全局自優化控制策略及其測量變量子集選擇

李嘯晨，蘇宏業，謝磊，王一欽

（浙江大學智能系統與控制研究所，浙江杭州310027）

引 言

過程系統在操作運行中會受到各種擾動和不確定因素的影響（如設備老化、原料組分波動、環境溫度變化等），導致系統性能發生退化。為了在全球市場中保持競爭力，迫切需要執行優化控制的相關策略[1-2]。其中，自優化控制的方法被證明是最具有潛力的一種。Skogestad[3]首先提出了自優化控制的概念，其核心思想是選取一組合適的被控變量，然后通過反饋作用將它們調節到期望的常值設定點處，即使存在各種擾動和不確定因素的影響，也能夠實現近似最優運行的目標。

自優化控制旨在利用較小的計算負擔和較為簡單的控制結構，實現近似最優運行的目標[4]。過程操作不一定達到精確的最優解，而是允許一定范圍內的經濟性能損失。但是，此方法結合了離線的分析計算和在線的反饋控制，因此具有較快的收斂速度。自優化控制的方法已經被成功應用于過程系統中[5-7]，此外如進料量的恒定比率控制，溫度和壓力的卡邊控制等也可以應用到自優化控制的思想。

經過近20年的發展，自優化控制領域取得了豐富的研究成果。從最開始選擇獨立的測量變量作為被控變量，到后來選擇測量變量的組合關系作為被控變量。Halvorsen 等[8]將被控變量選擇問題轉化為一個非線性規劃問題，進而提出一種局部精確的方法，得到了組合矩陣（選擇矩陣）的解析表達形式。Alstad 等[9]提出一種零空間的方法，用于選擇測量變量的線性組合關系，能夠實現局部最優的操作目標。隨后零空間方法得到了進一步發展，使其能夠處理過程中噪聲因素的影響[10]。Kariwala 等[11-12]開發了一種基于特征值分解的自優化控制策略，能夠同時優化最大經濟損失和平均經濟損失。上述方法都是基于標稱點處的線性化模型得到的，因此只在標稱點附近具有“自優化”效果，稱為局部自優化控制方法。J?schke 等[13-14]提出選擇測量變量的多項式組合形式作為被控變量，使自優化控制的效果不僅局限在標稱點附近，但是過于復雜的變量表達式限制了此方法在實際中的應用。Ye等[15-17]提出了一系列基于仿真數據的全局自優化控制方法，使“自優化”效果擴展到整個操作空間。

大型過程系統通常包含多個測量變量（測量點）。在自優化控制問題中，使用更多的測量變量，就能獲得更好的“自優化”性能。同時，當測量變量達到一定數量后，系統性能提升將不再明顯，反之，測量成本會隨著變量數量的增加而顯著提高。因此，為了平衡系統性能和傳感器成本，需要對測量變量的子集進行選擇，這是一個組合優化的問題。Kariwala 等提出一種基于最小奇異值原則的分支定界方法[18]，用于選擇測量變量的子集，隨后又開發一系列定制化的分支定界的方法[19-23]，進一步提高算法的執行效率。Yelchuru 等[24]提出一種混合整數二次規劃方法，被用于局部自優化控制的子集選擇問題中。此外，近年來自優化控制中的約束處理問題受到廣泛關注，并且取得了一定的研究成果[25-28]。

針對現有局部自優化控制方法應用于非線性過程時，被控變量只在標稱點附近具有“自優化”效果，本文介紹一種基于離線模型和仿真數據的全局自優化控制策略[17]，該方法利用非線性模型計算整個操作空間內的平均經濟損失，使“自優化”效果不僅局限在標稱點附近，同時類比局部自優化控制方法中的推導過程[10]，給出求解最優組合矩陣的解析方法；此外，為了平衡傳感器成本和系統性能，引入混合整數約束，對測量變量子集進行選擇，通過求解混合整數規劃問題，能夠同時獲得最優的測量變量子集以及由其構成的全局被控變量。

1 局部自優化控制的概念和方法

Skogestad[3]首先提出自優化控制的概念，其特點是選擇一系列具有“自優化”能力的被控變量：當擾動發生時，如果將一組被控變量調節到期望的常值設定點處，過程系統仍然可以接近最優工況運行（性能損失在可以接受的范圍內），則稱這些被控變量具有“自優化”能力。

由此可知，自優化控制是一類控制結構的設計策略，其設計流程是由價值函數驅動的，通過對“自優化”被控變量的選擇，并將其調節到期望的常值設定點處，可以實現過程的近似最優運行。

自優化控制的主要目的是將經濟目標轉換為控制目標。從數學角度分析，可以認為是一個優化問題。傳統的自優化控制方法一般認為，連續過程在大部分時間內都處于穩態（或接近穩態）運行狀態，可以忽略過渡過程對優化目標的影響。因此，將連續過程的優化運行問題描述為以下穩態優化問題：

式中，J ∈R 為目標函數，u ∈Rnu為操縱變量（輸入），d ∈Rnd為擾動變量，y ∈Rny為理論上的測量變量（輸出），由穩態測量模型f:Rnu× Rnd→Rny計算獲得。選擇測量變量的線性組合作為系統的被控變量c ∈Rnc(nc= nu)：

式中,H ∈Rnc×ny為組合矩陣（選擇矩陣），ym∈Rny為實際測量值，n ∈Rny為測量噪聲。在上述優化問題中，沒有出現不等式約束，原因是假設積極約束（約束中恰好處于邊界的等項式）[7]在整個操作空間內均不發生變化，且已經提前消耗了一定的穩態自由度來滿足積極約束的條件，式（1）中的u ∈Rnu為剩余的無約束操作自由度。此外，假設測量變量的數量不少于被控變量的數量，即ny≥nc=nu。

在傳統的自優化控制方法（局部自優化控制方法）中，將測量模型線性化后，可得

式中,Gu∈Rny×nu和Gd∈Rny×nd分別代表測量值y 對操縱變量u 和擾動變量d 的穩態增益矩陣。定義損失函數L(u,d)為

式中,J(uopt(d),d)為給定擾動d 下的最優目標函數值，uopt(d)為對應的最優操縱變量。最終目的是希望通過調整過程的操縱變量u，使被控變量c保持在期望的設定點cs處，同時對于給定的測量噪聲n和擾動d，使損失函數L(u,d)最小化。在局部自優化控制方法中，損失函數可以描述為[24]

式中,Juu為目標函數相對于u 的海森矩陣。最優靈敏度矩陣F定義如下

式中,yopt為最優測量值，通過此方法計算獲得的平均經濟損失Llavg，可以描述為組合矩陣H 的函數關系[24]

在局部自優化控制方法中，因為使用了過程標稱點處的線性化模型，所以“自優化”性能只在標稱點附近能夠得到保證。為了克服這一缺點，下節中將介紹一種基于過程精確非線性模型和仿真數據的全局自優化控制策略[17]。

2 全局自優化控制策略

針對整個操作空間內的平均經濟損失Lgavg(H)可以描述為

式中，exp( · )代表期望算子，平均損失Lgavg是組合矩陣H 的顯式函數，且受整個操作空間內的擾動d 和測量噪聲n 影響。在全局自優化控制策略中，利用過程的精確非線性模型y = f(u,d)，并將目標函數J相對于被控變量c泰勒展開，可得

式中,copt為最優的被控變量，可以通過copt=Hyopt計算獲得，Jcc為目標函數相對于被控變量c 的海森矩陣，可以通過式(12)計算獲得

結合式（2），并假設cm= Hym= 0可得

將式（13）代入式（11）可得

結合式（10），可得全局平均經濟損失Lgavg(H)表達式為

式中，tr( · )代表矩陣的跡，通過分析可以發現，式（15）中的第2 項和第3 項均為零，其原因是，海森矩陣Jcc和最優測量值yopt與測量噪聲n 相互獨立，所以對n求期望后結果為零，導致式（15）中的第2 項和第3 項結果為零。第4 項中，假設測量噪聲服從高斯分布，且由于nnT與HTJccH 相互獨立，所以可以進一步將其展開為

結合上面分析，可得全局平均經濟損失Lgavg(H)的最終表達式為

最小化式（17）中的平均經濟損失為非凸優化問題，其非凸性主要來源于海森矩陣Jcc與組合矩陣H 的關系，具體可參見Jcc的表達式（12）。為了便于后續的推導和計算，進一步假設Jcc= I，結合式（12）可以發現，Jcc= I 等價于HGu=，與局部方法中的約束條件一致。對于式（17）中的第1 項，現在僅與擾動d 相關，針對整個擾動空間d ∈D，可以通過Monte Carlo采樣的方法得到其近似表達形式

則式（18）可以進一步轉化為

然后計算式（17）中的第2項，可得

結合式（17）、式（20）和式（21）可得

綜上所述，引入額外約束條件Jcc= I后，得到如下的凸優化問題

（1）單變量情況

式（25）必須滿足如下KKT條件

為了計算最優組合矩陣HT，需要對式（26）求逆，利用逆矩陣的Schur補[29]可得HT的最優值為

（2）多變量情況

此時假設有兩個被控變量，即nc= nu= 2（可以推廣到任意多個變量的情況）。令HT= X，將矩陣和Gu表示為如下向量形式

引入拉長向量

定義增廣矩陣

進而可得

根據對應項相等的原則，可以將式（33）轉化為

式（32）和式（34）為凸優化問題[式（25）]的向量表達形式，類比單變量情況的推導結果可得

將式（28）～式（30）代入式（35）可得

根據對應項相等的原則，可得

上述推導過程證明了多變量情況下解析解的表達形式與單變量相同，如式（27）所示。在構造增廣矩陣Y～的過程中，利用了過程的精確非線性模型，克服了局部自優化控制方法的缺點，通過Monte Carlo 實驗，對整個擾動空間d ∈D 進行采樣，使“自優化”的效果不僅局限在標稱點附近。下文將以此為基礎，討論測量變量的子集選擇問題。

3 測量變量子集選擇

大型過程系統中通常包含多個測量變量（測量點），在自優化控制問題中，使用更多的測量變量，就能獲得更好的“自優化”性能。但是，當測量變量達到一定數量后，系統的性能提升將不再明顯，反之測量成本會隨著測量變量數量的增加而顯著提高。為了平衡傳感器成本和系統性能，需要對測量變量的子集進行選擇，這是一個組合優化的問題。

為了解決這一問題，文獻[24]提出一種混合整數二次規劃的方法，并將其成功應用于局部精確法中，本文將該思想推廣到全局自優化控制策略。在第2 章內容的基礎上，引入一個二進制變量γj∈{0,1}，對應于組合矩陣H 中的第j 列。如果γj=0，則表示組合矩陣的第j 列只有零元素，也就意味在測量變量子集中，沒有選擇第j 個測量變量。反之，如果γj= 1，則表示第j 個測量變量存在于子集中。對于所有ny個測量變量，將其對應的二進制變量γj組成的列向量記作γδ=[γ1γ2… γny]T，進而把向量γδ作為一個混合整數約束，引入到全局自優化控制問題（24）中，可得

式中，T 為“準則矩陣”，z 為“結果矩陣”。例如要在ny個測量變量中，選擇n個測量變量作為子集，此時準則矩陣為T =[1 1 … 1]∈R1×ny，結果矩陣為z = n。可得引入混合整數約束后的優化問題

對于混合整數優化問題（40），一般需要調用相應的求解軟件如CPLEX、BARON 等，但上述求解軟件無法直接計算包含矩陣形式的優化問題，所以需要對問題（40）進行向量化處理[24]，過程如下。

最優組合矩陣H可以描述為如下形式

定義拉長向量hδ和jδ分別為

定義矩陣Gδ和Yδ分別為

然后，可將式（40）中的F范數等價表示為

綜合上面分析，可將問題（40）轉化為如下的向量形式

式中，Gδ∈Rnunu×nynu，hδ∈Rnuny×1，jδ∈Rnunu×1。

考慮以下3種測量變量子集的選擇情況。

（1）選擇指定的測量變量子集

假設共有4 個測量變量y =[y1y2y3y4]T，選擇其中第1 個和第3 個測量變量作為子集，此時組合矩陣H的表達式為

與之對應的準則矩陣T和結果矩陣z為

（2）選擇最優的測量變量子集

假設從ny個測量變量中，選擇最優的m 個測量變量作為子集，此時二進制變量γj可以表示為

與之對應的準則矩陣T和結果矩陣z為

（3）在指定的測量變量子集中額外增加變量

假設共有4 個測量變量y =[y1y2y3y4]T，指定其中第1 個和第3 個測量變量作為子集，此時需要額外增加一個測量變量，則二進制變量γj可以表示為

與之對應的準則矩陣T和結果矩陣z為

4 案例研究

4.1 蒸發過程

4.1.1 過程描述 圖1 所示為強制循環的蒸發器[15,30]，稀釋液體在高溫蒸汽中蒸發，然后在分離器內分離為氣液兩相，濃縮后的溶液一部分作為產品，另一部分與進料混合后重新進入換熱器。該蒸發過程的機理模型可參考文獻[15]中的相關內容，過程涉及到的變量物理含義和標稱工作點如表1所示。

該蒸發過程的操縱變量u、擾動變量d和測量變量y分別為

圖1 蒸發過程反應原理圖Fig.1 Schematic diagram of the evaporation process

表1 蒸發過程中變量的物理含義和標稱值Table 1 Physical meanings and nominal values of the variables for the evaporation process

其中，壓力、溫度和流量的測量誤差分別為±2.5%、±1℃和±2%。該過程的目標函數為最小化操作成本J，其中包括蒸汽、冷卻水和泵的功率、原料成本和產品價值

此外，假設過程中的積極約束在整個操作空間內均不發生變化，且已經提前消耗了一定的穩態自由度來滿足積極約束的條件。式（54）中的u ∈Rnu為剩余的無約束操作自由度。

4.1.2 全局自優化控制策略經濟損失評估 本節將以上述蒸發過程為對象，對比第2 節全局自優化控制方法與局部自優化控制方法產生的經濟損失，進而驗證全局方法的優越性。其中局部自優化控制方法選擇局部精確法[8]。

圖2 100組不確定因素產生的經濟損失比較Fig.2 Comparison of the economic loss with 100 groups of uncertainties

選擇100 組隨機的擾動和測量噪聲，分別使用第2 節全局自優化控制方法與局部精確法，計算每種情況下的經濟損失，如圖2所示。

通過對比可以發現，全局自優化控制策略使經濟損失顯著降低，就平均損失而言，全局自優化控制方法產生的平均經濟損失為0.8688，而局部精確法產生的平均經濟損失為9.5206。全局自優化控制策略使平均經濟損失下降90.87%。

4.1.3 最優測量變量子集選擇 為了平衡傳感器成本和系統性能，需要對測量變量的子集進行選擇。本節將對上述案例的最優測量變量子集選擇問題進行研究。如式（54）所示，該蒸發過程共有2個操縱變量（無約束操作自由度），3 個擾動變量和10 個測量變量。因此，子集中至少需要包含3 個測量變量（不少于擾動變量數量）。將整個擾動空間d ∈D 采樣為N = 500 種均勻分布的情況，分別計算3～10 個測量變量構成的子集產生的平均經濟損失，如圖3所示。

通過觀察可以發現，當測量變量數量從3 增加到4時，系統平均經濟損失顯著下降，但此后經濟損失變化不再明顯。因此，4個或5個測量變量構成的子集是一個比較合理的選擇，能夠在測量成本和系統性能之間起到很好的折衷。表2 給出了4～10 個測量變量情況下的最優子集和平均經濟損失。

圖3 全局平均經濟損失變化（測量變量數量3～10）Fig.3 The global average economic loss with 3 to 10 measurements

表2 最優測量變量子集（測量變量數量4～10）Table 2 Optimal subset with 4 to 10 measurements

通過觀察可以發現，[P2T2T3]三個測量變量存在于上述所有7 種情況的子集中，意味著這3個變量對系統的“自優化”性能起著決定性的作用。此外，為了驗證子集選擇算法的計算效率，與窮舉法進行對比。兩種算法均在Windows 10 的MATLAB R2017b 環境下運行，硬件配置為Intel(R)Core(TM)i7-8500U CPU@2.00 GHz 處理器，運行內存為16 GB，計算時間如圖4所示。

通過對比可以發現，第3 節提出的子集選擇算法使計算效率顯著提升，與窮舉法相比，運算時間大約縮短了90%。

圖4 計算時間對比Fig.4 A comparison of the computation time

4.2 Kaibel分壁精餾塔

4.2.1 過程描述 本節將以Kaibel 分壁精餾塔案例[31-32]作為對象，進一步驗證第3節測量變量子集選擇方法的有效性和可行性。Kaibel精餾塔是一種完全熱耦合塔，可用于4 組分混合物的分離。Kaibel塔由預分塔和主塔2 個部分構成，2 部分之間由2 對逆流的熱耦合氣液流相互連通，4 種分離后的產品分別由主塔的塔頂、側線1 采出、側線2 采出和塔釜流出。整個精餾塔僅需要1 個再沸器和1 個冷凝器，具有很大的節能潛力，其結構如圖5所示。

圖5 Kaibel精餾塔原理圖Fig.5 Schematic diagram of the Kaibel column

過程的進料為甲醇、乙醇、丙醇和丁醇的混合物，整個塔由7 段塔節構成，每段塔節包含10 塊塔板，其中第1～2 段為預分餾段，第3 段為精餾段，第4～6段為側線段，第7段為提餾段。過程的目標函數是最小化產物中雜質的含量

式中,D 為塔頂采出量，S1為側線1 采流量，S2為側線2 采流量，B 為塔釜采出量，xi為組分i中期望產品的摩爾分數。

該Kaibel 精餾塔案例的操縱變量u、擾動變量d和測量變量y分別為

式中，操縱變量包括回流液流量L、側線1 采流量S1、側線2 采流量S2和液相分割比RL；擾動變量包括，上升蒸汽流量V、氣相分割比RV、進料流量F、進料中甲醇的摩爾分數zA、進料中乙醇的摩爾分數zB、進料中丙醇的摩爾分數zC和進料中液體分數qF，其中擾動變量的變化范圍分別為3±0.25、0.4±0.1、1±0.25、0.25±0.05、0.25±0.05、0.25±0.05 和0.9±0.05；測量變量包括，70 塊塔板溫度T1～T70和1 個再沸器溫度T71，其中測量誤差為±0.1℃。

4.2.2 測量變量子集選擇 本節將考慮上述精餾塔案例的子集選擇問題，針對過程中的71個測量變量（70 塊塔板溫度T1～T70和1 個再沸器溫度T71），將其分為4組，第1組為T1～T20，第2組為T21～T40，第3組為T61～T70，第4組為T41～T60和T71。考慮以下3種測量變量子集選擇情況。

（1）選擇指定的測量變量子集

在每組中指定1 個測量變量作為子集，此時準則矩陣T和結果矩陣z為

式中,1為一個全部由“1”元素構成的行向量，其下角標為行向量的維度。通過調用CPLEX 求解器，求解混合整數優化問題（47），得到此時最優的測量變量子集為[T12T42T57T66]，平均經濟損失為8.376。

（2）選擇最優的測量變量子集

選擇分別包含4、5 和6 個測量變量的子集，此時二進制變量γj可以表示為

與之對應的準則矩陣T和結果矩陣z為

通過求解混合整數優化問題，得到4、5 和6 個最優的測量變量子集分別為[T12T42T57T66]、[T12T51T57T62T66]和[T12T40T51T57T60T66]，平均經濟損失分別為8.376、1.534和0.827。

（3）在指定的測量變量子集中額外增加變量假設

指定的測量變量子集為[T12T25T45T62]，此時需要額外增加1、2 和3 個測量變量，二進制變量γj可以表示為

通過求解混合整數優化問題，得到額外增加1、2 和3 個測量變量后的最優測量變量子集分別為[T12T25T45T62T66]、[T12T25T40T45T62T67]和[T12T25T45T55T62T66T67]，平均經濟損失分別為51.732、1.946和0.885。

5 結 論

（1）介紹一種基于離線模型和仿真數據的全局自優化控制策略，利用非線性模型和Monte Carlo 方法計算整個操作空間內的平均經濟損失，使“自優化”效果不僅局限在標稱點附近。

（2）為了平衡傳感器成本和系統性能，在全局自優化控制策略的基礎上，引入混合整數約束，對測量變量子集進行選擇，通過求解混合整數規劃問題，能夠同時獲得最優的測量變量子集以及由其構成的全局被控變量。

（3）與文獻[17]的方法相比，本文方法可以更加高效地處理測量變量的子集選擇問題，同時應對附加的結構性約束；與文獻[24]的方法相比，本文方法所選擇的被控變量，可以使過程系統在整個操作空間內具有“自優化”效果。

通過對蒸發過程和Kaibel分壁精餾塔案例的研究表明，本文所提出的方法是可行的、有效的。但是，本文的策略和方法是基于積極約束不發生變化的前提下得到的，在實際過程系統中，由于受到各種不確定因素的影響，很容易引起積極約束的變化。所以，下一步研究的重點是考慮自優化控制問題中的約束處理方法，特別是積極約束發生變化的情況。