ΣΔ調制的噪聲整形特性研究

高愛國

92853部隊 遼寧市 葫蘆島市 125100

引言

ΣΔ調制的過采樣技術和噪聲整形技術能夠將量化噪聲從低頻推到高頻，大量的高頻能量分布在一個很寬的頻帶范圍內，可以在信號基帶內獲得較高的輸出信噪比，高頻段能量可以通過一個低通濾波器來濾除，目前ΣΔ調制技術廣泛應用于數字音頻、數字電話、頻率合成等許多領域［1，2］。

1 ΣΔ調制器的原理

1.1 過采樣技術

所謂過采樣技術就是以遠遠高于奈奎斯特采樣頻率的頻率對模擬信號進行采樣［3］。由信號采樣量化理論可知，在不發生過載現象、輸入信號的幅度是隨機分布的條件下，并且假定量化噪聲e 是一個平穩的、概率分布是均勻的隨機序列，量化噪聲本身的任意兩個值之間不相關，且與輸入信號無關，則量化噪聲的總功率可以用一個常數來表示［4］。

對于均勻量化，Δ=2E/N，其中E 是信號幅度，N 是量化級數，且N=2n，n 是量化器的位數。代入式（1）可得：

式（2）表明，對于均勻量化，量化噪聲的總功率與量化級Δ的平方成正比，與量化級數N 的平方成反比，當量化位數n 增加一位，量化級Δ減小1/2，量化噪聲功率降低6dB。

量化噪聲的總功率在0～fs/2的頻帶范圍內均勻分布，其功率譜密度E2（f）為：

設輸入信號基帶為0～fB，則在信號基帶內的量化噪聲PNoise為：

式（4） 中OSR=fs/（2fB），稱為過采樣率。式（4）表明，信號基帶內的量化噪聲與過采樣率（OSR）成反比，增加過采樣率，可以減小信號基帶內的量化噪聲，使得量化噪聲的功率譜密度分布在更寬的頻帶內。

圖1 所示為不同采樣頻率下的量化噪聲功率譜密度分布圖。fS1是奈奎斯特采樣頻率，fS1=2fB，fB為基帶帶寬，由圖1 可見，量化噪聲在奈奎斯特采樣頻率下功率譜密度全部分布在信號基帶內。而在過采樣頻率fS2下，量化噪聲被擴展到一個寬的頻帶內，只有一部分量化噪聲落在基帶內，因此降低了信號基帶內的量化噪聲，而基帶外的噪聲可以通過一個低通濾波器濾掉。

圖1 奈奎斯特采樣頻率和過采樣頻率下的量化噪聲功率譜密度

假設信號功率為Pi，則信噪比（SNR）為：態范圍（量化器所能達到的最大信噪比）增加24dB，即相當于量化器的量化位數提高4 位。但是，過高的OSR 在硬件上難以實現，通常OSR 一般不超過512。

1.2 噪聲整形技術

ΣΔ調制器具有獨特的噪聲整形技術，噪聲整形就是將低頻段的量化噪聲轉移到高頻段，從而減小信號基帶內的量化噪聲，提高輸出信噪比。

對于一階ΣΔ調制器的基本結構如圖2 所示。包括一個積分器、一個1bit 量化器和一個反饋回路。

式（5）表明，過采樣率每提高一倍，SNR 可以提高3dB，即相當于將量化器的量化位數增加半位。當OSR=256 時，動其中積分器的傳遞函數為

為便于分析，可以用圖3 所示的線性模型來做近似分析［5］，其中，量化器引入的量化噪聲e（n）假設為加性噪聲。

圖2 一階ΣΔ調制器

圖3 一階ΣΔ調制器的線性模型

圖4 一階、二階、三階ΣΔ調制器的噪聲傳輸函數的頻率響應

調制器的傳輸函數為：

式（7）中X（z）、Eq（z）分別為信號和量化噪聲的Z 域變換，定義信號傳輸函數STF（z）和噪聲傳輸函數NTF（z）分別為。

將式（6） 代入式（8） 和式（9），可得一階ΣΔ調制器的信號傳輸函數和噪聲傳輸函數。顯然，系統對輸入信號x（n）的傳輸只有一個延時，而對量化噪聲是以一階差分的形式進行傳輸。

同理可推知，在量化器前面插入L 個積分器可以構成L 階ΣΔ調制器，對于L 階ΣΔ調制器的信號傳遞函數（STF）和噪聲傳輸函數（NTF）為：

根據式（12），圖4 給出了一階、二階、三階ΣΔ調制器噪聲傳遞函數的幅頻響應曲線。

圖4 表明，隨著調制器階數的增加，噪聲整形能力越好，基帶內的量化噪聲越小，一階ΣΔ調制器在信號基帶內的量化噪聲最大，三階ΣΔ調制器的量化噪聲最小。

由式（3）和式（12）可得在基帶0～fB內，L 階ΣΔ調制器的噪聲功率譜密度為：

假設f＜＜fS時，量化噪聲功率為：

假設信號功率為Pi，則信噪比（SNR）為：

由式（15）可知，過采樣率每提高一倍，基帶內信噪比可以提高3（2L+1）dB，在輸入信號功率不變的情況下，相當于量化位數提高了L+0.5 位。由此可見，ΣΔ調制器的階數L 越高，則基帶內量化噪聲的整形效果越好，輸出信噪比也越高。

2 ΣΔ調制器的系統仿真

設定ΣΔ調制器的階數為5階，過采樣率OSR=128，量化器采用單比特量化，環路濾波器拓撲結構為一種帶有局部反饋的前饋式求和結構。

根據以上確定的ΣΔ調制器的仿真參數，使用delta-sigma toolbox，在Matlab 中對該設計的調制器性能進行系統仿真，首先根據調制器的基本參數確定噪聲傳遞函數（NTF）和信號傳遞函數（STF）的表達式，對輸入輸出信號進行時域和頻域的仿真，仿真得到的噪聲傳遞函數（NTF）為式（16）所示：

信號傳遞函數（STF）為式（17）所示：

圖5 給出了輸入信號和輸出信號的時域仿真波形。輸入正弦信號頻率為146Hz，幅值為0.56，采樣點數為65536。圖6給出了輸出信號的頻譜圖，由圖可以得到，噪聲被推到高頻處，信號基帶內輸出信噪比為149.2dB。

圖5 輸入信號和輸出信號時域圖

結 論

針對信號基帶內噪聲問題，分析ΣΔ調制的過采樣技術和噪聲整形技術，理論和仿真分析研究表明，ΣΔ調制的噪聲整形特性能將低頻段的噪聲整形到高頻段，從而減小信號基帶內的量化噪聲，提高輸出信噪比。

圖6 輸出信號頻譜