化歸：抓住事物之間的內(nèi)在聯(lián)系

文鐘 鳴

（作者單位：江蘇省無錫市西漳中學(xué)）

在這一章的學(xué)習(xí)中，教材通過作對角線的方式（還有頂點與內(nèi)部點或邊上點連接的方式分割），把“多邊形的內(nèi)角和”轉(zhuǎn)化到三角形中去研究。這種化復(fù)雜為簡單、化未知為已知的思想方法就是化歸。

化歸是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡稱。內(nèi)錯角相等（同旁內(nèi)角互補）可以轉(zhuǎn)化為同位角相等，于是“內(nèi)錯角相等（同旁內(nèi)角互補），兩直線平行”就歸結(jié)為“同位角相等，兩直線平行”，“兩直線平行，內(nèi)錯角相等（同旁內(nèi)角互補）”就歸結(jié)為“兩直線平行，同位角相等”。只要理解和掌握了“同位角相等，兩直線平行”（“兩直線平行，同位角相等”），就容易理解和掌握另外兩條判定（性質(zhì)）定理。化歸的實質(zhì)是事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，直線平行的判定和性質(zhì)，其內(nèi)在聯(lián)系如下（箭頭表示推導(dǎo)出）：

化歸不僅是一種重要的思想，也是一種基本的策略，更是一種有效的解題方法。

例1回顧“多邊形內(nèi)角和”的學(xué)習(xí)過程，完成探索和遷移。

（1）【探索】如圖1，是“雙環(huán)內(nèi)三角形”圖形，求∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A6的值。

圖1

（2）【遷移】如圖2，是“雙環(huán)內(nèi)四邊形圖形”，求∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A8的值。

圖2

【解析】“多邊形內(nèi)角和”的學(xué)習(xí)過程，核心就是將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，將“多邊形內(nèi)角和”歸結(jié)為“三角形內(nèi)角和”。圖1 是我們不熟悉的多邊形，直接求解比較困難，需要轉(zhuǎn)化。沿著這樣的方向去探索和嘗試，我們就能夠最終找到連接“A1A4”的方法。于是，∠A5+∠A6轉(zhuǎn)化為∠A6A1A4+∠A5A4A1，原來的6 個角的和就歸結(jié)為四邊形的內(nèi)角和。在解決了（1）的基礎(chǔ)上，把類似的經(jīng)驗遷移到（2）中，就能最終找到連接“A1A5”和“A6A8”的方法，原來8 個角的和就歸結(jié)為一個五邊形的內(nèi)角和加上一個三角形的內(nèi)角和。

由此可見，學(xué)習(xí)的根本在于抓住知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，理解和掌握知識生成過程中的數(shù)學(xué)思想方法，積累感悟數(shù)學(xué)思想的活動經(jīng)驗。這樣，當(dāng)我們再碰到相似的問題時，就能夠進(jìn)行自然的聯(lián)想和遷移。就像上面的例子，當(dāng)面對不規(guī)則的多邊形的時候，我們就具備了可供借鑒的思考基礎(chǔ)——研究規(guī)則多邊形的經(jīng)驗，就會有所啟發(fā)——轉(zhuǎn)化為規(guī)則多邊形問題。