中點聯想，模型魅力

羅麗云

1 原題呈現

如圖，四邊形ABCD是邊長為6的正方形，點E在邊AB上，BE=4;過點E作EF∥BC，分別交BD、CD于點G，F兩點.若M，N分別是DG，CE的中點，則MN的長是________________________。

2 題目分析

本題源自2017年寧波中考卷第11題，是一道融推理與計算于一體的幾何綜合題。它考查知識眾多，內涵豐富。

2.1 基本知識

考查了三角形的中位線，正方形、矩形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形性質與判定，直角三角形斜邊的中線，平行線分線段成比例，勾股定理及逆定理，證明線段的數量關系等核心知識;

2.2 基本能力

考查學生的推理能力和計算能力。

2.3 基本思想方法

考查數形結合思想和轉化思想。

利用中點找到突破口，并歸納解決此類問題的條件、依據和模型，再進一步挖掘問題的本質，探究解題通法，落實解決此類問題的方法和策略，發展學生的邏輯推理、幾何直觀等數學核心素養。

3 學情分析

本題的難點是添加輔助線，關鍵信息是兩個中點。要求MN的長度，多數同學會想到勾股定理之類，但與MN有直接相關的條件不足，必須添加適當的輔助線來解決本題，而學生可能會遇到的問題是不能從條件中提取關鍵有效的信息;不知道如何綜合利用條件進行聯想，進行添加輔助線，是學生的思維障礙所在。單個條件，添一條輔助線，學生容易，而多個條件，添多條輔助線，學生倍感困難。

4 解法賞析

同一個問題，從不同的角度探究與分析，有不同的解法。一題多解，有利于溝通各知識間的聯系，培養學生的發散性和創造性。

【說明】：此法運用等腰三角形的“三線合一”構造直角三角形，利用矩形對角線性質，及勾股定理，解題思路明確簡潔。

【說明】：證明線段相等，常常用全等、平行四邊形的性質或圓的基本性質等。因為△DGF是等腰直角三角形，且M是DG的中點，結合正方形ABCD的性質，易想到構造方法2的“手拉手”型全等三角形。

5 拓展遷移

5.1 延伸拓展

如圖6，四邊形ABCD是邊長為6的正方形，點E在邊AB上，BE=4;過點E作EF∥BC，分別交BD、CD于點G，F兩點.M，N分別是DG，CE的中點。

（1）求MN的長;

（2）延長CM交AD于H點，連接EH

①求證：EH=BE+DH;

②點E在邊AB上運動時，△AEH的周長是否發生變化，若不變，請求出它的周長;若發生變化，請說明理由.

【說明】：添加（2）題 ① 是正方形“半角模型”的應用;其次考查線段和差的證明，常用“截長補短”。②是將靜態問題變成動態問題，如何解決動態問題，對學生既是一個考驗，也一個能力提升過程。

5.2 類題遷移

（2020河南14題）如圖，在邊長為的正方形ABCD中點，點E，F分別是邊AB，BC的中點，連接EC，FD，點G，H分別是EC，FD的中點，連接GH，則GH的長度為___________________________________。

6 題后反思

數學解題的關鍵是抓住關鍵信息，產生聯想。本題的關鍵信息是：兩個中點。由中點想到一些常見的圖形和結論：

多解歸一，通性通法：這5種方法其實歸結為兩種：第一種直接求MN的長度，有視角四和視角五;第二種利用轉化思想求，有視角一，視角二，視角三。

羅增儒教授說過，誰也沒法教會我們所有的題目，重要的是通過有限道題目去領會那種可以解決無限道題的素養。這就要求老師有相應的數學素養去對題目進行專業的解題分析，需要教師先跳進“題海”，然后幫助學生跳出“題海”;作為老師，只有不斷地思考和閱讀，才能增進專業知識和增強專業技能，才能站在更高的視覺看待問題。通過一題多解，多解歸一，從不同的角度，不同的視角去分析和解決問題，培養學生的發散思維，幫助學生構建自己的知識體系和提升解題能力。

7 教學啟示

7.1 落實基礎，積累模型

一道綜合題，難在知識點多，圖形復雜，需要學生具有扎實的基礎，能在復雜問題中抽象出基本概念，定理及基本圖形等，甚至要添加必要的輔助線，將問題轉化為我們熟悉的問題，這就需要我們在課堂教學中不斷挖掘、積累基本圖形，不斷幫助學生落實基礎知識和常規的解題思維，提高學生認識幾何模型、運用幾何模型、探究幾何模型的能力。學生只有基礎落實了，才會融會貫通，才能捕捉到關鍵信息，才能在復雜圖形中分離出基本模型，對問題的解決起到重要的作用。

7.2 變式教學，發散思維

通過變式教學，可以開闊學生思路，能使學生多角度地分析數學問題，能夠培養學生的發散思維，提高學生的數學核心素養，對學生思維的訓練和能力的提升具有很大的幫助，也是新課標對學生的基本要求。在探求多解之后，教師要引導學生提煉各種解法的共性，進行多解歸一，這樣可以加深學生對數學的理解，促進對通性通法的認識，逐步養成顧局全面的聯想意識，提高解題技巧與能力。

7.3 引導反思，自悟提升

著名數學家波利亞所言“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本”。

任何數學解題策略的產生首先離不開解題者已有的數學知識點（概念、公式、法則、定理，由基本圖形形成的“知識塊”及解題的基本思想方法等）。在課堂教學中，老師要加強引領學生構建自己的知識體系，反思自己的學習方式方法;讓學生自己學會題型的歸類，歸納構建基本理論和基本圖形，加強變式練習，一題多解練習，充分儲備自己的知識庫。比如引導學生動手重新畫圖做做，引導學生在畫圖中，感受基本圖形的“魅力”，找出題中直接決定解題成功關鍵的“基本圖形”;在畫圖中聯想每個已知的作用，聯想每個條件間的聯系……，通過畫圖，讓學生體會：心中有圖，處處有路。學生只有通過不斷地反思積累，不斷地逐漸內化為自己的經驗，形成解決問題的自覺意識，才能提升數學素養。

浙江省臨海市臨海中學 （浙江省臨海市 317000）