基于大概念落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值
——以小學(xué)度量教學(xué)為例

劉曉萍

大概念是一種更高層次的上位概念，是一種更深層次的本質(zhì)概念，是學(xué)生建構(gòu)學(xué)習(xí)圖式的認(rèn)知框架，具有整合作用，并能廣泛遷移。大概念這一教育理念可以追溯到懷特海（惰性觀念）、布魯姆（基本概念）、布魯納（一般概念）和奧蘇伯爾（要領(lǐng)概念）等人的教育思想。在我國(guó)教育界，引入大概念是大家基于對(duì)核心素養(yǎng)教學(xué)實(shí)踐的反思，這能為落實(shí)學(xué)科育人提供一條新的路徑。具體到小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科，史寧中、鮑建生等教授的研究與國(guó)外學(xué)者一致，認(rèn)為度量是數(shù)學(xué)學(xué)科中一個(gè)適切的大概念，因?yàn)槎攘渴且环N數(shù)學(xué)基本思想，具有知識(shí)的兼容性與整合性，貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，而且度量本身蘊(yùn)含著人與自我、人與自然、人與社會(huì)的價(jià)值對(duì)話。

一、小學(xué)度量教學(xué)的育人價(jià)值分析

從認(rèn)識(shí)論的角度來(lái)看，度量是對(duì)事物某個(gè)特征、某種屬性進(jìn)行刻畫(huà)的量，其基礎(chǔ)是兩點(diǎn)間的距離，由此可以將時(shí)間與空間、貨幣與溫度、運(yùn)動(dòng)與靜止等多個(gè)領(lǐng)域的量進(jìn)行拓展，使其成為具有特定意義的量；從價(jià)值論的角度來(lái)看，度量是利用測(cè)量技術(shù)與工具對(duì)物理世界和智力世界進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)的過(guò)程，它是一種理解世界、解釋世界的手段。因此，不少?lài)?guó)家的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程都將度量和數(shù)與運(yùn)算、代數(shù)、統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容相提并論。在我國(guó)，度量?jī)?nèi)容則主要集中在“圖形與幾何”內(nèi)容領(lǐng)域，分散于單位的認(rèn)識(shí)與換算、角度、平面圖形的周長(zhǎng)、平面圖形的面積、立體圖形的體積、某些實(shí)物（如土豆）的體積測(cè)量方法等知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)中，主要體現(xiàn)度量的意義、度量的必要性、常見(jiàn)圖形度量的基本方法，但這都無(wú)法體現(xiàn)“度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)”。因此，就需要基于大概念重新定位度量教學(xué)的育人價(jià)值。

1.數(shù)學(xué)抽象。數(shù)學(xué)抽象是一種核心的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是一種重大的數(shù)學(xué)思想，它決定著數(shù)學(xué)學(xué)科的走向，是哲學(xué)范疇的數(shù)量側(cè)面。任何事物都有質(zhì)與量?jī)蓚€(gè)方面。作為質(zhì)與量統(tǒng)一體的“度”，就是保持事物本身質(zhì)的、量的限度與幅度。所以說(shuō)，度量的學(xué)習(xí)就是幫助學(xué)生通過(guò)度與量的數(shù)學(xué)方式積淀抽象思想。度量有著豐富的人文和生活背景，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)視角展開(kāi)學(xué)習(xí)，能使他們體會(huì)到數(shù)學(xué)概念的真諦，從而形成一種心理學(xué)上的概型，也就是學(xué)生終身受用的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

2.數(shù)形結(jié)合。數(shù)形結(jié)合是與一般科學(xué)方法相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法，用于數(shù)學(xué)思考、刻畫(huà)世界時(shí)能夠明顯體現(xiàn)學(xué)科特點(diǎn)。例如，在“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容領(lǐng)域，以1 的度量為起點(diǎn)，通過(guò)數(shù)軸等幾何圖形將運(yùn)算律從自然數(shù)推廣到有理數(shù)；在“圖形與幾何”內(nèi)容領(lǐng)域，以確定1 個(gè)度量單位為起點(diǎn)，通過(guò)數(shù)數(shù)的方式對(duì)圖形的運(yùn)動(dòng)、空間進(jìn)行定量分析。這樣教學(xué)，能使學(xué)生融通“數(shù)與代數(shù)”和“圖形與幾何”兩個(gè)內(nèi)容領(lǐng)域，使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有更上位的理解，同時(shí)有助于培養(yǎng)他們的直覺(jué)力與洞察力。

3.數(shù)學(xué)創(chuàng)造。人類(lèi)一直在探索宇宙和大自然的奧秘，并在不斷揭秘的過(guò)程中提升智力水平。在探索與揭秘時(shí)，必然涉及度量工具，并不斷挑戰(zhàn)提高度量工具精確度的問(wèn)題。一旦我們用度量來(lái)刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)與未知，便擁有了一種數(shù)學(xué)創(chuàng)造工具的能力。這種創(chuàng)造將數(shù)形體驗(yàn)與現(xiàn)實(shí)世界相連，極其有趣又充滿(mǎn)想象。說(shuō)到底，度量是為了更好地解釋有限與無(wú)限、近似與精確、離散與連續(xù)等數(shù)學(xué)基本矛盾，是為了描寫(xiě)、表示、反映現(xiàn)實(shí)時(shí)空，為各種時(shí)空觀提供數(shù)學(xué)模型以及反映客觀事物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。用度量打量生活是數(shù)學(xué)眼光與數(shù)學(xué)表達(dá)的具體體現(xiàn)，是未來(lái)公民應(yīng)具備的必要素養(yǎng)。

4.理性思維。度量的學(xué)習(xí)常常伴隨著學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的激活與再現(xiàn)，常常需要學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、想象等活動(dòng)，這些活動(dòng)也是學(xué)生發(fā)展空間觀念與推理能力的重要途徑。學(xué)生在統(tǒng)一度量單位、形成度量方法的過(guò)程中，在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行合理的猜想、比較、分析、綜合、概括，這又能促進(jìn)他們發(fā)展理性思維。總之，通過(guò)度量學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)會(huì)的是基于證據(jù)和邏輯來(lái)解釋世界的方法，進(jìn)而用理性思維來(lái)影響其實(shí)踐創(chuàng)新，指導(dǎo)其實(shí)踐探索。

二、學(xué)科育人視角下小學(xué)度量教學(xué)策略

史寧中教授指出：“沒(méi)有度量就沒(méi)有數(shù)學(xué)，度量是人們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，進(jìn)而認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的基本工具和表達(dá)語(yǔ)言。”筆者認(rèn)為，教師在度量教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意：其一，度量是思維的結(jié)晶，可以通過(guò)數(shù)學(xué)抽象得到；其二，度量是實(shí)踐的產(chǎn)物，可以借助工具得到。在具體的小學(xué)度量教學(xué)中，可以圍繞以下幾個(gè)教學(xué)策略來(lái)實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人。

2.整體感知。盡管度量?jī)?nèi)容幾乎貫穿整個(gè)小學(xué)階段，但基本沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何上測(cè)量單位與算術(shù)上計(jì)數(shù)單位的一致性，如不斷產(chǎn)生更小的測(cè)量單位其實(shí)就是產(chǎn)生分?jǐn)?shù)單位、小數(shù)單位，反之亦然；也沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生在整體上梳理度量是如何發(fā)展的。關(guān)注面積、體積的計(jì)算與應(yīng)用，卻沒(méi)有形成度量是單位的運(yùn)算的思想，如長(zhǎng)度、面積、體積是累加，速度是長(zhǎng)度與時(shí)間的比，由此由一個(gè)量或幾個(gè)量的運(yùn)算就可以度量萬(wàn)物，如可以用身高÷體重來(lái)度量胖瘦。前文說(shuō)長(zhǎng)度是最重要的度量，就是因?yàn)橛辛? 米，便有了1 平方米、1 立方米的度量概念，在一維上可以1米1米地?cái)?shù)，在二維上就可以用邊長(zhǎng)為1 米的正方形去1 平方米1 平方米地?cái)?shù)，在三維上就可以用棱長(zhǎng)為1 米的正方體去1 立方米1立方米地?cái)?shù)。如同在線上1米1米地?cái)?shù)，在角里可以1 度1 度地?cái)?shù)，在時(shí)間軸上可以1 時(shí)1 時(shí)地?cái)?shù)。因此，度量教學(xué)就要啟發(fā)學(xué)生在整體上感知度量是基于數(shù)數(shù)而得，并因此與計(jì)數(shù)單位建立關(guān)聯(lián)。具體而言，學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)能感知1米1米地量是1 個(gè)1 個(gè)地?cái)?shù)，那1 分米1 分米地量就是0.1 個(gè)0.1 個(gè)地?cái)?shù)；反之，1 千米1 千米地量就是以千為單位1個(gè)1個(gè)地?cái)?shù)。1平方米1平方米地量是1 個(gè)1 個(gè)地?cái)?shù)，那1 平方分米1 平方分米地量就是0.01 個(gè)0.01 個(gè)地?cái)?shù)；反之，1 公頃1 公頃地量就是以萬(wàn)為單位1 個(gè)1 個(gè)地?cái)?shù)。學(xué)生一旦學(xué)會(huì)整體考量數(shù)、運(yùn)算、度量，就能體悟數(shù)形結(jié)合的妙處，也能自由而符合邏輯地創(chuàng)造新的數(shù)與新的度量。

3.并置模型。“我們需要對(duì)它進(jìn)行度量，并不是使用諸如直尺、量角器之類(lèi)的笨拙的現(xiàn)實(shí)工具，而是使用我們的頭腦。”筆者認(rèn)為，美國(guó)數(shù)學(xué)家洛克哈特這句名言的意義在于：希望度量教學(xué)在幫助學(xué)生習(xí)得制作、使用度量工具的方法的同時(shí)，促進(jìn)其拓展思維邊界。更進(jìn)一步，可以理解為，基于度量視角的教學(xué)要不斷去除現(xiàn)實(shí)背景和量綱，將量抽象成數(shù)，這樣更便于運(yùn)算，更便于從感性走向理性。要實(shí)現(xiàn)這一教學(xué)目標(biāo)，并置模型的教學(xué)策略可以一試，如教學(xué)“小數(shù)的意義”，復(fù)習(xí)如何表征1 后，教師提問(wèn)：按照這樣的思路，0.1 怎樣表示？0.01 呢？待學(xué)生回答完畢，教師并置學(xué)生的表達(dá)，全部呈現(xiàn)于一張課件（如下頁(yè)圖1）。然后，教師再次追問(wèn)：不同的表達(dá)都在說(shuō)明哪一個(gè)數(shù)學(xué)故事？相較于群組、數(shù)軸、面積等模型，錢(qián)幣等模型更加直觀，能更好地闡釋數(shù)是量的抽象。將這些模型并置在一起，有助于學(xué)生理性地思考：以1 為度量單位，自然數(shù)是以一而十、十而百的方式大起來(lái)的，小數(shù)是以不斷均分10 份的方式小起來(lái)的。進(jìn)而明晰：度量工具是以一而十、十而百的創(chuàng)造方式往大數(shù)量測(cè)量，如百元、千米、噸；度量工具是以不斷均分10 份的創(chuàng)造方式往更精確的方向測(cè)量，而且都是基于1 元、1 米、1 度等單位往大小兩個(gè)方向延展。在對(duì)模型并置后尋找其共同原理的過(guò)程中，學(xué)生能逐漸產(chǎn)生整體感知，從而在量與數(shù)之間自由切換，或者由量推理數(shù)，或者由數(shù)返回到現(xiàn)實(shí)意義。這樣教學(xué)，能使學(xué)生明晰度量工具是度量手段，理性思考是度量目的，但它們是一體兩面，通過(guò)理性思考會(huì)創(chuàng)造出更理想的度量工具，度量工具的發(fā)展會(huì)促進(jìn)數(shù)學(xué)更理想地闡釋世界。

（圖1）

4.自主冒險(xiǎn)。只有學(xué)生自己經(jīng)歷豐富的、深刻的思維冒險(xiǎn)，才能建立真正的數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)，才能讓數(shù)學(xué)能力轉(zhuǎn)化為扎扎實(shí)實(shí)的數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)表達(dá)。因此，教師還應(yīng)注意留足時(shí)間供學(xué)生自主觀察、猜測(cè)、想象、歸納、類(lèi)比。如教學(xué)“角的度量”，教師提出問(wèn)題：同學(xué)們通過(guò)比較，知道∠A大于∠B，但∠A到底比∠B大多少呢？學(xué)生有的嘗試著用線段去表達(dá)角張開(kāi)的大小，有的去尋找所測(cè)量的角與直角的倍數(shù)關(guān)系，有的試圖仿照線段的測(cè)量定一個(gè)角度基本單位“1”……之后，教師引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)學(xué)冒險(xiǎn)的起點(diǎn)、過(guò)程、困難與問(wèn)題解決的矛盾。有的學(xué)生基于理性思考周角、平角、直角、1°角的比例關(guān)系，從而循著“360°→180°→90°→1°→10°→100°”的路徑，在頭腦中創(chuàng)造度量角的方法，其實(shí)這就是再創(chuàng)造了量角器。甚至有的學(xué)生會(huì)思考角度的進(jìn)率與長(zhǎng)度單位的進(jìn)率不一致，從而追求用十進(jìn)制進(jìn)行統(tǒng)一。

上述種種表述，都暗合洛克哈特的洞見(jiàn)：度量是一種很好的哲學(xué)訓(xùn)練，我們?cè)陬^腦中創(chuàng)造完美的虛擬對(duì)象，這些對(duì)象也有完美的度量尺寸。因此，當(dāng)以度量為大概念時(shí)，無(wú)論是“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)，還是“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)，其背后無(wú)不體現(xiàn)出數(shù)學(xué)抽象、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)創(chuàng)造、理性思維等育人價(jià)值。課堂再輔以求真驅(qū)動(dòng)、整體感知、并置模型、自主冒險(xiǎn)等教學(xué)策略，學(xué)生將會(huì)始終感受著數(shù)學(xué)的震撼——智力自由的震撼，理性解釋世界的震撼。