一種牛頓潮流算法收斂性定理的應用研究

董清，屈桐

一種牛頓潮流算法收斂性定理的應用研究

董清，屈桐

（華北電力大學 電氣與電子工程學院，河北 保定 071003）

牛頓拉夫遜（NR）潮流算法是電力系統潮流計算最常用的算法之一，由于NR法具有平方收斂的特性，收斂速度較快，但它對初值選取的要求較高，初值選取對NR法的收斂性能有很大的影響。針對這一問題，分析了一種牛頓潮流算法的收斂性定理，運用此定理可解決因為初值選取不當而造成的潮流發散問題。此外，該定理可進一步評估選擇的初值能否保證NR法收斂，當潮流收斂時，就可以繼續進行潮流計算。反之，可以對選擇的初值進行適當的調整，如此可以防止因為初值選取不當而造成冗余潮流計算乃至病態潮流問題。通過對IEEE14、IEEE30節點系統和東北電網的仿真分析，驗證了定理的可行性和合理性，提高了NR法在潮流計算中的實用性。

潮流計算；牛頓拉夫遜法；初值選取；潮流收斂；潮流發散

0 引言

潮流計算作為電力系統中十分重要的計算，常被用來研究系統規劃和運行中遇到的各種問題。當電力系統處于規劃狀態時，可以運用潮流計算來驗證所提出的規劃方案是否可以應對各種運行方式下的要求；當電力系統處于運行狀態時，潮流計算可以預測負荷和網絡結構的變化是否會損害系統的安全、系統中母線電壓、支路電流和功率是否越界以及可能出現越界時應事先采取哪些預防措施等。NR法由于具有平方收斂性，同時兼具良好的收斂可靠性，因此成為最常用的潮流算法之一。但是NR法對初值比較敏感，選取不同的初值會造成迭代次數的不同，合適的初值能使潮流收斂的較快，但若選取到不合適的初值就可能使潮流發散[1-4]。所以初值選取和收斂性的研究對于牛頓潮流算法具有重要的意義。

自從NR法被應用到潮流計算中之后，很快便成為潮流計算中的經典算法，為了使它的綜合性能更好，很多研究都在其基礎上進行改進。文獻[5]提出了快速分解法，該方法在NR法極坐標形式基礎上進行簡化，使雅可比矩陣成為常數矩陣，在保證收斂性基本相同的情況下提高了算法的計算速度。文獻[6]提出了一種新的方法來構造雅可比矩陣元素，給定雅可比矩陣元素的物理意義，減少潮流的計算量。文獻[7]首次將Levenberg- marquardt（LM）法應用于潮流計算中，將雅可比矩陣中的元素進行了適當的調整，增大了潮流方程的收斂范圍。文獻[8,9]在文獻[7]的基礎上提出了一種帶自適應阻尼因子的LM法，并將其擴展到更高階的計算中，使其能夠得到良態或病態潮流的精確解以及潮流無解時的最小二乘解，提高了算法的收斂性。文獻[10]將節點分塊雅可比矩陣結構與傳統稀疏技術相結合，提出了一種基于節點分塊雅可比矩陣結構的綜合稀疏技術，很大程度地節省了潮流計算時間，提高了計算效率。文獻[11-15]分析了電力系統潮流計算不收斂的數學機理和物理機理以及小阻抗支路對牛頓潮流算法收斂性能的影響，指出了小阻抗支路的存在可能會使雅可比矩陣的數值條件變差，進而導致系統潮流計算不收斂。文獻[13]提出了變雅可比牛頓法。文獻[15]提出了小阻抗支路補償法，很大程度提高了含小阻抗支路系統牛頓潮流算法的收斂性。文獻[16]提出了一種通過關鍵數據來判斷潮流是否收斂的方法，可以依據此方法對潮流進行適當地調整。文獻[17]提出了將高斯賽德爾法與NR法結合進行潮流計算。文獻[18,19]則是將快速分解法與NR法結合來進行潮流計算，這種將牛頓法與其他算法進行結合后的算法在一定程度上提高了潮流的收斂性。

上述這些方法都是在傳統NR法基礎上進行了一定的變化和改進，因此相比于傳統NR法，它們在潮流計算時有著更多的優勢，但是在初值敏感的問題上并未改善多少。不恰當的初值選取導致的潮流收斂速度過慢甚至發散的問題成了NR法進行潮流計算的難點之一[20]。

本文首先對NR法及其一些改進算法進行了總結，并對它們的特點和存在的問題做了簡短的介紹。然后針對初值敏感問題，采用一種牛頓潮流算法的收斂性定理，并給出了定理的證明過程。最終通過matpower仿真軟件將此定理在IEEE14、IEEE30節點系統和東北電網上進行了仿真分析，驗證了該定理的可行性和合理性。

1 NR法基本原理

NR法基本步驟可分為以下幾部分：

（1）形成節點導納矩陣B；

（4）計算雅可比矩陣中的各個元素H，N，M，L；

（5）形成修正方程式：

（6）計算各節點電壓的新值：

（7）判斷是否收斂：

（8）重復迭代步驟（3）~（6），直到滿足步驟（7）的收斂條件；

（9）計算平衡節點的功率和PV節點的無功功率以及各支路的功率。

上述步驟中涉及的具體公式參看文獻[21]。

從NR法計算步驟來看，雅可比矩陣是計算中非常關鍵的環節，而雅可比矩陣的修正計算對于NR潮流計算的收斂性能有很大的影響。大量的研究圍繞著雅可比矩陣的修正計算問題進行改進，但若初值選擇不合適，仍會出現潮流收斂速度慢甚至發散等一系列問題。

2 牛頓潮流算法收斂性定理

2.1 牛頓潮流算法收斂性定理的證明

針對牛頓潮流算法對初值的敏感性問題，本文采用了一種牛頓潮流算法的收斂性定理。

設潮流方程為：

在潮流方程初值0的鄰域(0,)內滿足條件：

式中：，都為實數。

潮流方程的收斂判據滿足以下條件：

則潮流方程在(0,)上有解*，并且以0為初值的潮流方程在進行牛頓迭代時所產生的解序列{x}收斂于*。

由于本定理涉及到矩陣的范數運算，則應滿足矩陣范數的基本性質。設在實數域上任意的矩陣和以及任意的實數當滿足以下性質時：

證明：有二次優函數

因為1≥0，所以可以確保較小的根0在[0,]區間內，用t表示求出的牛頓迭代序列，￠(t)存在且不為0，則有：

由優函數的性質[22]可知t?*，因此只需證明||–*||≤t–*，便可得到本文的定理。

當=0時，0=，0=，因為

根據式（7）（8）和泰勒公式可得：

又因為

根據Banach’s Theorem[23]可知G1存在且有：

因為

則有

由假設條件和式（10）（13）可知：

由此可以得出2?(0,)，依次類推最終可得：

證畢。

2.2 定理收斂判據h的求解方法

以一個簡單方程為例說明定理中收斂判據的具體求解方法，方程如下所示：

通過修正方程式解得：

在運用本文定理求收斂判據的方法如下：

首先求出參數：

得出參數后，接下來求解參數：

為了求出參數，必須先求出方程的二階偏導，如下所示：

因此參數為：

最后可以解得方程收斂判據為：

運用本定理在潮流計算前對選擇的初值進行評估，可以判斷所選取的初值能否使潮流收斂，避免了冗余的潮流計算。

3 實例仿真分析

3.1 IEEE節點算例仿真

表1 NR法收斂性定理標準節點仿真

由表1可以看出這兩個系統計算得到的收斂判據都小于0.5，根據定理可判斷系統潮流收斂，仿真結果顯示這兩個系統也是收斂的，符合本文采用的定理。

表2 IEEE14節點收斂判據與仿真結果對比

表3 IEEE 30節點收斂判據與仿真結果對比

通過將本文定理運用在IEEE14和IEEE30節點上，分別在給定電壓初值1.0，0.9，0.7，0.5，0.3，0.1條件下進行了15次潮流計算，并計算出了相應的收斂判據，得到了潮流相對應的斂散性。從表2和表3可以看出，當初值的收斂判據=≤0.5時，此初值能夠使牛頓潮流計算收斂。

3.2 實際電網潮流仿真

以東北電網開魯一次變的部分網絡作為仿真計算對象，使用網絡的原始數據，基準容量為100 MVA，基準電壓為230 kV。在平啟動即初值為1.0時，使用本文所提出的定理計算得到收斂判據=8.642，可判斷此時電網潮流發散并且電網的電壓降落較為嚴重。選擇初值為0.9時，計算得到收斂判據=0.326，可判斷此時電網潮流收斂，與實際電網潮流收斂的事實相一致，以初值為0.9進行潮流仿真計算得到的部分節點電壓與實際節點電壓如表4所示。

表4 東北電網仿真計算電壓與實際電壓對比

由表4可以看出，將NR潮流算法的收斂性定理應用于實際電網時符合實際情況。通過東北電網的仿真計算實例使NR潮流算法的收斂性定理的應用有了現實依據，證明了定理的可行性和實用性。

4 結論

由于初值對于牛頓潮流算法的收斂性能有著很大的影響，初值敏感問題在牛頓潮流算法進行潮流計算時層出不窮，因此本文分析了一種牛頓潮流算法的收斂性定理，通過將此定理應用在IEEE14、IEEE30節點系統和東北電網上進行相應的仿真分析、理論分析和計算，結果表明：

（1）牛頓潮流算法收斂性定理具有一定的可行性和合理性。

（2）在用NR法進行潮流計算時，可以先用本文定理判斷所選初值是否能使潮流收斂。使選取的初值更接近于潮流的收斂域，提高了潮流收斂的可能性，提高了NR算法在進行潮流計算時的實用性。

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A Study on the Application of Convergence Theorem of Newton Power Flow Algorithm

DONG Qing, QU Tong

(School of Electrical and Electronic Engineering, North China Electric Power University, Baoding071003,China)

Newton Raphson (NR) power flow algorithm is one of the most commonly used algorithms for power flow calculations, NR method has the property of square convergence, so it converges faster, but it has higher requirements on the selection of initial value. The selection of initial value has a great impact on the convergence performance of the NR method. To solve this problem, a convergence theorem of Newton power flow algorithm is analyzed, which can be applied to solve the problem of power flow divergence caused by improper initial value selection. In addition, the theorem goes further to evaluate whether the chosen initial value can guarantee the convergence of NR method, and when the power flow converges, the power flow calculation can continue, and vice versa, the chosen initial value can be adjusted appropriately. In this way, the redundant power flow calculation and ill conditioned power flow problem caused by improper initial value selection can be prevented. Through further simulation and analysis of IEEE14, IEEE30 nodes system and Dongbei power grid, the viability and rationality of the theorem are verified, and the practicability of NR method in power flow calculation is improved.

power flow calculation; Newton Raphson method; initial value selection; convergence of power flow; divergence of power flow

TM73

A

1672-0792(2021)03-0016-07

10.3969/j.ISSN.1672-0792.2021.03.003

2020-10-18

董 清（1970—），男，副教授，研究方向為電力系統分析與控制、廣域測量系統的應用技術；

屈 桐（1994—），男，碩士研究生，主要研究方向為電力系統分析與控制。

屈 桐