頻域加權LQR控制器改進設計*

李 欣，張進秋

(1. 陸軍裝甲兵學院 車輛工程系， 北京 100072； 2. 中國人民解放軍92578部隊， 北京 100161)

在船舶隔振領域，為了抑制設備振動向船體傳遞，通常在設備與船體間安裝各種類型的隔振裝置，以降低振源傳遞到船體或其他隔振對象的振動[1-2]。這些傳統隔振裝置對于高頻振動的隔離效果較好，但對低頻段振動的抑制作用有限，而且船舶隔振普遍存在低頻部分振動量級較大的問題。

振動主動控制技術可以使隔振系統較好地適應外界激勵的變化，而且對低頻振動抑制效果顯著[3-4]，是當前振動控制領域的研究重點。振動主動控制的實現方法有多種[5-6]，其中，基于線性二次型調節器(Linear Quadratic Regulator, LQR)的方法是較為成熟的振動主動控制方法之一[7]，該方法通過對某些性能指標進行加權的方式，達到對某個特定頻段的振動進行重點控制的目的[8]。黃興惠等[9]在車輛懸架系統中采用了LQR方法，針對人體較為敏感頻率范圍內的振動實施了控制，取得了較好效果。王檑等[8]以衛星隔振平臺為研究對象，設計了一種頻域加權LQR控制器，通過對某些振動量級較大的頻段進行加權，降低了衛星在該頻段內的振動，且在其他頻段沒有惡化。受上述研究啟發，本文在頻域加權LQR控制器基礎上，通過對LQR控制器濾波器的改進，提出了一種新型濾波器設計方法，其通過增大低頻部分權重來增加低頻控制力，進而提高振動控制效果。

1 隔振系統數學模型

基于電磁式準零剛度隔振器設計一個單層隔振系統，主動控制力作用于被隔振質量及基礎之間，該隔振系統集中參數模型如圖1所示。其中，電磁式準零剛度隔振器的剛度可以隨著電流的變化而改變。

圖1 隔振系統集中參數模型Fig.1 Lumped parameter model of vibration isolation system

1.1 標準LQR控制器設計

根據力學原理，模型運動微分方程為：

(1)

式中：z為垂向振動位移；m為系統總質量；c為系統阻尼系數；k為準零剛度隔振器線圈通電后的系統剛度；u為執行器產生的控制力；f為作用在系統上的擾動力。

(2)

為了利用較低的成本，即較小的控制力u，使原系統達到較好的性能指標，即受擾后的狀態變量X(t)變化盡可能小，于是以控制力和狀態變量的二次型函數的積分作為性能指標：

(3)

設控制力增益為Ke，則根據標準LQR控制器設計原則，最優控制力為如下形式[7]：

U=-KeX=-R-1BTPX

(4)

式中，P為如下Riccati方程的解:

PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0

(5)

1.2 頻域加權LQR控制器設計

根據Parseval定理[10]，將性能指標(3)改寫為頻域內的指標：

U*(jω)R(jω)U(jω)]dω

(6)

頻域內加權相當于修改了對應頻率下的狀態變量權重。設定頻域內的權系數矩陣和狀態變量為如下形式：

Q(jω)=W*(jω)W(jω)

(7)

Xf=W(jω)X

(8)

利用直接分解法，方程(8)可寫成狀態方程形式：

(9)

其中，Af、Bf和Df是狀態方程的系數矩陣。

(10)

將方程(7)和方程(8)代入方程(6)，得到如下形式：

U*(jω)R(jω)U(jω)]dω

(11)

結合方程(6)和方程(11)并根據Parseval定理可得增廣系統時域內的性能指標為：

(12)

從上述推導過程可以看出，頻域加權的實質是將原有的狀態方程擴充為新的增廣系統狀態方程，矩陣的維度發生了變化。這一變化作用在特定的頻域上，從而達到對特定頻域控制性能改善的目的。基于改變后的增廣系統狀態方程，再次采用LQR求解最優控制力的方法離線求解新的增廣系統狀態方程下的最優控制力，方法和形式與方程(4)和方程(5)相同，不再贅述。

1.3 濾波器設計

方程(8)中的濾波器通常采用具有式(13)所示形式的帶通濾波器。

(13)

式中：ω0為中心頻率；ξ為決定帶寬的因子；p為設計常數。

將標準的時域LQR控制器轉換到頻域，通過改變特定頻率下的權重，可以改善對應頻率下的振動控制效果。但是，當振源頻率低于執行器的下限響應頻率時，頻域加權控制器由于沒有覆蓋邊界外的頻率，導致執行器輸出力減小，控制效果變差。此時通過改變濾波器結構，可以達到增大低頻部分權重，從而產生類似執行器輸出補償的效果，即增加執行器低頻輸出力性能。

本文對照高通、低通和帶通濾波器結構，在原有頻域加權濾波器的基礎上進行了改進設計，通過引入待定參數，設計了一種新型濾波器，只需根據一定條件確定表達式中的待定參數，即可讓改進后的濾波器在作用于特定頻率的帶通濾波器和作用于低頻的低通濾波器之間轉換。改進后的濾波器傳遞函數為：

(14)

式中，參數p=0或者p=2。當振源頻率大于執行器下限響應頻率時，p=0，此時設計的濾波器與通常的濾波器效果相同；當振源頻率小于執行器下限頻率時，p=2，此時設計的濾波器增大了低頻部分權重。

2 數值仿真分析

現采用如圖1所示的隔振系統模型仿真驗證上述各種情況下的振動控制效果。假設執行器的頻率下限為0.5 Hz，仿真分析過程中的選取參數見表1。

表1 仿真參數設置Tab.1 Simulation parameter setting

2.1 濾波器對比

當參數p改變時，設計的濾波器可以在類似帶通的濾波器和針對低頻隔振執行器輸出補償的濾波器之間切換。切換前后濾波器的幅頻特性如圖2所示。

(a) 切換前濾波器幅頻特性(a) Amplitude frequency characteristics of filter before switching

(b) 切換后濾波器幅頻特性(b) Amplitude frequency characteristics of filter after switching圖2 濾波器幅頻特性對比Fig.2 Comparison of filter amplitude frequency characteristics

從圖2看出，切換前設計的濾波器幅頻特性與帶通濾波器幅頻特性類似，0.5 Hz附近權重大；切換后的濾波器幅頻特性表現為類似低通濾波器的特性，且低頻部分整體權重均有所增加。這樣的設計可以在執行器響應下限頻率被突破后，顯著增大相應的控制力，進而產生類似輸出補償的效果。

2.2 頻域加權控制效果

當振源頻率大于執行器下限頻率時，參數p=0，此時濾波器可以看成帶通濾波器。這時對采用帶通濾波器構造的LQR控制器進行研究，并將其性能與標準LQR控制器進行對比，以分析頻域加權的影響。仿真結果如圖3所示。

(a) 加速度傳遞率(a) Acceleration transfer rate

(b) 振幅位移(b) Amplitude displacement

(c) 加速度幅值(c) Acceleration amplitude

(d) 控制力(d) Control force

(e) 加速度功率譜密度(e) Acceleration power spectral density圖3 頻域加權后的控制效果Fig.3 Effect of frequency-shaping control

從圖3可以看出，頻域加權后的LQR控制器性能更好。具體來看，被隔振物體位移(圖3(b))、加速度(圖3(c))以及加速度功率譜密度(圖3(e))結果中，重構后的時域LQR控制器相比標準LQR控制器，幅值均有所減小。通過圖3(d)可以看出，實現這一效果的原因是增大了控制力，即重構后的LQR控制器相比標準的LQR控制器權重系數發生了改變，使控制力增大，從而得到較好的控制效果。量化后的加速度均方根值結果見表2。

表2 頻域加權控制下加速度均方根值對比Tab.2 Comparison of root mean square value of acceleration under frequency domain weighted control

2.3 低頻補償控制效果

當振源頻率小于執行器下限頻率時，p=2，此時濾波器切換為類似的低通濾波器，低頻部分權重顯著增加。對切換后的LQR控制器進行研究，將其性能與切換前LQR控制器進行對比，以分析改進后的LQR控制器性能。仿真結果如圖4所示。

從圖4可以看出，濾波器切換后的LQR控制器相比標準LQR控制器以及切換前的LQR控制器性能更好。承載質量位移(圖4(b))、加速度(圖4(c))和加速度功率譜密度(圖4(e))結果中，濾波器切換后的LQR控制器各項性能幅值均有所減小。進一步通過圖4(d)看出，上述效果的實現原因同樣是增大了控制力，即濾波器切換后的LQR控制器相比濾波器切換前的LQR控制器權重系數發生了改變，控制力進一步增大，從而得到更好的控制效果。量化的加速度均方根值結果見表3。

(a) 加速度傳遞率(a) Acceleration transfer rate

(b) 振幅位移(b) Amplitude displacement

(c) 加速度幅值(c) Acceleration amplitude

(d) 控制力(d) Control force

(e) 加速度功率譜密度(e) Acceleration power spectral density圖4 濾波器切換后的控制效果Fig.4 Effect of filter switching

表3 低頻補償控制下加速度均方根值對比Tab.3 Comparison of root mean square value of acceleration under the improved frequency domain weighted control with a new filter

3 結論

在頻域加權 LQR控制器的基礎上，對其常用濾波器進行了改進設計，提出了一種基于新型濾波器的頻域加權 LQR控制器，該濾波器可根據振源頻率切換濾波器類型，以達到提高低頻振動控制效果的目的。在此基礎上，通過數值仿真得出結論如下：

1)頻域加權通過構造新的系統狀態方程并調整權重系數從而改變控制器性能。頻域加權得到一個增廣系統，其狀態變量的權重系數改變可以提高LQR控制器性能。

2)通過構造新的濾波器，增大了低頻部分權重，進一步增大了控制力，進而提高了執行器下限響應頻率之外的控制性能。