藏在巧合背后的秘密

【摘要】文章從一道課堂例題出發，發現學生使用錯誤解法卻湊巧得出了正確答案，并且這種錯誤解法能湊巧答對許多類似的題目，由此展開了一番探究，并得出了一般性的結論。

【關鍵詞】不等式? 整體代換? 線性規劃? 動態掃描

【中圖分類號】G633.6 ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）18-0126-03

一、巧合產生

在教授人教A版必修5《3.1不等關系與不等式》這節內容時，筆者選用了一道例題作為課內探究題（當時學生還未學習線性規劃的相關內容），該例題如下：

例1? 已知函數f（x）=ɑx2+bx滿足1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（2）的取值范圍。

本題在不使用線性規劃作圖求解的情況下用整體代換的方法求解如下：

解法1? 設f（2）=αf（1）+βf（-1）=（α+β）ɑ+（α-β）b，

因為f（2）=4ɑ+2b，所以α+β=4

α-β=2 ，可得α=3

β=1，即f（2）=3f（1）+f（-1）.

又由1≤f（-1）=ɑ-b≤2

2≤f（1）=ɑ+b≤4，得7≤f（2）≤14.

課堂上筆者請了一位學生上黑板板演，他的做法如下：

解法2? 因為1≤f（-1）=ɑ-b≤2

2≤f（1）=ɑ+b≤4，兩式相加得3≤2ɑ≤6

又由4≤2ɑ+2b≤8， 所以f（2）=4ɑ+2b=2ɑ+（2ɑ+2b），得7≤f（2）≤14.

他得到的答案是正確的，班里還有一部分學生也是用這種方法做的。那么他們的解法對嗎？細究他的解題過程可以發現，他借助的是ɑ+b的范圍與ɑ的范圍，而ɑ與ɑ+b實際上不獨立，它們是相互制約的，即當ɑ+b取到最大值時，ɑ未必取得到最大值。不妨利用線性規劃的方法做出本題的可行域。

圖1是由已知條件確定的（a，b）的可行域，圖2是該學生使用a+b與a的范圍所確定的（a，b）的可行域，發現兩者不一致。即利用a+b與a的范圍會使可行域擴大，所得到的目標函數z=4a+2b的范圍也有可能會擴大。但此處目標函數在圖1和圖2的可行域中，都恰好在點（3，1）處取得最大值，在（1.5，0.5）處取得最小值，所以產生了巧合。假如換一種拆法：

解法3? 由1≤f（-1）=ɑ-b≤2

2≤f（1）=ɑ+b≤4 ，可得-3≤-2ɑ≤0，

所以，4ɑ+2b=4（ɑ+b）-2b，所以5≤4ɑ+2b≤16.

此時得到的答案是錯誤的，因此該學生用這種解法得出的答案雖然正確，卻是由于湊巧。

二、投石探路

此時筆者忍不住想，如果更換目標函數，使用上述的“拆分法”是否還會產生巧合？

例2? 已知1≤ɑ-b≤2

2≤ɑ+b≤4

（1）求2ɑ+4b的取值范圍。

解法1 （整體代換）? 由2ɑ+4b=3（ɑ+b）-（ɑ-b），可得4≤2ɑ+4b≤11.

解法2 （拆分法）? 由2ɑ+4b=4（ɑ+b）-2ɑ，可得2≤2ɑ+4b≤13.

解法3 （拆分法）? 由2ɑ+4b=2（ɑ+b）+2b，可得4≤2ɑ+4b≤11.

（2）求4ɑ-2b的取值范圍。

解法1 （整體代換）? 由4ɑ-2b=（ɑ+b）+3（ɑ-b），可得5≤4ɑ-2b≤10.

解法2 （拆分法）? 由4ɑ-2b=4（ɑ-b）+2b，可得4≤4ɑ-2b≤11.

解法3 （拆分法）? 由4ɑ-2b=2（ɑ-b）+2ɑ，可得5≤4ɑ-2b≤10.

（3）求2ɑ-4b的取值范圍。

解法1 （整體代換）? 由2ɑ-4b=-（ɑ+b）+3（ɑ-b），可得-1≤2ɑ-4b≤4.

解法2 （拆分法）? 由2ɑ-4b=2（ɑ-b）-2b，可得-1≤2ɑ-4b≤4.

解法3 （拆分法）? 由2ɑ-4b=4（ɑ-b）-2ɑ，可得-2≤2ɑ-4b≤5.

三、柳暗花明

不妨以例2的（1）、（2）為例，來探究其中的奧秘。

（1）求2ɑ+4b的取值范圍

如圖3，解法2中由a和a+b確定的可行域為?ABCD。如圖4，解法3中由b和a+b確定的可行域為?EFCH。而由已知條件a+b和ɑ-b確定的可行域為圖3或圖4中的陰影部分，當目標函數為z=2ɑ+4b時，目標函數確定的動直線b=-ɑ+為圖中虛線。由圖可知，?EFCH與陰影部分使目標函數z=2ɑ+4b取到的最大值點都是點F，最小值點都是點H，因此解法3可得正確答案。此處目標函數z=2ɑ+4b確定的直線斜率為-，解法3利用了ɑ+b與b的范圍。還可以發現，當目標函數確定的直線斜率在（-1，0）內時，?EFCH與陰影部分使目標函數取到的最大值點都是點F，最小值點都是點H，因此只要目標函數確定的直線斜率在（-1，0）內，將目標函數拆成ɑ+b與b的組合所得答案必正確。

（2）求4ɑ-2b的范圍

圖5和圖6分別是解法2和解法3確定的可行域，可以發現解法2的可行域為?ABCD，解法3的可行域為?EFCH，由已知條件確定的可行域為陰影部分，其中解法3恰好使得目標函數z=4ɑ-2b在點E取到最大值，點G取到最小值，從而解法3得到正確答案。并且，只要目標函數確定的直線斜率在（1，+∞）內，則?EFCH與陰影部分使目標函數取到的最大值點都是點E，最小值點都是點G，此時將目標函數拆成ɑ-b與ɑ的組合所得答案必正確。

同理，（3）求2ɑ-4b的取值范圍中，解法2得到正確答案，目標函數z=2ɑ-4b確定的直線b=ɑ-的斜率在（0，1）內，利用了ɑ-b和b的范圍。例1中求4ɑ+2b的取值范圍，利用ɑ+b和ɑ的范圍得到正確答案，目標函數z=4ɑ+2b確定的直線b=-2ɑ+的斜率在（-∞，-1）內。

因此，可有結論：若已知c≤ɑ+b≤d

p≤ɑ-b≤q求mɑ+nb，（mn≠0）的取值范圍。

使用“拆分法”，設k=-，

①k∈（-∞，-1），將mɑ+nb拆成ɑ+b與ɑ的組合，使用ɑ+b與ɑ的范圍;

②k∈（-1，0），將mɑ+nb拆成ɑ+b與b的組合，使用ɑ+b與b的范圍;

③k∈（0，1），將mɑ+nb拆成ɑ-b與b 的組合，使用ɑ-b與b的范圍;

④k∈（1，+∞），將mɑ+nb拆成ɑ-b與ɑ的組合，使用ɑ-b與ɑ的范圍;

則所求的取值范圍正確。

四、改錯為正

既然有部分學生會把目標函數z=mɑ+nb拆成ɑ±b與ɑ或b的組合，而使用ɑ±b與ɑ或b的范圍不一定能得到正確答案，那么如何得到正確答案呢？不妨重新來看例1的解法3，目標函數z=4ɑ+2b=4（ɑ+b）-2b，下面來探究如何獲得正確的答案。

解法4? 如圖7中，可行域中位于線段EF上的點的橫坐標、縱坐標滿足ɑ+b=m，此時z=4（ɑ+b）-2b=4m-2b，因此目標函數應該在縱坐標最大的點E處取得最小值，在縱坐標最小的點F處取最大值。而當EF所在直線在可行域內運動時，目標函數就在線段AB上取最小值，在線段CD上取最大值。題目就轉化為：

（1）已知ɑ-b=1，1，0.5≤b≤1.5，求z=4ɑ+2b的最小值。

將ɑ=b+1代入目標函數得z=6b+4，由0.5≤b≤1.5，可得z=4ɑ+2b的最小值是7.

（2）已知ɑ-b=2，0≤b≤1，求z=4ɑ+2b的最大值。

將ɑ=b+2代入目標函數得z=6b+8，由0≤b≤1，可得z=4ɑ+2b的最大值是14.

上述解法具有可遷移性，適用于把目標函數z=mɑ+nb拆成ɑ±b與ɑ或b的任意組合，保證了“拆分法”的正確性。

五、思考感悟

學生把目標函數z=mɑ+nb拆成ɑ±b與ɑ或b的組合，使用ɑ±b與ɑ或b的范圍來求z=mɑ+nb的范圍的原因可能有如下幾點：一是在等量關系當中經常使用等價代換，所以學生有這樣的思維習慣，在類比遷移過程中想要使用代換的思想。二是學生剛開始學習必修5第三章不等式與不等關系，還沒有接觸線性規劃的內容，因此還沒建立起可行域的概念，不知道代換過程中可能會引起可行域的改變。三是對不等式的性質理解不透徹，沒有認識到變量之間是相互制約的。此外，這種做法的錯因，是學生初學不等式時不易理解的地方，也正是教學的重難點。在經歷問題分析和解決的過程中，讓學生領悟其中所蘊含的數學思想也是教學的一個難點。因此，在解題教學中可以以此作為知識的“生長點”與“延伸點”，讓學生落入巧合，產生興趣，展開探究，得出結論，從數學學習中獲得樂趣。師生也能夠一起享用數學這一充滿智力挑戰又飽含樂趣的盛宴。

參考文獻：

[1]劉銳.解決線性規劃問題的一種新方法及其應用[J].中國數學教育，2016（Z2）：107-108

[2]劉少平，張學禮.線性規劃常見錯誤剖析[J].數理化解題研究，2016（25）：7-9

作者簡介：

王聰聰（1991年-），女，浙江溫州人，中學二級教師，本科學歷。