應(yīng)用卷積和的離散線性時(shí)不變因果系統(tǒng)零輸入響應(yīng)求解

任 蕾， 薄 華， 金欣磊， 張韻農(nóng)， 楊忠根

(上海海事大學(xué) 信息工程學(xué)院，上海 201306)

0 引言

離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析主要應(yīng)用兩類方法：時(shí)域經(jīng)典法與卷積和法，前者需求解描述系統(tǒng)的差分方程的齊次解和特解，后者則利用激勵(lì)信號(hào)與系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的卷積和確定零狀態(tài)響應(yīng)。國(guó)內(nèi)外的信號(hào)與系統(tǒng)主要教材尚未對(duì)應(yīng)用卷積和求解離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)給出詳細(xì)的闡述[1～6]。筆者團(tuán)隊(duì)在文獻(xiàn)[7]中介紹了連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)的等效激勵(lì)法與卷積法是等價(jià)的，即激勵(lì)信號(hào)的反因果分量與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積的因果分量就是系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)[7]。文獻(xiàn)[8]提出了針對(duì)離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的因果移序定理，同時(shí)也介紹了零輸入響應(yīng)求解的等效激勵(lì)法[8]。

本文在上述基礎(chǔ)上，介紹當(dāng)未知離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的初始條件、而已知全激勵(lì)序列時(shí)直接應(yīng)用卷積和方法求解零輸入響應(yīng)的一般方法，并證明該方法與等效激勵(lì)法的等價(jià)性。離散線性時(shí)不變系統(tǒng)與連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域卷積方法是統(tǒng)一的，其零狀態(tài)響應(yīng)是全激勵(lì)信號(hào)的因果分量與系統(tǒng)沖激響應(yīng)(或脈沖響應(yīng))的卷積(或卷積和)，而零輸入響應(yīng)則是全激勵(lì)信號(hào)的反因果分量與沖激響應(yīng)(或脈沖響應(yīng))的卷積(或卷積和)的因果分量。此類方法適用于未知系統(tǒng)初始條件，而僅已知全激勵(lì)時(shí)的全響應(yīng)時(shí)域求解。本文給出例子說(shuō)明如何應(yīng)用此類方法。

1 離散線性時(shí)不變系統(tǒng)零輸入響應(yīng)求解的卷積和方法

1.1 全激勵(lì)輸入時(shí)的卷積和方法

系統(tǒng)的全激勵(lì)f[n]是指從負(fù)無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)為因果分量f+[n]=f[n]u[n]與反因果分量f-[n]=f[n]u[-n-1]之和(為了避免零時(shí)刻處的信號(hào)疊加，因此規(guī)定離散序列的反因果分量是從負(fù)無(wú)窮開(kāi)始到-1截止的信號(hào))，即：

f[n]=f+[n]+f-[n]

(1)

需要說(shuō)明的是，一般的，所謂線性時(shí)不變系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是指零時(shí)刻之后的響應(yīng)，不包括零時(shí)刻之前的部分，而該部分響應(yīng)是由激勵(lì)的反因果分量導(dǎo)致的，即在參考零時(shí)刻之前，已有激勵(lì)作用于系統(tǒng)，而以初始狀態(tài)的形式呈現(xiàn)，但若該條件未知，而僅已知系統(tǒng)的全激勵(lì)，則可應(yīng)用提出的卷積和方法求解離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。同時(shí)，假設(shè)系統(tǒng)是因果的，因此其脈沖響應(yīng)是因果序列。

與連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)類似，脈沖響應(yīng)為h[n]的離散線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)f[n]的全響應(yīng)可分解為兩部分，其中激勵(lì)的因果分量與脈沖響應(yīng)的卷積和是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，而激勵(lì)的反因果分量與脈沖響應(yīng)的卷積和的因果分量是系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，有：

(2)

當(dāng)系統(tǒng)是因果系統(tǒng)時(shí)，上式可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)為：

(3)

若需觀測(cè)零時(shí)刻之前的響應(yīng)，則其對(duì)應(yīng)激勵(lì)的反因果分量與脈沖響應(yīng)的卷積和的反因果分量，即：

(4)

1.2 與等效激勵(lì)法的等價(jià)性證明

利用因果移序定理[8]和反因果移序定理[9]，同時(shí)借鑒連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域卷積和等效激勵(lì)法的等價(jià)性證明過(guò)程[7]，給出針對(duì)離散線性時(shí)不變系統(tǒng)等效激勵(lì)法與卷積和方法的等價(jià)性證明。

設(shè)描述N階離散線性時(shí)不變因果系統(tǒng)的差分方程為：

(5)

上式可寫(xiě)作：

y[n]*A[n]=f[n]*B[n]?n≥0

(6)

令x[n]=f[n]*B[n]，為該系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的規(guī)范化系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)，同時(shí)

(7)

(8)

與連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)類似，對(duì)式(5)應(yīng)用因果移序定理后有規(guī)范化離散時(shí)間LTI系統(tǒng)：

(9)

(10)

于是，有：hx[n]*A[n]=δ[n]

(11)

和hx[n]*B[n]=h[n]

(12)

因此利用卷積和方法得到的系統(tǒng)零輸入響應(yīng)為：

(13)

下面利用反因果移序定理[9](文獻(xiàn)9中此處有誤)證明等效激勵(lì)法與卷積和法的一致性。

(14)

(15)

同時(shí)，根據(jù)文獻(xiàn)[8]，系統(tǒng)的等效零輸入激勵(lì)為：

(16)

則應(yīng)用等效零輸入激勵(lì)法，計(jì)算得零輸入響應(yīng)為[8]：

yzi[n]=xzi[n]*h[n]

(17)

(18)

(19)

將式(18)和式(19)帶入系統(tǒng)差分方程

(20)

(21)

結(jié)合等效零輸入激勵(lì)式(16)，因此上式即：

(22)

即：y-[n]*A[n]=f-[n]*B[n]-xzi[n]。

由于

(23)

1.3 應(yīng)用舉例

解：根據(jù)卷積和方法可知上述因果線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)是其全激勵(lì)信號(hào)的反因果分量和因果分量與系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的卷積和的因果分量。

在上述求解過(guò)程中，常用到因果指數(shù)序列與反因果指數(shù)序列的卷積和，即：

(24)

當(dāng)僅取因果部分時(shí)候，上式簡(jiǎn)化為：

(25)

因此，該系統(tǒng)的全響應(yīng)為：

2 結(jié)語(yǔ)

本文給出了應(yīng)用卷積和方法的離散線性時(shí)不變因果系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)求解方法，并證明了該方法與等效激勵(lì)法的等價(jià)性。因此，當(dāng)已知系統(tǒng)全激勵(lì)和系統(tǒng)描述時(shí)，連續(xù)與離散系統(tǒng)的時(shí)域方法可以統(tǒng)一為卷積(或卷積和)法，為線性時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)域求解提供了一類新思路。