帶有攻擊角和視場角約束的制導炮彈導引律設計

郭佳暉, 蔣濱安, 田宗浩

(陸軍炮兵防空兵學院高過載彈藥制導控制與信息感知實驗室, 安徽 合肥 230031)

0 引 言

為了提高彈藥的毀傷效能,往往要求精確制導炮彈以特定的攻擊角度命中目標。對此,前人在比例導引法的基礎上相繼提出了多種帶有攻擊角約束的導引律。文獻[1]基于彈道落角約束,提出了偏置比例導引法。文獻[2]在偏置比例導引法的基礎上研究了落角約束對法向過載的影響,并通過盲區控制減小導彈在命中點處的法向過載。文獻[3]設計了基于碰撞點預測的剩余飛行時間估計方法,并在偏置項中加入了彈目的相對運動狀態,以實現對目標特定角度的攻擊。

滑模控制由于具有算法簡單、魯棒性好、可靠性高等優點,近些年被廣泛應用于導引律的設計之中。文獻[4-6]通過構造非線性終端滑模面,使得制導系統能在有限時間收斂,提高了命中精度。文獻[7-9]針對終端滑模的奇異現象,設計了帶攻擊角度約束的非奇異終端滑模導引律。文獻[10]對非奇異終端滑面進行了改進,結合自適應指數趨近律,提出了自適應非奇異終端滑模導引律,并且引入飽和函數以削弱抖振。文獻[11-14]利用積分滑模面解決了有限時間導引律存在的奇異和非光滑問題。文獻[15-16]將反演控制與滑模控制相結合,提出了自適應反演滑模導引律。

然而,在解決攻擊角約束的過程中,由于彈道彎曲,可能會使目標超出導引頭的視場范圍,進而導致導引律失效,因此還應研究視場角的影響。文獻[17]通過選擇合適的初始視線角或放寬攻擊角度約束,來保證視場角約束不被違背,由于初始條件受限以及約束條件降低,因此其在實際應用中受到了較多限制。文獻[18]提出了范圍多項式制導律,并利用邊界條件確定制導參數,可在視場角受限的情況下命中目標。文獻[19-21]采用了切換邏輯的控制方法,在落角約束導引律的基礎上增加了偏置開關項,并在視場角達到閾值時開始介入,以保證目標始終處于導引頭視場范圍之內,但是該方法存在導引指令跳變的問題。文獻[22]為了避免偏置項的突然介入而產生指令跳變,在偏置項上乘以一個時變的約束系數,以合理調節偏置項所占比重。

上述導引律的研究對象大多為有動力的導彈,并假設導彈和目標的速度恒定,但是制導炮彈全程均為無動力飛行,機動能力較弱,僅通過改變攻角難以維持速度恒定,而且目標的速度可能會發生變化。本文基于制導炮彈作戰使用流程和彈道特點,構建了制導炮彈攻擊地面速度變化目標的數學模型,并根據目標視線角的實際取值范圍,設計了帶有視場角約束的終端滑模面,以保證狀態變量在受限的情況下沿滑模面有限時間收斂,并利用正切型障礙李雅普諾夫函數來解決滑模面到達段的視場角約束問題,由于在導引律的設計之初就考慮了約束條件,因此有效解決了導引指令跳變等問題。設計了擴張狀態觀測器(extended state observer, ESO)對目標機動引起的擾動進行估計與補償,以減小滑模控制中切換項的增益,削弱了滑模控制的抖振現象。通過仿真驗證了該導引律能在視場角受限的情況下以不同的攻擊角度命中目標,并與現有的導引算法進行了對比,結果表明,該導引律的制導時間更短,彈丸落速更大,命中精度更高。

1 問題描述及基礎知識

1.1 問題描述

考慮炮彈在縱向平面內的導引問題,彈目相對運動關系如圖1所示。

圖1 彈目相對運動關系

(1)

式中,g為重力加速度;VT0為末制導開始時目標的速度;t0為末制導開始時刻。

(2)

1.2 基礎知識

性質 1V(x)在開區間D內正定連續且具有一階連續偏導數;

性質 2當x趨近開區間D的邊界時,V(x)趨近無窮大;

性質 3對任意t≥0且x(0)∈D,都存在正常數b,使得V(x)≤b成立。

引理 1對于任意的x∈[0,π/2),若正實數λ滿足0<λ<1,則不等式-sec2x<-2λtanλx恒成立。

證明

由此可得-sec2x<-2λtanλx。

證畢

引理 2[26]假設存在一個定義在包含原點的區間U∈Rn上的C1光滑正定函數V(t),且V(t)滿足不等式

(3)

(4)

2 導引律設計

2.1 選取狀態變量

(5)

(6)

式中,w(t)為目標機動導致的不確定項,可以表示為

(7)

不失一般性,可以對制導系統做出如下合理的假設。

假設 1目標的速度遠小于炮彈的速度,即

(8)

假設 2目標的機動能力有限,因此由機動導致的不確定項w(t)有界,且上界為Δ1,即

|w(t)|≤Δ1

(9)

假設 3末制導開始時,目標處于導引頭的視場范圍內,即炮彈的初始前置角滿足不等式:

(10)

|x2|≤kc

(11)

(12)

由于炮彈的速度遠大于目標的速度,故可以認為kc>0。

2.2 構造ESO

ESO常被用于估計系統的擾動,其只需要系統的輸入以及輸出信息即可準確估計出擾動,具有較高的實用價值,本文通過構建ESO來估計目標機動所導致的不確定項w(t)。

(13)

(14)

2.3 滑模導引律設計

構造終端滑模面

(15)

將滑模變量s對時間t求導，得

(16)

式中,

(17)

為了使滑模變量收斂于零,且在收斂的過程中滿足狀態約束式(11),可以構造如下正切型障礙李雅普諾夫函數:

(18)

式中,

(19)

(20)

式中,

(21)

(22)

式中,k1，k2>0。為了方便記敘,將本文設計的導引律簡記為FCIASMG。

3 導引律的穩定性分析與證明

定理 1本文所構造的滑模面式(15)將在導引指令式(22)的作用下有限時間收斂于零。

證明將導引律式(22)代入障礙李雅普諾夫函數式(18)中,并對其求導得

-sec2B(k1s2+k2|s|)≤-k1s2sec2B

(23)

根據引理1可知：

(24)

(25)

根據引理2可知,滑模面s將在有限時間收斂于零。

證畢

定理 2狀態變量x1和x2將在導引指令式(22)的作用下沿滑模面有限時間收斂于零。

證明考慮如下李雅普諾夫函數

(26)

當系統到達滑模面后,

(27)

對式(26)求導，得

(28)

(29)

根據引理2可知,狀態變量x1和x2將在有限時間沿滑模面收斂于零。

證畢

證明為了保證視場角滿足約束條件,只需證明狀態約束式(11)在導引過程中不會被違背即可。

(1)狀態約束式(11)在滑模面到達階段不會被違背。

(2)狀態約束式(11)在滑模面上不會被違背。

對于制導炮彈來說,其機動能力較弱,難以攻擊位于其上方和后方的目標,因此目標視線角滿足q∈[-π/2,0],則x1滿足x1∈[-π/2,π/2]。

當系統到達滑模面后,s=0,此時

(30)

證畢

4 仿真分析

本節對設計的導引律進行仿真分析,假設末制導開始時,炮彈和目標的初始坐標分別為(0 m,2 500 m)和(2 500 m,0 m),炮彈和目標的初速度分別為210 m/s和20 m/s,炮彈的初始彈道傾角為-30°,導引頭視場角約束為[-20°,20°],目標按加速度AT=8 cos(0.8t)進行機動,炮彈的攻角限制為[-6°,6°],導引律的參數設定為:k1=4,k2=0.2,p=5,m=3,a1=2,a2=1,仿真步長10 ms,當炮彈高度小于1 m時,仿真結束。

炮彈的法向過載主要由其攻角產生,因此過載限制可以轉化為攻角限制。

4.1 以不同攻擊角打擊目標

假設炮彈的期望攻擊角分別為-40°、-50°和-60°,針對本文設計的FCIASMG進行仿真,結果如圖2所示。

圖2 以不同攻擊角攻擊目標的仿真結果

從圖2(a)可以看出,無論炮彈以何種期望攻擊角均可成功命中目標。從圖2(b)可以看出,該導引律能夠在有限時間內使炮彈的攻擊角收斂到期望值。從圖2(c)可以看出,在整個導引過程中,炮彈的視場角始終滿足約束條件。從圖2(d)可以看出,在末制導開始時,各個攻擊角度對應的導引指令均出現了不同程度的飽和,隨后慢慢減小,在導引末端,導引指令均較小。

不同期望攻擊角度的仿真結果如表1所示,可以看出,炮彈的落速和導引時間均隨攻擊角度的增加而增加,在該導引律作用下,炮彈的攻擊角誤差可以控制在0.3°以內,脫靶量可以控制在1.5 m以內。

表1 不同攻擊角度導引結果

4.2 算法對比

為了進一步分析本文算法的制導性能,將其與文獻[8]和文獻[15]的算法進行對比分析。

文獻[15]設計了一種基于切換邏輯的考慮攻擊角和視場角約束的導引律，簡記為FSMCG,其具體形式如下:

k1s+k2|s|βsign(s)]

文獻[8]設計了一種非奇異快速終端滑模導引律，簡記為ANFTSMG,其具體形式如下：

假設炮彈期望的攻擊角為-60°,分別對導引律FCIASMG，FSMCG，ANFTSMG的制導性能進行仿真分析,結果如圖3所示。從圖3(a)和圖3(b)中可以看出,3種導引律均能以期望的攻擊角度命中目標。從圖3(c)中可以看出,ANFTSMG由于沒有考慮視場角約束,因此在機動的過程中違背了視場角約束,而FCIASMG和FSMCG均能滿足視場角約束。從圖3(d)中可以看出,3種導引律均出現了指令飽和的現象,但是FCIASMG的飽和時間最短,FSMCG次之,ANFTSMG飽和時間最長,FSMCG由于采用了切換邏輯,在A點處出現了明顯的指令跳變現象,且該方法在導引末端的攻角較大,不利于制導控制。3種導引律的仿真結果如表2所示,可以看出,3種導引律的脫靶量和攻擊角度誤差均令人滿意,但是本文所設計導引律的制導時間最短,彈丸落速最大,攻擊角誤差和脫靶量最小,相比其他兩種導引律具有明顯的優勢。

表2 不同導引律的導引結果

圖3 不同導引律仿真效果對比

5 結 論

本文以制導炮彈為平臺,針對速度可變的地面目標設計了一種帶有攻擊角和視場角約束的終端滑模導引律,并在導引律設計階段就考慮了約束條件,避免了指令切換,并通過仿真分析和對比,對算法進行驗證,相關結論如下:

(1)通過構造帶有約束條件的終端滑模面以及正切型障礙李雅普諾夫函數,使得炮彈可以在視場角約束不被違背的情況下以特定的攻擊角度命中目標;

(2)采用了ESO來估計和補償目標速度變化引起的擾動,減小了切換項的增益,有效削弱了滑模控制存在的抖振現象;

(3)通過算法對比與分析可以發現,本文設計的導引律具有制導時間短,導引指令飽和時間短,制導精度高,彈丸落速大,無指令跳變等優點。