建立微元模型，巧用動量定理解決四類問題

張金龍

微元法是分析解決物理問題的常用方法之一，高中物理教學中常用的微元法就是數學微積分思想的具體應用，該方法可將復雜的物理過程分解為眾多遵循相同規律的微小“元過程”，再將“元過程”進行累加。但這種方法對學生的能力要求較高，學生往往無從下手。本文通過實例分析高中物理中四類運用動量定理結合微元法處理的典型問題，旨在幫助學生建立模型，提升物理核心素養，提高運用數學思維方法解決物理問題的能力。

一、“柱體模型”的建立與應用

1.“柱體模型”的建立

“柱體模型”是一種重要的物理模型，即在物理問題中選取某一微小“對象”或“過程”，通過建立一個類似圓柱體的微元，對問題進行分析和研究，是最常見的微元模型之一。“柱體模型”主要適用于具有流動性、連續性、均勻性等特點的常規物理問題的解答。

2.“柱體模型”在“流體”類沖擊力問題中的應用

“流體”類沖擊力問題一般指液體或氣體在空間中連續而無空隙地分布，并對其他物體施加力的作用，此類問題一般不能將流體當作質點來進行研究，通常運用動量定理建立“柱體模型”，取微元作為研究對象，應用動量定理求解沖擊力。

分析思路：在極短時間Δt內，取一小柱體作為研究對象;求小柱體的體積ΔV=vSΔt;求小柱體的質量Δm=ρΔV=ρvSΔt;求小柱體的動量變化ΔP=vΔm=ρv2SΔt;應用動量定理FΔt=ΔP。

【例1】某游樂園入口旁有一噴泉，噴出的水柱將一質量為m的卡通玩具穩定地懸停在空中，為計算方便起見，假設水柱從橫截面積為S的噴口持續以速度v0豎直向上噴出，玩具底部為平板（面積略大于S），水柱沖擊到玩具底板后，在豎直方向水的速度變為零，在水平方向朝四周均勻散開，忽略空氣阻力。已知水的密度為ρ，重力加速度大小為g，求：（1）噴泉單位時間內噴出的水的質量;（2）玩具在空中懸停時，其底面相對于噴口的高度。

【解析】（1）設任意極短時間Δt內，從噴口噴出的水的體積為ΔV，質量為Δm=ρΔV=ρv0SΔt，單位時間內從噴口噴出的水的質量為=ρv0S。

（2）設玩具懸停時其底面相對于噴口的高度為h，水從噴口噴出后到達玩具底面時的速度大小為v，對于Δt時間內噴出的水，由機械能守恒得（Δm）v2+（Δm）gh=（Δm）v02。在h高度處，Δt時間內噴射到玩具底面的水沿豎直方向的動量變化量的大小為ΔP=Δmv，設水對玩具的作用力的大小為F，根據動量定理有FΔt=Δρ，由于玩具在空中懸停，由力的平衡條件得F=mg，解得h =- 。

【解題錦囊】對于“流體”類沖擊力問題，常用微元法隔離出部分流體建立“柱體模型”作為研究對象（解決此類問題的難點），再運用動量定理列式求解，解題過程中也可能涉及牛頓運動定律或功能關系等。

3.“柱體模型”在“鏈條”類沖擊力問題中的應用

“鏈條”類沖擊力問題一般指柔軟鏈條（或細繩）在自由下落或提起的過程中，對地面或接觸物體產生沖擊，對地面的壓力一般與鏈條的質量、鏈條在空中的長度及當地的重力加速度等有關，解決此類問題時注意將落地或離地前的一小段鏈條當作微元處理，應用動量定理即可求解。

分析思路：

（1）在極短時間Δt內，取即將落地的一小段鏈條微元Δx為研究對象。

（2）求鏈條微元的質量Δm=λΔx（λ表示鏈條的線密度）。

（3）求鏈條微元的動量變化ΔP=vΔm=λvΔx。

（4）根據動量定理FΔt=ΔP可得沖擊力F==λv=λv2。

【例2】一根長度為L、質量為m的勻質鏈條被豎直懸掛起來，其最低端剛好與水平面接觸，將鏈條由靜止釋放，讓它落到水平地面上，求鏈條下落長度為x時對水平面的壓力。

【解析】設鏈條的線密度為λ=，經過時間t后落在水平面上鏈條的長度為x，未到達水平面部分鏈條的速度為，鏈條落至地面后速度立即減為零。從t時刻起取很小一段時間Δt，在Δt時間內有Δm=λΔx段鏈條落到地面后靜止，根據動量定理有（F-Δmg）Δt=-Δmv，因為Δmg·Δt≈0，所以F=-=-λv2=-2gλx，負號表示力的方向豎直向上，已經落至地面的鏈條對水平面的壓力為gλx，所以鏈條下落長度x時對水平面的壓力N=2gλx+gλx=3gλx=。

【解題錦囊】對于鏈條或輕繩等物體，如果參與運動的部分逐漸變化（增加或減小），運動物體的質量將發生變化，所以此類問題屬于變質量問題，解題中注意取一小段鏈條微元為研究對象，建立柱體模型，應用動量定理列式求解。此類問題在訓練學生思維時可達到非常好的效果。

4.“柱體模型”在“微粒連續作用”類沖擊力問題中的應用

微粒及其特點：（1）微粒常指電子流、光子流、微塵等;（2）①質量具有獨立性，②已知單位體積內的粒子數n。

分析思路：（1）建立“柱體模型”：沿運動的方向選取一段微元，柱體的截面積為S。

（2）研究微元粒子數：作用時間Δt內的一段微元柱體的長度為Δl=vΔt，柱體體積ΔV=SvΔt，柱體內的粒子數N=nSvΔt，其中n為單位體積內粒子數。

（3）先對單個微粒應用動量定理，建立方程，再乘以N計算。

【例3】飛船在飛行過程中有很多技術問題需要解決，其中之一就是當飛船進入宇宙微粒塵區時如何保持飛船速度不變的問題，我國科學家已將這一問題解決。假如有一宇宙飛船，它的正面面積為S=0.98 m2，以v=2×103 m/s的速度進入宇宙微粒塵區，塵區每1 m3空間有一微粒，每一微粒平均質量m=2×10-4g，若要使飛船速度保持不變，飛船的牽引力應增加多少？（設微粒與飛船相碰后附著到飛船上）

【解析】由于飛船速度保持不變，因此增加的牽引力應與微粒對飛船的作用力相等，據牛頓第三定律知，此力也與飛船對微粒的作用力相等。只要求出時間t內微粒的質量，再由動量定理求出飛船對微粒的作用力，即可得到飛船增加的牽引力。時間t內附著到飛船上的微粒質量為m1=mSvt，設飛船對微粒的作用力為F，由動量定理得Ft=mv=mSvt·v，即F=mSv2，代入數據解得F=0.784 N。由牛頓第三定律得，微粒對飛船的作用力為0.784 N，故飛船的牽引力應增加0.784 N。

【解題錦囊】解決微粒連續作用類問題的關鍵是沿運動方向選取微元建立“柱體模型”，確定微元柱體中微粒的個數，再根據動量定理列式結合其他物理規律進行求解。以上例題和變式訓練就是此類問題在生活中非常典型的應用，注意構建模型，將實際問題進行轉化。

二、“微元段模型”的建立與應用

1.“微元段模型”的建立

“微元段模型”也屬于一種微元模型，在導體棒切割磁感線類電磁感應過程中，常會出現非勻變速運動，涉及求位移、電荷量及能量等問題。由于安培力與速度相互關聯、相互影響，因此電磁感應中的非勻變速運動問題用常規動力學方法往往難以解決。靈活運用微元思想，將運動過程隨時間變化分割成“微元段”，可以幫助我們深刻理解物理過程，運用數學方法進而使問題得解。

2.“微元段模型”在電磁感應中的變力作用問題中的應用

如圖1所示，水平放置的兩根間距為L的光滑平行金屬導軌，左端連接電阻R，其間有垂直于導軌平面向下的勻強磁場，磁感應強度為B，導軌上有質量為m的導體棒以初速度v0自由向右滑動，導體棒及金屬導軌電阻不計。導體棒運動過程中產生的感應電動勢E=BLv，回路中的感應電流I==，受到的合外力F=F安=BIL，即-=ma，導體棒做加速度減小的減速運動，v-t圖像如圖2所示，最終導體棒靜止。

（1）整個過程中導體棒的位移：v-t圖像與橫坐標所圍成的面積表示位移Δx=vΔt，取非常小的時間段Δt為一個微元過程，vi表示Δt時間間隔內的平均速度，根據牛頓第二定律有-=m，變形得到整個過程中動量定理表達式-viΔt=mΔv，即-Δx=m（v0），對整個過程累加后得x=mv0，所以整個過程中導體棒的位移x=。

（2）整個過程中通過導體棒橫截面的電荷量：取Δt時間段為一個微元過程，Δq=IiΔt，根據牛頓第二定律有-BIiL=m，變形得到整個過程中動量定理表達式-BL IiΔt=mΔv，即-BLq=m（0-v0），所以整個過程中通過導體棒橫截面的電荷量q=。

【例4】如圖3所示，同一水平面上固定兩根間距為L、足夠長的平行光滑導軌PQ和MN，QN端接阻值為R的定值電阻，整個裝置處在豎直向下的勻強磁場中。一個質量為m的導體棒以平行于導軌的初速度v0開始向左運動，經過位移s停下，棒始終與導軌垂直且接觸良好，其他電阻忽略不計，求：（1）磁感應強度B的大小;（2）導體棒滑過位移時受到的安培力F。

【解析】（1）導體棒運動過程中產生的感應電動勢E=BLv，回路中的電流I==，導體棒受到的安培力為F安=BIL=，從導體棒開始運動經過非常短的時間Δt的過程中，根據動量定理有-=mv-mv0，整個過程全部累加起來得-=-mv0，由此可知磁感應強度B= 。

（2）根據動量定理有-=mv-mv0，當導體棒滑過位移時，對過程累加得-=mv-mv0，代入磁感應強度B可得速度v=，導體棒受到的安培力F==。

【解題錦囊】導體棒切割磁感線的過程中，因導體棒速度變化導致安培力變化，導體棒所受的合外力變化，加速度變化，導體棒將做非勻變速運動。對于此類問題，注意化“變”為“恒”，將整個變力作用過程分解為眾多微小的元過程，運用動量定理列式，再進行累加進而將問題解決。此類變力作用問題在歷年高考中常在選擇題和計算壓軸題中出現，所以同學們在備考中應予以重視并熟練掌握。

三、總結

微積分對高考理科學生來說是必考點，從2017年起，動量定理也成為理綜全國卷的必考點，試題難度穩步提升。動量定理結合微元法在解決流體類問題和變力作用模型中展現了極強的優越性，此類問題能夠全面體現并考查物理科學思維核心素養，但需要較高的知識整合能力和思維能力，所以同學們在高考備考當中應足夠重視。

（本文系“甘肅省教育科學‘十三五規劃2020年度一般課題”，課題名稱：基于數學核心素養的中學數學建模單元化教學的實踐研究。課題立項號：GS〔2020〕GHB3056。）