制[15]。

3 模型討論

局域共振機理認為即使芯體隨機分布，在特定頻率的彈性波激勵下，芯體產生共振能獲得禁帶。但如何設計芯體結構以及在基體中的分配特性是問題的關鍵。因此本節先對芯體的結構和分布進行探索，然后分析芯體材料對帶隙的影響，最后綜合討論了禁帶與晶格常數、開槽寬度等參數的關系。由圖2(a)可見，掃略IBZ即可反映這類結構的帶隙曲線，相比于掃略BZ能節省計算時間，因此下文只對M→Γ→X→M進行掃略。

3.1 改變芯體結構

由前面的分析可知，帶隙的起始頻率由芯體的平移運動出現的頻率決定，而截止頻率則取決于芯體的旋轉運動。因此，可通過芯體結構的設計來增加系統的振動模態，利用其振動模態耦合來產生低頻的帶隙。具體做法是：在芯體內部增加一個鋼環來提高振子的剛度，當其平移運動時慣性力變大，以此來提升抑制彈性波傳播的性能；另一個模型則是水平位置再開一槽，削弱其剛度作為比較。

由圖5(a)可知，增加一個同心圓環(內r=1 mm外r=1.5 mm)后，起始頻率為674 Hz，比之前降低了42 Hz,但是第一禁帶被第四能帶分割分成兩部分，分別為674.2～893.9 Hz和896.7～1 012.1 Hz，很可能是內外振子的旋轉模態的相互耦合導致的[7]。圖5(b)表明再開一個槽后，前十階能帶降低到1 400 Hz以下并且沒有完整禁帶出現，只有部分方向帶隙。可以發現，通過結構的略微調整即可改變其固有頻率，使結構出現了一些消極的耦合作用，造成通帶的產生。

圖5 芯體結構對帶隙的影響

3.2 改變芯體材料

為了明確材料屬性對禁帶特性的影響，改變芯體或基體材料參數保持另一對象其他參數不變，分別統計第一帶隙的起始、截止頻率和帶隙寬度，模型仍采用第1.1節所述。

將芯體從結構鋼分別替換為銅、鉛和鎢材料，發現結構鋼和銅材料帶隙頻率變化不大，而鉛和鎢芯體材料造成起始頻率降低，特別是以鎢為芯體的起始頻率和帶隙寬度均達到500 Hz，如圖6所示。參考表1的材料屬性參數可以發現，增大材料的密度有利于獲得低頻帶隙。

圖6 芯體材料對帶隙的影響

3.3 改變幾何尺寸參數

幾何參數包括內環半徑r1、晶格常數a和開槽寬度w，而改變內環半徑r1時將直接導致芯體的填充率變化。

由圖7(a)可見，當內環半徑r1從2 mm增大3.5 mm時(芯體的填充率相應減小)，發現第一帶隙截止頻率基本不變而起始頻率增大導致帶隙寬度變窄；而增大橡膠基體的晶格常數時起始和截止頻率均降低，當晶格常數a大于30 mm時，在400 Hz以內就能獲得完整禁帶，特別是a=40 mm時起始頻率為179 Hz截止頻率為253 Hz(見圖7(b))；而當開槽寬度變寬時，起始頻率不變而截止頻率降低導致帶寬變窄。綜合來看，填充率影響起始頻率而開槽寬度影響截止頻率，晶格常數對帶隙起始和截止頻率均有影響；通過增大晶格尺寸和芯體填充率能獲得頻率較低的寬頻禁帶。

圖7 參數對帶隙的影響

4 結 論

本文設計了一種非嚴格對稱的開口圓環類局域共振聲子晶體結構，首先分析了其帶隙特性并比較了各方向的振動衰減性能；然后通過振動模態解釋了帶隙產生的原因；最后對芯體結構、幾何尺寸和材料參數進行研究，得到結論如下:

(1)該聲子晶體在716.1～1 012.5 Hz頻率范圍內有300 Hz寬的完整禁帶，禁帶內ΓX方向傳輸損耗平均值比MΓ方向提高5.5 dB，原因是晶胞非嚴格對稱導致彈性波沿5×5的晶體邊緣傳播。

(2)帶隙的打開和截止是由芯體的平移運動和旋轉運動決定，芯體結構能明顯改變系統的固有頻率從而改變振動模態。

(3)在選取的4種金屬材料中，以鎢為芯體的能得到起始頻率和帶寬均為500 Hz的優越帶隙。

(4)芯體填充率影響起始頻率而開槽寬度影響截止頻率，通過增大晶格尺寸、填充率和材料密度能獲得低頻寬禁帶。

綜上，由于開口圓環的非嚴格對稱性，ΓX方向傳輸損耗性能優于MΓ方向；在相應材料組合下能獲得起始和帶隙寬均為500 Hz的低頻帶隙；增大芯體的材料密度、填充率和晶格尺寸有助于獲得較低頻率的完整帶隙。