數形結合：數與形的雙向“溝通”

文無 言

（作者單位：江蘇省無錫市西漳中學）

數形結合，反映了圖形與數量之間的關系。既是重要的知識內容，又是重要的數學思想。

兩條直線的位置關系與角的大小之間有著內在聯系。由角的數量關系判定直線的位置關系，由直線的位置關系決定角的數量關系。

例如，兩條直線相交就一定會產生角——兩組對頂角，因為兩組對頂角分別相等、兩組對頂角之間互補，所以只要其中一個角確定，那么其他3 個角就全部確定。因此，只要聚焦其中一個角即可。當這個角的大小是一個特殊值——90°的時候，這兩條直線就垂直。于是，交角的90°判定了兩條直線垂直，兩條直線垂直就決定了交角的值為90°。這就是垂直概念的兩層含義。

很自然地，我們會想：既然相交的位置關系是這樣研究的，那么平行的位置關系是否也有類似的研究呢？

麻煩的是，對于什么是平行，課本上只給出了一個模糊的說法：“在同一平面內，不相交的兩條直線叫作平行線?！笔裁词遣幌嘟荒兀坎幌嘟痪筒划a生交角。這只是一種直觀的認識，在具體問題中無法像垂直一樣進行清晰精確的操作。

但是，平行線的作圖過程告訴我們，三角尺的平移保證了兩條邊的平行，如圖1。

圖1.平行線的作圖

對這個過程進行抽象，就會出現兩條直線被第三條直線所截的基本圖形——三線八角，如圖2。在這個圖形中，兩個交點處共出現四組對頂角。根據前文內容，我們只需要在兩個交點處分別聚焦一個角即可。

圖2.三線八角

平行線的畫圖，讓我們自然關注這些角：∠1 與∠5、∠4 與∠8、∠7 與∠3、∠2與∠6，這四組角相對于截線和被截線而言位置都相同，因此叫同位角。畫圖也告訴我們一個基本事實：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。這就建立了第一個判定條件——由同位角的數量關系判定直線的位置關系。

進而，諸如∠3 與∠5、∠4 與∠6 都是位于被截線內部、交錯分布在截線兩側，因此名為“內錯角”。內錯角的數量關系可以化歸為同位角的數量關系。同理，命名“同旁內角”，其數量關系同樣化歸為同位角的數量關系。所以，“三類角”的數量關系就判定了直線的位置關系。

在蘇科版數學教材七年級下冊第16 頁讀一讀《怎樣證實“兩直線平行，同位角相等”》中，編者依據基本事實“同位角相等，兩直線平行”“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”，利用反證法，證實了“兩直線平行，同位角相等”。這就構建了由直線的位置關系決定一類角的數量關系的方法。在此基礎上，將另外兩類角的數量關系化歸為同位角的數量關系。于是，直線的位置關系就決定了“三類角”的數量關系。

可見，將直線的位置關系與“三類角”的數量關系建立聯系，既是知識發展的必然邏輯，也是一種形象直觀的方法。這種數形結合的思想不僅體現在知識的形成過程中，其重要性更體現在具體的解題過程中。