一類非線性Hilfer分數階微分耦合系統正解的存在性

甘亦苗， 侯成敏

（延邊大學 理學院，延吉133002）

0 引 言

分數階微分方程在科學與工程學中應用廣泛，如物理、生物、化學和電子等［1-3］。帶有邊值問題的耦合系統在眾多的領域上取得了重大成就［4-6］，在處理正解的存在唯一性上方法多樣［6-7］。Hilfer型分數階導數是廣義的Riemann-Liouville分數階導數，其包含Riemann-Liouville和Caputo分數階導數兩種情形［1］，此類導數可以應用于玻璃成型材料中介電馳豫的理論模型［9］。

本文研究高階的非線性耦合Hilfer分數階微分系統的正解的存在性：

式中：是Dα1，β0+，Dα2，β0+為Hilfer分數階導數，n，m為正整數n-1＜α1＜n，m-1＜α2＜m，0≤β≤1，p，q∈?，λ1，λ2∈?+，ai∈?（i=1，2，…p），bi∈?（i=1，2，…q）且，0＜ξ1＜…＜ξp＜1，0＜η1＜η2＜…＜1，fj（j=1，2）為連續函數。

許多文獻在研究方程的解時，設fj是非負的或者單調的（［5，7，10］），為了使文章更具有一般性，本文不做以上假設，并且利用換元法和Guo-Krasnosel’skii不動點定理證明正解的存在性。

1 預備知識和相關引理

有唯一的解：

其中

證明完畢。

根據引理4，易知問題（1）和問題（2）的解為：

其中

2 主要成果

3 一個例子

這就意味著（H1）和（H2）成立。由定理1可得，問題（49）和（50）至少存在一個正解。