考慮車輛協(xié)同與時間延遲的跟馳模型的弱非線性分析

黃宇達 趙紅專 王迤冉

1(周口職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程學(xué)院 河南 周口 466000)2(桂林電子科技大學(xué)建筑與交通工程學(xué)院 廣西 桂林 541000)3(周口師范學(xué)院網(wǎng)絡(luò)工程學(xué)院 河南 周口 466000)

0 引 言

近年來，合作交通系統(tǒng)受到廣泛研究。車輛通過包括V2I和V2V在內(nèi)的V2X通信與其他車輛或路邊單元交換信息，通信的車輛與不通信的傳統(tǒng)車輛相比，可能表現(xiàn)出復(fù)雜的協(xié)作動態(tài)行為。本文提出了基于交通控制和交通流理論下的V2V通信合作交通系統(tǒng)。通過交通控制策略與車路協(xié)同相結(jié)合研究合作交通系統(tǒng)成為主要趨勢。協(xié)同自適應(yīng)巡航控制[1-5](Cooperative adaptive cruise control,CACC)和增益調(diào)度技術(shù)[6]相結(jié)合體現(xiàn)了交通系統(tǒng)中的一個主要線路與開發(fā)交通控制策略有主要聯(lián)系。面對交通中的各種問題，國內(nèi)外研究學(xué)者主要從交通流理論方面展開研究，例如：跟馳模型[11]、格子流體動力學(xué)模型[12-15]和宏觀交通流模型[9-17]，但是很少從交通流的復(fù)雜協(xié)同動態(tài)問題進行研究。

穩(wěn)定性是影響交通流特性的關(guān)鍵因素之一，交通流特性主要表現(xiàn)為小擾動下的穩(wěn)態(tài)[9-15]。引起交通波的交通流不穩(wěn)定性是由于刺激加速度或使速度適應(yīng)實際交通條件的延遲造成的[15-18]。這些延遲不僅是有限加速和制動能力的結(jié)果，也是駕駛員的有限反應(yīng)時間造成的[20-21]。如果交通密度足夠高且超過臨界值，則延遲會導(dǎo)致密度和速度擾動的正反饋并造成虛擬擁堵。揭示交通流中存在各種復(fù)雜的延遲不穩(wěn)定機制是十分重要的。自1961年研究時間連續(xù)模型的延遲問題開始，跟馳模型得到了廣泛應(yīng)用，并且比經(jīng)典的模型更復(fù)雜。文獻[18]提出了考慮駕駛員反應(yīng)時間的跟馳模型，揭示了遇到較慢車輛引起的車速振蕩。文獻[19]提出了具有時間延遲的最優(yōu)速度(OV)模型，并重新發(fā)現(xiàn)了豐富的動力學(xué)行為。文獻[20]研究了具有延遲的跟馳模型的局部和全局分岔，并分析了交通狀態(tài)的不同周期分岔。文獻[21]系統(tǒng)地研究了微觀交通模型中的延遲、不準(zhǔn)確和預(yù)期。文獻[22]研究了交通流量不穩(wěn)定的兩個原因：駕駛員的有限反應(yīng)時間引起的延遲和有限的發(fā)動機性能引起的時滯。文獻[23]提到一些研究人員專注于感知車頭時距和速度的延遲，然后分析其對交通擁堵的影響。上述文獻從不同角度研究了延遲對交通流演化的影響。

合作是指在交通流中駕駛員通過V2V系統(tǒng)提供的多方信息對前后多輛車響應(yīng)的駕駛行為。合作增加了交通流的穩(wěn)定域，并有助于穩(wěn)定擾動的演變[24-27]。這些干線沿線協(xié)同跟隨系統(tǒng)的研究與穩(wěn)定交通流有著直接的聯(lián)系。普遍采用的方法是線性穩(wěn)定性分析，它提供了穩(wěn)態(tài)的小擾動隨時間增長的條件。對于非線性效應(yīng)，非線性方程屬于特定類型的偏微分方程，通過逆散射變換可得到扭結(jié)波、孤子波、反扭結(jié)波和三角波等精確解[28]。文獻[29]首先介紹了推導(dǎo)KdV方程以研究交通流量的想法。基于OV模型及其擴展模型，眾多學(xué)者對交通流的各種特性進行了研究。一般而言，目前大多數(shù)理論研究都沒有充分考慮合作和不同延遲的綜合影響。為了促進交通流理論的發(fā)展，本文嘗試推導(dǎo)出反映廣義力跟馳模型合作與延遲綜合作用的分析條件：1) 提出了時間延遲和考慮協(xié)作的廣義力跟馳模型；2) 導(dǎo)出了Burgers方程和KdV方程，且得到了它們的孤立解；3) 通過仿真分析了合作和延遲的綜合影響。

1 模 型

車輛利用無線通信網(wǎng)絡(luò)(DSRC、Wi-Fi、4G、5G)可以從前方或后方的多個車輛中獲取更多信息，如圖1所示。每輛車基于其前車和在預(yù)定范圍內(nèi)的車輛改變其加速度或速度，其通信范圍如圖1(b)所示。對于缺乏通信而導(dǎo)致的傳統(tǒng)車輛跟馳模型，每輛車僅基于圖1(a)所示的根據(jù)前車行駛狀態(tài)而改變其加速度或速度。單車輛的動態(tài)可以通過跟馳模型等微觀交通流模型來描述。一般來說，駕駛員在時間連續(xù)跟馳模型中的響應(yīng)直接由加速度函數(shù)an(t)表示，而an(t)由間隔Δxn(t)、相鄰車輛的速度差Δvn(t)、司機的速度vn(t)表示。因此，反應(yīng)合作跟馳模型的交通動力學(xué)方程為：

(1)

式中：xn和vn是車輛n的位置和速度；Δxn,j(t)和Δvn,j(t)是車輛空間車頭時距和相鄰車輛j的相對速度；N1(t)和N2(t)表示通信拓撲；Γ1和Γ2為相應(yīng)的控制策略。

(a) 傳統(tǒng)的跟車系統(tǒng)

考慮到多個時間延遲因素，綜合信息與加權(quán)系數(shù)表示車輛n的加速度方程為：

(2)

式中：k′和k是車輛通信半徑數(shù)；k′+k是車輛通信范圍內(nèi)的車輛編號；τ1、τ2、τ3表示對不同刺激的反應(yīng)延遲；φj和ψj表示合作關(guān)系的加權(quán)系數(shù)。

(3)

式中：N+={n+j|j=1,2,…,k}與N-={n-j|j=1,2,…,k′}分別是考慮前后運動的車輛集合；β的取值范圍為0≤β≤1，一般取β=0.5。

假設(shè)合作關(guān)系的加權(quán)系數(shù)是相同的，即φj=ψj。φj定義如下：

(4)

2 線性穩(wěn)定性分析

通過引入擾動來確定交通流在穩(wěn)態(tài)附近的演化過程。均勻流量與速度和車頭時距無關(guān)，一般關(guān)系式為：

(5)

當(dāng)合作跟車系統(tǒng)達到平衡狀態(tài)時，式(2)滿足：

(6)

(7)

平衡狀態(tài)下的小擾動方程為：

(8)

un(t)的關(guān)系介紹如下：

(9)

f(·)的公式由平衡狀態(tài)附近的二階泰勒展開式得到：

(10)

式中：J和H分別是雅可比矩陣和黑塞矩陣。

其中偏導(dǎo)數(shù)：

(11)

根據(jù)文獻[8]可知偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)滿足：f1,n<0,f2,n>0，f3,n>0。

根據(jù)式(2)和式(10)可得：

(12)

線性化的目的是保持方程的一階項，于是得到：

(13)

擾動改寫成Fourier模式下的方程為：

Δyn(t)=Amexp(iαn+zt)

(14)

式中:α是波數(shù)值;Am是傅里葉級數(shù)的振幅。

從式(13)獲得z的等式為：

(15)

式中：z=z1(ik)+z2(ik)2+z3(ik)3+…。將其代入式(15)，收集(iα)的一階項和二階項：

(16)

當(dāng)z2為負時，對于長波模式，均勻穩(wěn)態(tài)變得不穩(wěn)定；如果z2為正，則均勻穩(wěn)態(tài)變得穩(wěn)定。因此，對于波長長的小擾動，均勻的交通流是穩(wěn)定的。

(17)

穩(wěn)定性依據(jù)判定式(17)表明，合作模式對交通流的穩(wěn)定起著積極作用，而延誤則對交通流的穩(wěn)定造成負面影響。根據(jù)式(17)，可證明與相對速度相關(guān)的時滯對線性穩(wěn)定判據(jù)沒有作用。

對于具有時滯的協(xié)同最優(yōu)速度(OV)模型，給出其數(shù)學(xué)動力學(xué)方程：

(18)

式中：κ和λ分別是驅(qū)動器靈敏度和增益系數(shù)；V(·)是最佳速度函數(shù)，取決于車頭時距Δxn。根據(jù)實驗數(shù)據(jù)對最佳速度函數(shù)進行了標(biāo)定[30]：

V(Δx)=V1+V2tanh[C1(Δx-lc)-C2]

(19)

式中：V1=6.75 m/s,V2=7.91 m/s,C1=0.13 veh-1,C2=1.57 veh-1，車輛長度lc=5 m。此外，令參數(shù)κ=0.8，λ=0.5。

對于上述擴展的OV模型，由式(11)可以得到：

f1,n=-κ

f2,n=κV′

f3,n=λ

(20)

如果τ1=0,τ2=0，穩(wěn)定性條件為[7]：

(21)

如果τ1=0,τ2≠0，穩(wěn)定性條件為[26]：

(22)

如果τ1≠0,τ2≠0,j=1，穩(wěn)定性條件為[22]：

(23)

如果τ1≠0,τ2≠0，穩(wěn)定性條件為[8,12]：

(24)

如圖2所示，其中(a)、(b)、(c)、(d)四幅子圖的無時滯非對稱效應(yīng)權(quán)重分別是β=0.5、β=0.7、β=0.5、β=0.7，圖2(a)、(b)未考慮時間延遲因素影響，圖2(c)、(d)考慮了反應(yīng)延遲τ1、τ2。比較圖2(a)和(b)可知合作行為有助于穩(wěn)定交通流量，這與近期一些微觀模型和宏觀模型的研究結(jié)果一致。同時，不對稱效應(yīng)的權(quán)重影響了交通流的穩(wěn)定性。圖2(c)和(d)表明延誤導(dǎo)致交通不穩(wěn)定，而合作效應(yīng)可以穩(wěn)定交通流。如式(24)和圖2(c)和(d)所示，根據(jù)分析和數(shù)值結(jié)果，延遲和合作是模型依賴的。弦穩(wěn)定性對于表征干擾衰減特別有用。此外，車輛鏈將傳播足夠的增長以觸發(fā)非線性效應(yīng)，如孤立波。

(a) β=0.5

3 非線性分析

導(dǎo)出非線性方程的想法首先被引入OV模型[29]，它是由數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家在后來的研究中開發(fā)的。將這些發(fā)展概括為一類合作汽車跟隨模型。將在弱非線性區(qū)域中研究Burgers方程和KdV方程，并推導(dǎo)出一些關(guān)系。

從式(12)開始，設(shè)定：

(25)

(26)

(27)

(28)

因此，得到：

(29)

3.1 Burgers方程及其解

從粗粒化的尺度來考慮交通流的波是長波型。通過使用還原微擾法，由式(12)推導(dǎo)出穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的Burgers方程。引入了多個變量：空間變量n和時間變量t，以及慢變量X和T。

X=ε(n+bt)T=ε2t0<ε?1

(30)

式中：b是待定系數(shù)，擾動設(shè)定為：

Δyn(t)=εR(X,T)

(31)

根據(jù)式(30)和式(31)，得到以時間求導(dǎo)，車輛從當(dāng)前位置的位移和延遲的泰勒展開式：

(32)

R(t-τ)=R+(-bτε?X-τε2?T)R

將式(25)-式(26)和式(30)-式(32)代入式(12)并擴展到ε的三階項，由此得到非線性偏微分方程為：

(33)

令d1=0，在式(33)中消除ε的二階項，得到以下偏微分方程：

(34)

式(34)即為Burgers方程，將在以下案例研究中進行分析。對于擴展的OV模型，結(jié)合方程可知，當(dāng)V″<0時，系數(shù)d3在穩(wěn)定區(qū)域中為負，并且滿足穩(wěn)定性條件。Burgers方程的解為：

(35)

3.2 KdV方程及其解

本節(jié)推導(dǎo)了描述中性穩(wěn)定附近孤子波的KdV方程，采用非線性分析方法，研究了臨界點附近的緩慢變化行為。為了使用空間變量n和時間變量t提取慢速標(biāo)度，定義慢速變量X和T為：

X=ε(n+bt)T=ε3t0<ε?1

(36)

式中：b是待定系數(shù)。擾動設(shè)定為：

Δyn(t)=ε2R(X,T)

(37)

根據(jù)式(36)和式(37)，對時間求導(dǎo)，車輛從當(dāng)前位置的位移和延遲的泰勒展開式三個方程為：

(38)

(39)

R(t-τ)=R+(-bτε?X-τε3?T)R

(40)

將式(25)、式(26)和式(36)、式(37)、式(40)代入式(12)，將其擴展到ε的第六階，得到如下非線性偏微分方程：

(41)

式中：g3=(bf1+f2)。令g3=0，即b=-f2/f1。

線性穩(wěn)定性依據(jù)式(17)定義了與中性穩(wěn)定性的緊密關(guān)系，因此括號內(nèi)的g4項等于ε2，那么g4項的階數(shù)為ε6，可以忽略。

對于O(ε)項分兩種情況進行闡述。

(1) 考慮五階項，忽略O(shè)(ε)項。得到的KdV方程為：

(42)

為了得到具有更高階校正的標(biāo)準(zhǔn)KdV方程，在式(42)中進行以下變換：

(43)

(44)

(2) 考慮O(ε)校正。假設(shè)：

(45)

式(37)的微擾項給出了從KdV孤子連續(xù)族中選擇唯一成員的條件：

(46)

式中：A是一個自由參數(shù)，是KdV方程的孤子解的振幅。為了獲得A的值，可解性條件是：

(47)

(48)

通過積分得到振幅[8]：

根據(jù)式(37)可以得到擾動的表達式為：

(49)

根據(jù)不同延遲下具有小擾動的交通流的演化，找到了中性穩(wěn)定附近的孤子波。對于合作OV模型，根據(jù)式(20)得到高階修正項的KdV方程為：

(50)

振幅A的值為：

(51)

根據(jù)式(34)，得出擾動的表達式為：

(52)

4 仿真實驗

為了驗證理論分析的結(jié)果，假設(shè)由擴展的OV模型呈現(xiàn)的所有車輛在周期性邊界條件下移動。實驗場景如圖3所示，有N=100輛車行駛在長度L=1 500 m的環(huán)形道路上，所有車輛的初始額定速度為V(L/N)，車頭時距恒定，為L/N。采用式(19)作為OV函數(shù)。考慮車輛為k=k′=3，非對稱性權(quán)重為β=0.7，其他參數(shù)與上述擴展OV模型相同。

圖3 環(huán)路圖

假設(shè)初始擾動為：

(53)

將上述參數(shù)值代入穩(wěn)定性判斷函數(shù)式(24)，函數(shù)值顯示初始擾動是穩(wěn)定的。圖4和圖5分別展示了t=4 000 s時交通波的時間演變和相應(yīng)的車頭時距分布。可以看到在τ1恒定不變、τ2不同的情況下，車頭時距經(jīng)過足夠長的時間后的時空演化規(guī)律。根據(jù)式(24)，當(dāng)τ1=0.2、τ2=0.1時，交通流量是穩(wěn)定的，因此小擾動會減弱，如圖4(a)和圖5(a)所示，整個空間的交通流是均勻的。當(dāng)τ1=0.2時，τ2=0.2、τ2=0.3和τ2=0.4不滿足線性穩(wěn)定性條件，如圖4(b)、(c)、(d)和圖5(b)、(c)、(d)所示。

(a) τ2=0.1

(a) τ2=0.1

如圖6所示，磁滯回線將隨著τ2增大而增大，這與交通流不穩(wěn)定性的相對應(yīng)。在交通流穩(wěn)定的情況下，相空間不會產(chǎn)生磁滯回線，而是只在最優(yōu)速度曲線上存在一個點。這說明τ2越大，交通堵塞越嚴(yán)重。這些擾動將沿著傳播足夠的增長以引發(fā)非線性效應(yīng)。最后，交通流會發(fā)生振蕩和交通波。從圖4(b)、(c)、(d)中將依次出現(xiàn)三角形沖擊波、孤立波和振蕩波。

圖6 考慮不同延遲的磁滯回線

圖7所示為在τ2不改變、τ1不同的情況下，足夠長的時間后車頭時距的時空演化規(guī)律。圖7和圖8分別展示了t=4 000 s獲得的交通波的時間演變和相應(yīng)的車頭時距曲線。對于τ1=0.1、τ1=0.2和τ1=0.3，小擾動會被放大;然后，小擾動將傳播足夠的增長以觸發(fā)非線性效應(yīng);最后，交通流量會發(fā)生振蕩和交通波。圖7(a)、(b)、(c)與圖8(a)、(b)、(c)分別對應(yīng)三角形沖擊波、孤立波和振蕩波。利用線性穩(wěn)定判斷依據(jù)式(28)可知，當(dāng)τ1=0.4與τ2=0.3時的交通流是穩(wěn)定的。

(a) τ1=0.1

(a) τ1=0.1

如圖9所示，磁滯回線將隨著τ1的增大而增大。當(dāng)τ1的時延增加時，交通流會趨于穩(wěn)定，且相空間不會產(chǎn)生磁滯回線。這表明當(dāng)τ1的時延增加時，交通堵塞將穩(wěn)定。因此，小擾動會被減弱，如圖7(d)、圖8(d)所示，整個空間的交通流是均勻的。這表明，適當(dāng)增加駕駛員對主機速度的反應(yīng)時間有助于在一定程度上降低非線性效應(yīng)。

圖9 考慮不同延遲的磁滯回線

5 結(jié) 語

本文提出了考慮車輛合作與時間延遲的車輛跟馳模型，研究了模型的線性穩(wěn)定性條件，建立了穩(wěn)定性判定依據(jù)。研究發(fā)現(xiàn)，延遲與合作是依賴模型的。然后討論了合作與時滯的關(guān)系，并推導(dǎo)出車輛跟馳模型的Burgers方程與KdV方程的綜合方法，得到其孤立波解和約束條件。最后利用解析和數(shù)值方法研究了合作最優(yōu)速度(OV)模型的性質(zhì)，該模型估計了延遲對交通阻塞演化的影響，研究了系統(tǒng)的震蕩波和時走時停波。數(shù)值結(jié)果表明，在考慮協(xié)同作用的情況下，交通阻塞得到了抑制。此外，對相對運動的感知延遲容易觸發(fā)交通波，傳感器對主控車輛的延遲檢測，在一定程度上有利于緩解失穩(wěn)效應(yīng)。目前，該方法還不能直接應(yīng)用于實際交通場景。因為此方法忽略了很多細節(jié)，包括車輛動力學(xué)、道路環(huán)境和駕駛員狀態(tài)等，同時，也沒有考慮偶然性及不確定性，比如道路突發(fā)事故、噪聲干擾等。本文方法仍有很多限制，這些因素將在今后的研究中加以考慮。