基于Gabor框架的線性調頻信號壓縮采樣與重構

孟 晨, 王 強,*, 王 成, 李一寧

(1.陸軍工程大學石家莊校區導彈工程系, 河北 石家莊 050003;2.國民核生化災害防化國家重點實驗室, 北京 102205)

0 引 言

線性調頻(linear frequency modulation, LFM)信號又稱Chirp信號,是信號處理領域中常用的信號形式,在雷達、聲吶等探測系統中,均得到廣泛應用[1-3]。該類信號頻帶較寬,在Nyquist采樣定理下,要保證信號的精確重構,采樣頻率至少是信號最高頻率的兩倍。因此,傳統A/D轉換器需要工作在極高的采樣頻率下,以保證信號在采樣過程中不造成信息丟失。

壓縮感知理論的產生,為寬帶LFM信號的采集問題提供了一種新的思路[4-7]。在壓縮感知理論框架下,信號的采集過程不再依賴于Nyquist采樣定理,而是基于信號本身所具有的信息量,在信號采集的同時,實現信號的壓縮。基于壓縮感知理論,國內外學者對壓縮采樣的具體實現方式進行了研究,主要包括調制帶寬轉換器(modulated wideband converter, MWC)壓縮采樣系統[8-9]、隨機解調(random demodulation, RD)壓縮采樣系統[10-11]以及Gabor框架壓縮采樣系統[12-13]。相比于MWC以及RD壓縮采樣系統,Gabor框架壓縮采樣系統能夠利用信號在時頻域所具有的稀疏性,實現較低的采樣頻率以及采樣點數。因此,在LFM信號壓縮采樣中,具有極大的應用前景。

Gabor框架壓縮采樣本質上是對LFM信號時頻系數的壓縮采樣。在重構過程中,首先利用采樣點實現對時頻系數的重構,再利用時頻系數完成對LFM信號的重構,因此時頻系數的精確重構是原始信號精確重構的先決條件。在Gabor框架壓縮采樣系統下,時頻系數的重構過程是一個多觀測向量(multiple measurement vectors, MMV)的重構問題[14-15]。目前,求解這一問題的典型算法包括:多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)算法[16-17]、同步正交匹配追蹤(simultaneous orthogonal matching pursuit, SOMP)[18-19]、同步壓縮傳感匹配追蹤(simultaneous compressive sampling matching pursuit, SCoSaMP)[20]以及多維擴展的稀疏貝葉斯學習算法(multiple response extension of sparse bayesian learning, M-SBL)[21-23]等。MUSIC算法能夠以較低的采樣率取得良好的重構效果,因此得到廣泛應用,但是該算法要求原始信號稀疏矩陣非零行子矩陣為行滿秩。而對于LFM信號,其時頻系數矩陣非零行之間具有一定的相關性,因此時頻系數的精確重構得不到保證。SOMP以及SCoSaMP算法是對單觀測向量(single measurement vector, SMV)模型中,正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit,OMP)以及壓縮傳感匹配追蹤(compressive sampling matching pursuit, CoSaMP)算法的擴展,該類算法簡單易實現、運算量少,但是在低采樣率下極易陷入局部最優,重構誤差較大。M-SBL是對SMV模型中稀疏貝葉斯學習(sparse Bayesian learning, SBL)算法[24-25]的擴展,該算法假設不同觀測向量之間具有相同的稀疏分布模型,利用概率推理的方式估計模型參數。相比于SOMP以及SCoSaMP算法,M-SBL算法重構精確較高,重構效果較好。

鑒于M-SBL算法在求解MMV重構問題中所表現的優勢,本文將M-SBL算法用于LFM信號時頻系數的壓縮采樣重構過程中。在M-SBL算法下,稀疏矩陣的重構精度依賴于矩陣不同列向量之間的相關性。而對于LFM信號,其時頻系數矩陣,相鄰列向量之間具有一定的相關性,非相鄰列向量之間相關性較差。因此,若直接采用M-SBL算法對LFM信號時頻系數進行重構,則需要較高的采樣點數來保證信號的重構精確,嚴重影響系統的壓縮采樣效果。

針對上述問題,本文研究了LFM信號壓縮采樣與精確重構方法。利用Gabor框架壓縮采樣系統,實現對LFM信號的壓縮采樣,以降低采樣頻率;引入M-SBL算法,求解重構過程中存在的MMV重構難題;針對LFM信號時頻系數矩陣非相鄰列向量之間相關性較差的問題,提出基于優化分類的信號重構方法,保證在較低的采樣點數下,實現對LFM信號的精確重構。

1 Gabor框架壓縮采樣系統

1.1 Gabor變換及Gabor框架

Gabor變換[26-27]是一種廣泛使用的線性時頻分析方法,對于連續時間信號x(t)∈L2(C),Gabor變換系數可以表示為

(1)

式中，MblTakg=g(t-ak)ej2πblt為時頻平移算子,a、b分別為時、頻平移參數。Gabor變換系數zk,l本質上是信號x(t)在時頻柵格(ak,bl)處的短時傅里葉變換,窗函數為g(t)。

為保證Gabor變換后,原始信號能夠得到重構,定義Gabor框架[20,28-29]如下。

定義1對于任意的連續時間信號x(t)∈L2(C),若存在常數0

(2)

則稱G(g,a,b)為Gabor框架,其中A1、A2分別為Gabor框架上下界。

給定窗函數g(t)、時頻平移參數后,若Gabor框架條件得到滿足,則存在對偶窗函數γ(t),使得信號x(t)能夠表示為

(3)

與短時傅里葉變換相對比,Gabor變換使用了離散的時頻柵格來對信號進行處理,同時Gabor框架的存在,保證了原始信號能夠通過變換后的系數得到完全重構。而對于有限時頻域支撐的信號,這種離散的時頻柵格使得信號能夠在有限的時頻系數下進行展開。

假設信號時域支撐為[0,T],根據不確定性原理,其頻域無限支撐。但考慮到信號能量主要分布在有限的頻帶范圍內,因此定義信號本質帶寬F=[Ω1,Ω2],滿足

(4)

式中,X(f)為信號x(t)的傅里葉變換;Fc表示F以外的頻帶;òΩ<1。則信號在對偶窗函數γ(t)下的展開可以近似為

(5)

若窗函數g(t)在[0,Wg]上緊支撐,本質帶寬為[-Ωg,Ωg],則K1、K2、L1、L2可以表示為

?

(6)

對于有限時域支撐的LFM信號,圖1給出了該信號在Gabor變換下的時頻特性圖。其中,圖1(a)為LFM信號時域波形,圖1(b)為LFM信號在Gabor變換下的時頻特性。

圖1 LFM信號時頻特性

可以看出,LFM信號在Gabor變換下具有良好的稀疏性。利用這種稀疏性,本文引入了Gabor框架壓縮采樣系統,實現對LFM信號的壓縮采樣。

1.2 壓縮采樣系統

Gabor框架壓縮采樣系統由Eldar團隊于2012年提出[12],該系統模型結構如圖2所示。

圖2 Gabor框架采樣系統模型結構

圖2中,輸入信號x(t)同時進入JM個通道,在第(j,m)個通道中,x(t)首先和函數qj,m(t)=wj(t)sm(t)相乘,再利用積分器完成積分,其中0≤j≤J-1,0≤m≤M-1,且j,m∈Z。函數qj,m(t)根據Gabor框架G(g,a,b)進行設計,其表達式為

qj,m(t)=wj(t)sm(t)

(7)

(8)

式中,wj(t)為頻域調制函數;sm(t)為時域調制函數。x(t)經過第(j,m)個通道后進行采樣,每一個通道上的測量值可以表示為

(9)

通過采樣系統獲得測量值yj,m后,可以根據調制函數中的djl和cmk等參數信息求解出Gabor系數zk,l,再利用式(5)重構出原始信號。

2 基于優化分類的LFM信號重構

2.1 壓縮采樣系統重構模型

為求解Gabor系數zk,l,將式(9)寫成矩陣形式:

Y=DUT,U=CZ

(10)

式中,Y為J×M維矩陣,第(j+1,m+1)個元素為yj,m;假設L=L2-L1+1,K=K2-K1+1,則U是M×L維矩陣;Z為K×L維Gabor系數矩陣,其l-L1+1列為Z·l-L1+1=[zK1,l,…,zK2,l]T,C為M×K維測量矩陣,其(m+1,k-K1+1)處元素為cmk;D為J×L維矩陣,其(j+1,l-L1+1)處元素為djl;C和D的選擇要保證能夠從Y中恢復出Z;如果J=L,M=K,且C和D為單位矩陣,則本文采樣系統就是標準的無壓縮的Gabor框架采樣系統。

為簡化電路設計,令J=L且D=I,則式(10)可以簡化為U=CZ,其中U=YT。由于LFM信號Gabor系數矩陣具有良好的稀疏性,因此可以通過重構算法,實現對Gabor系數矩陣的精確重構,該過程是一個MMV重構問題,即

s.t.U=CZ

(11)

式中,supp(·)表示求支撐集。完成矩陣Z的重構后,即可通過式(10)重構出原始信號。

2.2 M-SBL算法

針對上述MMV重構問題,本文提出了基于M-SBL的求解方法[21-22]。考慮到壓縮測量過程可能存在的噪聲干擾,U可以表示為

U=CZ+n

(12)

假設U·l為矩陣U的第l-L1+1列,則

U·l=CZ·l+n·l

(13)

為簡化分析過程,假設噪聲為零均值高斯噪聲,噪聲方差為σ2,則U·l的條件分布概率密度函數為

(14)

對于Gabor系數矩陣,其第k-K1+1行向量Zk·的先驗稀疏分布為高斯分布,方差為γk,即

p(Zk·|γk)=N(0,γkΙ)

(15)

則系數矩陣Z的先驗分布可以表示為

(16)

式中,γ為超參數向量,γ=[γK1,γK1+1,…,γK2]T。利用式(14)和式(16),Z·l的后驗分布可以表示為

(17)

式中,均值和方差分別為

M=[μ·L1,μ·L1+1,…,μ·L2]

(18)

(19)

式中,Γ=diag(γ)；Σt=σ2I+CΓCT;M為對Gabor系數矩陣Z的估計。參數σ以及超參數向量γ可通過最大化邊緣似然函數獲得,即

(20)

具體推導過程可參考文獻[21],其參數估計結果為

(21)

(22)

2.3 優化分類方法

從上述分析可以看出,M-SBL算法重構過程中假設Gabor系數矩陣Z中各行服從同一高斯分布。從另一角度來說,要滿足這種分布特性,Gabor系數矩陣Z中各列之間需要具有很強的相關性。而對于LFM信號,其Gabor系數矩陣特性如圖1所示,可以看出,Z中只有相鄰列之間具有一定的相關性,而非相鄰列之間相關性變小,并且間隔距離越大,相關性越小。LFM信號這一特點使得M-SBL算法直接用于求解式(11)時,重構效果較差,要保證較小的重構誤差,只能通過增加采樣點數,這就嚴重影響了壓縮采樣系統的壓縮率。

針對這一問題,本文提出了基于優化分類的LFM信號壓縮采樣重構方法,該方法以M-SBL算法為基礎,利用U中的信息,對各個列向量進行分類,再利用M-SBL算法逐類進行壓縮采樣重構。

U中的每個列向量,表示壓縮采樣系統對Gabor系數矩陣Z中相應列向量的采樣結果,因此對U的分類,也實現了對Gabor系數Z的分類。而分類的目的是要保證Gabor系數子矩陣(由Z中同屬一類的列向量組成)各列之間具有良好的相關性。從而可以假設該子矩陣中各列具有相同的稀疏先驗分布模型,并利用M-SBL算法對該子矩陣進行重構。

LFM信號Gabor系數矩陣Z中相鄰列之間具有一定的相關性,利用這一特點,本文將U中列向量的分類問題轉化為列向量的分割問題,以保證Gabor系數子矩陣各列在原Gabor系數矩陣Z中的相鄰性。假設分類個數為N,定義分割位置集合p={p1,p2,…,pN+1},其中:

(23)

式中，元素pi(2≤i≤N)表示第i-1類與第i類之間的分類位置,則p中N+1個元素將U中列向量分為N類。同時,同類列向量之間的相鄰性也保證了所對應的Gabor系數子矩陣各列之間相鄰。

為保證分類效果,本文引入目標函數來優化分割位置。首先,定義相關性參數來衡量U中同類列向量之間的相關性。對于U中任意兩列向量,相關性參數定義為

(24)

其中

(25)

為衡量同類列向量之間的相關性,定義分類中心向量為

(26)

式中,Li=pi+1-pi,則同類列向量之間的相關性可以表示為

(27)

令rmin=min{r1,r2,…,rN},則優化目標函數可以表示為

(28)

上述目標函數可以通過優化算法進行求解,如粒子群優化(particle swarm optimization, PSO)算法以及量子粒子群優化(quantum particle swarm optimization, QPSO)算法[30-31]等。優化過程中,以集合p中N-1個元素pi(2≤i≤N)為待優化參數,以式(28)為目標函數,輸出最終的分割位置pi,實現最佳的分類方式。

綜上所述,本文基于優化分類的M-SBL重構算法如算法1所示。

算法1基于優化分類的M-SBL重構算法

輸入:矩陣U,矩陣C;

輸出:Gabor系數矩陣Z′;

步驟1QPSO優化分類

步驟1.1以p中N-1個元素為待優化參數,初始化粒子位置以及速度;

步驟1.2根據式(27)計算同類列向量的相關系數,確定粒子群中全局最優位置以及每個粒子局部最優位置;

步驟1.3更新粒子位置以及速度信息;

步驟1.4判斷是否滿足迭代終止條件,滿足則給出最優的分割位置集合p,否則返回步驟1.2。

步驟2M-SBL逐類重構

步驟2.1根據步驟1中的最優分割位置集合p對U進行分類,并逐類運行步驟2.2～步驟2.5;

步驟2.2初始化稀疏先驗分布參數以及噪聲方差;

步驟2.3利用式(18)和式(19)完成對稀疏系數均值與方差的估計;

步驟2.4利用式(21)和式(22)完成分布參數的更新;

步驟2.5判斷是否滿足迭代終止條件,滿足則利用均值給出重構的Gabor系數子矩陣,否則返回步驟2.3;

步驟2.6對子矩陣進行重新組合,輸出Gabor系數矩陣Z′。

得到重構的Gabor系數矩陣Z′后,可在Gabor框架下,完成對原始LFM信號的重構。LFM信號的整個壓縮采樣與重構流程可以表述為圖3的形式。首先,利用Gabor框架壓縮采樣系統完成LFM信號壓縮采樣,并通過離散的采樣點構造矩陣U;然后利用矩陣U和矩陣C以及本文基于優化分類的M-SBL重構算法完成重構過程,獲得Gabor系數矩陣Z′;最后,利用矩陣Z′,在Gabor框架下,完成對原始LFM信號的重構。

圖3 LFM信號壓縮重構流程

相比于未經分類優化的重構算法相比,本文基于優化分類的LFM信號壓縮采樣重構方法在一定程度上增加了重構過程復雜度。但是,該重構方法仍然較高的應用價值。一方面,LFM信號在時頻域所具有的特點,使得其在未經分類的條件下,Gabor系數矩陣非相鄰列之間相關性較差,聯合稀疏度較大。要保證原始信號的精確重構,就需要增加采樣點數,這就會導致前端壓縮采樣系統壓縮效率較差。而基于優化分類的重構方法能夠有效減少前端壓縮采樣系統對采樣點數的需求,降低存儲空間與傳輸壓力。另一方面,本文優化分類的重構過程通常在后端服務器內運行,而后端服務器強大的運算能力能夠支持更為復雜的重構算法,因此在實際應用過程中,計算復雜度增加的問題,能夠得到很好的解決。

3 仿真實驗

3.1 仿真LFM信號

為驗證本文算法的有效性,利用LFM信號進行仿真實驗。仿真LFM信號表達式為

(29)

式中,f0為中心頻率;k為調頻率。實驗過程中,利用式(29)產生兩種LFM信號,信號參數設置如表1所示,信號時域波形以及頻譜如圖4所示。兩種LFM信號時域支撐均為[0, 1 μs],本質帶寬分別為[-420 MHz, 420 MHz]、[-620 MHz, 620 MHz]。

表1 兩種LFM信號參數設置

圖4 仿真信號

3.2 LFM信號壓縮采樣

針對上述LFM信號,利用Gabor框架壓縮采樣系統對信號進行壓縮采樣。采樣系統中cmk為偽隨機數,g(t)為高斯窗函數,窗函數時域波形以及頻譜如圖5所示,該窗函數在[0, 0.075 μs]上緊支撐,本質帶寬為[-60 MHz,60 MHz]。壓縮采樣系統時、頻平移參數設置為0.025 μs、40 MHz。則對于上述兩種LFM信號,時頻表示參數設置如表2所示。

圖5 窗函數

表2 兩種LFM信號時頻參數設置

利用LFM信號在Gabor變換下的稀疏性,對信號進行壓縮采樣。設置壓縮采樣通道個數為ML,則采樣點數為ML,單通道采樣頻率為1 MHz。而在Nyquist采樣定理下,兩種信號的最低采樣頻率分別為840 MHz、1 240 MHz。可以看出壓縮采樣系統的采樣頻率遠遠低于信號的Nyquist采樣頻率。

3.3 LFM信號重構效果對比

利用壓縮采樣系統輸出的采樣點,對原始信號進行重構。為驗證本文基于優化分類的M-SBL重構算法的有效性,引入不同重構算法進行LFM信號壓縮采樣重構對比實驗。對比算法包括SOMP以及SCoSaMP。為有效衡量重構效果,引入相對誤差(relative error, RE)作為重構誤差量化指標。RE表達式為

(30)

式中,x′為重構信號。每種算法進行500次蒙特卡羅實驗,當重構信號誤差低于0.01時,認為信號得到精確重構。根據經驗值,兩種信號的分類個數分別設定為5、8。實驗中采用QPSO對壓縮采樣點U進行分類,并逐類進行重構,則不同算法精確重構概率如圖6所示。

圖6 不同算法重構概率

對比兩種信號可以看出,在相同M值條件下,信號2的重構概率要高于信號1。分析其原因,主要是信號2調頻率k要高于信號1。在相同的采樣系統參數設置下,信號2調頻率的提高使得信號時頻域的稀疏度降低、稀疏性得到改善。因此在相同M值條件下,信號2的重構概率要高于信號1。對比不同算法可以看出,M-SBL重構概率要高于SOMP以及SCoSaMP。在經過優化分類后,U中同類列向量所對應的Gabor系數子矩陣聯合稀疏度降低,因此更有利于Gabor系數矩陣的精確重構。同時,基于目標函數的優化分類過程,保證了Gabor系數子矩陣各列之間具有良好的相關性。相比于SOMP以及SCoSaMP算法,M-SBL算法能夠有效利用子矩陣各列之間的相關性,因此在相同的M值條件下,其重構概率更高。

在保證重構概率不低于95%的條件下,兩種信號的最低M取值分別為27、17。此時系統采樣點數分別為621、561。而在Nyquist采樣定理下,兩種信號的最低采樣點數分別為840、1 240。因此可以看出,本文Gabor框架壓縮采樣系統不僅大大降低了采樣頻率,還壓縮了采樣點數。同時,LFM信號調頻率越高,壓縮效果越明顯。

為進一步驗證分類優化方法的有效性,利用壓縮采樣系統輸出,在未經分類的條件下,利用3種算法對原始信號進行重構,并與分類條件下的重構效果進行對比。對于信號1,實驗過程中分別設置M=27、32、37,此時基于分類優化的M-SBL算法重構概率高于95%。在未分類以及分類的條件下,利用3種重構算法對信號1進行重構,為方便觀察原始信號中不同頻率成份的重構效果,圖7～圖9給出了原始信號與重構信號頻譜。

圖7 不同算法重構效果(信號1，M=27)

圖8 不同算法重構效果(信號1,M=32)

圖9 不同算法重構效果(信號1,M=37)

同樣,對于信號2,實驗過程中設置M=17、22、27,以保證基于分類優化的M-SBL算法重構概率高于95%。在未分類以及分類的條件下,利用3種重構算法對信號2進行重構,其原始信號與重構信號頻譜如圖10～圖12所示。對于不同的重構信號,利用式計算重構RE,計算結果如表3所示。

圖10 不同算法重構效果(信號2,M=17)

圖11 不同算法重構效果(信號2,M=22)

圖12 不同算法重構效果(信號2, M=27)

表3 不同算法重構相對誤差對比

從實驗結果可以看出,對于上述兩種LFM信號,未經分類的SOMP、SCoSaMP以及M-SBL算法均不能夠有效重構原始信號。盡管隨著M的提高,重構效果有所改善。但是體現在RE值上,當M值較大時(信號1中M=37時,信號2中M=27時),3種重構算法RE仍大于0.1。相比于未經分類的信號重構算法,經過分類后,不同算法的信號重構效果明顯改善。當M較大時,3種算法均能夠保證重構相對誤差RE低于0.01,重構效果較好。分析其原因,主要是因為在未經分類條件下,LFM信號在Gabor變換下的系數矩陣聯合稀疏度較高,稀疏性較差,在這種條件下,SOMP、SCoSaMP以及M-SBL算法并不能夠有效重構原始信號。而通過優化分類的方式,使得矩陣U中同類列向量所對應的Gabor系數子矩陣聯合稀疏度降低,因此3種算法的重構效果得到明顯改善。同時,與圖6中實驗結果類似,由于M-SBL算法在重構過程中利用了Gabor系數子矩陣各列之間的相關性,因此重構效果最佳,重構相對誤差RE最低。

3.4 噪聲對重構過程的影響

基于Gabor框架的壓縮采樣系統在工作過程中,不可避免地存在噪聲干擾,為此對壓縮采樣過程添加不同信噪比(signal to noise ratio, SNR)的噪聲,分析噪聲對壓縮采樣系統以及重構過程的影響。實驗過程中,重構算法采用的是本文所提的基于優化分類的M-SBL算法。對于信號1,M分別設置為27、32、37,對于信號2,M分別設置為17、22、27。此時,在不含噪聲條件下,原始信號重構概率均高于95%。則在添加噪聲后,信號的重構概率如圖13所示。

從圖13中可以看出,當SNR≤11 dB時,兩種信號在不同M值條件下,重構概率均為0。當SNR>11 dB時,隨著的增加,信號重構概率逐漸升高。當SNR>20 dB時,兩種信號的重構概率均穩定在95%以上。同時,從實驗結果可以看出,在含噪條件下,提高M值,能夠有效改善重構效果。例如,對于信號1以及信號2,M值分別為37、27時,重構概率曲線最先趨于穩定。此時,在保證信號高概率重構的條件下,系統所能允許的噪聲強度最大,即抗噪聲干擾能力最強。因此,在實際應用過程中,可以通過適當提高采樣點數的方法來抑制噪聲對系統工作的影響。

圖13 噪聲對重構概率的影響

4 結 論

在傳統的基于A/D轉換器的信號采集方法下, LFM信號需要極高的采樣頻率以保證采樣過程不造成信息丟失。針對這一問題,本文提出了一種基于Gabor框架的LFM信號壓縮采樣與重構方法。Gabor框架采樣系統用于實現對LFM信號的壓縮采樣,在該系統下,LFM信號的采樣頻率與采樣點數均低于傳統采樣方法。利用壓縮的采樣點,本文提出了基于優化分類的LFM信號重構方法,通過分類,保證了Gabor系數子矩陣各列之間具有良好的相關性。再利用M-SBL算法進行逐類重構,改善LFM信號重構效果。通過仿真實驗,驗證了本文LFM信號壓縮采樣與重構方法的有效性。