論互易電路的充要條件

田社平， 陳希有， 張 峰

(1. 上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院， 上海 200240；2. 大連理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 遼寧大連 116023)

0 引言

互易定理是電路理論中的主要內(nèi)容，它表達(dá)了互易電路所具有的性質(zhì)。如果將互易電路的激勵端口和響應(yīng)端口看作對外的端口，則互易電路亦可看作互易二端口電路。二端口電路的VCR可以六種矩陣參數(shù)加以描述，如果二端口電路是互易的，那么，其參數(shù)矩陣的元素滿足如下關(guān)系，即[1, 2]

r12=r21

(1)

g12=g21

(2)

h21=h21

(3)

(4)

(5)

(6)

由于對一個(gè)二端口電路，其VCR的六種參數(shù)矩陣不一定全部存在，因此，只要式(1)～式(6)中任意一式成立，則該二端口電路就是互易的。這說明式(1)～式(6)中任意一式成立是互易二端口電路的充分條件。但式(1)～式(6)中任意一式成立也是互易二端口電路的必要條件嗎？在現(xiàn)行電路理論教材中，一般將互易定理表達(dá)為三種形式[3, 4]，它們分別對應(yīng)上述性質(zhì)中的式(1)～式(3)，或者式(1)、式(2)、式(4)。也有教材將互易定理表達(dá)為兩種形式，它們對應(yīng)上述性質(zhì)的式(1)、式(2)，并且指出式(1)、式(2)是互易(二端口)電路的充要條件[5]。

上述兩種對互易定理的處理方法，孰是孰非？或者說，互易電路的充要條件究竟是什么？上述六個(gè)關(guān)系式中應(yīng)滿足哪幾個(gè)關(guān)系式才構(gòu)成互易電路的充要條件，這些問題是筆者在教學(xué)中碰到的問題。本文試對此作一分析，以就教于大家。

為表述簡潔起見，本文將互易二端口電路簡稱為互易電路。特別指出：本文所討論的互易電路指滿足式(1)～式(6)的電路。

1 式(1)、式(2)并非互易電路的充要條件

描述二端口電路的六種參數(shù)矩陣之間可以相互轉(zhuǎn)換，因此對互易電路，如果描述其端口特性的六種參數(shù)矩陣都存在，則由上述六式中任意一式皆可推導(dǎo)出其他五式，因此互易電路的六種性質(zhì)是完全等價(jià)的。但是，并非所有的二端口電路都存在六種參數(shù)矩陣，因此對互易電路，如果描述其端口特性的某一種參數(shù)矩陣不存在，則與之對應(yīng)的性質(zhì)也就不存在。從這個(gè)意義上講，互易電路的六種性質(zhì)之間具有一定的獨(dú)立性。

圖1 平行傳輸?shù)亩丝陔娐?/p>

(7)

(8)

圖2 不存在R、G矩陣的互易電路示例

基于上述分析，認(rèn)為式(1)、式(2)是互易(二端口)電路的充要條件是不正確的說法，將互易定理表達(dá)為對應(yīng)于式(1)、式(2)兩種形式也是不正確的。

2 互易電路的充要條件

如果互易電路的六種參數(shù)矩陣均存在，則式(1)～式(6)中任意一式皆可成為互易電路的充要條件。下述結(jié)論描述了在一般情況下互易電路的充要條件。

互易電路的充要條件從式(1)～式(6)中任意選擇三式，如果一個(gè)二端口電路滿足這三式中的至少一式，則該二端口電路就是互易的。

上述結(jié)論表明，互易電路的充要條件就是式(1)～式(6)中任意三式中的至少一式成立。下面給出證明。

先證明必要性：如果一個(gè)二端口電路是互易的，則任選式(1)～式(6)中三式，則這三式中至少有一式成立。

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

可知A矩陣必存在，這與假設(shè)“式(3)～式(5)均不成立”矛盾。說明式(3)～式(5)中必有一式成立。同樣，如果假設(shè)式(1)或者式(2)成立，同樣可以推出式(3)～式(5)中必有一式成立。因此，選擇式(3)～式(5)，必要性也得到證明。

對其它選取三式的選法，采用類似方法可證明必要性成立，不再贅述。

我們還可以從另外一種思路證明必要性：如果互易電路的某一參數(shù)矩陣存在，那么，其他五種參數(shù)矩陣中至多只有兩種參數(shù)矩陣不存在。

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

對互易電路存在其他參數(shù)矩陣的情形可作類似的證明。

再證明充分性：由于一個(gè)二端口電路只要滿足式(1)～式(6)中任意一式，則該二端口電路就是互易的。因此，上述結(jié)論的充分性證明是顯然的，不再贅述。

3 進(jìn)一步的討論

圖3 互易定理的一般形式

(19)

通過用電壓源、電流源或者開路、短路來替代圖(3)中的支路1、2，利用式(19)很容易證明式(1)～式(4)。而利用式(19)證明式(5)、式(6)在現(xiàn)行教材中出現(xiàn)得較少。顯然，利用式(19)也可以證明式(5)、式(6)。下面給出式(5)的證明。

(20)

亦即

(21)

由傳輸矩陣參數(shù)的定義，可知對二端口電路N，有

(22)

將式(22)代入式(21)即得式(5)。

(a)輸出端口開路

(b)輸出端口短路圖4 證明式(5)用圖

4 結(jié)語

通過上述分析，可以得出如下結(jié)論：

(1)一個(gè)二端口電路如果是互易的，那么，其VCR矩陣參數(shù)滿足式(1)～式(6)中的任意一式是互易電路的充分條件，但不是必要條件。

(2)互易電路的充要條件是：式(1)～式(6)中任意三式中的至少一式成立。如果互易電路的某一參數(shù)矩陣存在，那么，其他五種參數(shù)矩陣中至多只有兩種參數(shù)矩陣不存在。因此，將互易定理表達(dá)為式(1)～式(6)中任意三式成立，這在邏輯上都是成立的。此時(shí)，這三式中至少有一式是成立的。而現(xiàn)行電路理論教材中所表述的互易定理的三種形式就是一種合理的表達(dá)形式，其表述簡潔、直觀，容易理解，適合于教學(xué)。

(3)僅滿足式(1)或/和式(2)不是互易二端口電路的充要條件，亦即，開路電阻矩陣/短路電導(dǎo)矩陣對稱不是互易二端口電路的充要條件。