“教學”與“習題”：談化歸思想的應用

陳文慶

現如今社會定義人才的基本要求也包含對數學思想及知識的掌握能力。而且，隨著我國社會經濟的飛速進步，對人才的需求增多，這就使得掌握數學思想方法變得更加重要。小學階段是學生能力培養的初期，教師教學中注重對學生化歸思想與能力的培養，關注并啟發學生舉一反三，有助于豐富學生思考問題的思路，讓學生能夠提高對理論知識的理解和應用，進而促進學生數學綜合能力的提升。

一、 將化歸思想應用于“數學教學”中

素質教育下，小學數學教師為了能夠提高與學生之間的默契，促進師生感情，常常會設計一些課堂活動。而教師應當怎樣利用化歸思想來保障課堂活動的質量，提高課堂教學效果，學生在學習中又要怎樣才能夠保證學習的質量，是需要思考和研究的重要問題。因此，針對小學數學人教版“代數”與“圖形”兩大模塊的內容可知，化歸思想不單在教學中有所應用，更是與小學階段的數學教學全部融合。那么教師應當怎樣將抽象的轉化思想更好地與教學各個環節相融合，讓學生能夠真切地感受到化歸思想的優勢和作用價值？

(一)借助教材素材，深入挖掘化歸思想

數學思想是支撐教材靈魂的關鍵，教材中包含很多理論概念、數學問題等，數學思想的存在就是為了將這些要素相互連接起來，從而促使小學數學教材構建出一個系統的、完整的知識體系。其中化歸思想就是在對數學真理進行深入探究后累積到的，將它融進教材的基礎知識中，是無法以形象具體的文字描述或公式法則表示出來的。教材中所體現的化歸思想也并不似以往學者們所探究時的真實記錄。盡管教材中除了化歸思想還存在其他的數學思想方法，但教師還是要對化歸思想進行深入的研究與分析，讓理論知識等所包含的化歸思想變得清晰明了。所以，教師進行備課的時候，首先要做的就是深入透徹地研究教材，將其編寫結構以及各個單元的知識體系的作用整理出來，還要從單元知識中找到方法。在整理完教材中的化歸思想后，教師則要開始設計教材內容，聯系素材充分發揮其作用，緊緊抓住素材與化歸思想之間的聯系，進而促進教學效果的提升。

(二)運用化歸思想教學，完善學生的認知結構

在素質教育教學的要求下，教師需要明白其目的就是促進學生學科素養的發展。而有效的途徑就是通過提升學生數學能力，進而促進數學素養的發展。因此，為了能夠鍛煉學生的化歸思想，教師應當結合學生的學情和認知能力，關注教學設計環節，積極激發學生的自主學習力，讓學生集中注意力于課堂當中，并提升學生的認知能力，促使學生的數學能力得到提升，優化學生的化歸思想。基于此，教師可組織學生進行自主探究活動，讓學生在小組討論中，了解其他人員的想法，以及求解過程。同時，教師也要注重反思教學，引導學生進行課堂反思，有助于鞏固舊知，促進新知識的遷移與完善，如教師可選擇利用舊知無法求解的數學問題，促使學生產生認知沖突，激發探求新知的動力，并在探究中結合其個性化的思維方式，完成新知的科學構建，從而滿足數學問題求解的需要。

例如，“植樹問題”是小學數學中高年級常用到的教學素材，在初次接觸到此類型題的時候，很容易引發學生的認知沖突。

師：公園小路一側需要植樹，已知此小路全長是1000米，樹與樹之間的距離為5米，如果小路兩端都栽種樹的話，公園需要采購多少棵小樹樹苗？

生1：已知的是小路全長1000米，那么直接用1000除以樹與樹之間的距離就能夠得到所需樹苗棵數，即1000÷5=200(棵)。

生2：我的做法與上一位同學不同，題目中提到小路兩端是栽種，所以在最后需要將兩端的2棵樹加上。即1000÷5=200(棵)，200+2=202(棵)。

師：現在我們有兩個同學提出了不同的答案，針對他們的計算方法我們現在一同來研究下，到底誰的方法正確，我為大家準備了一個表格，如下表。

路長距離間隔數棵數10米5米15米5米20米5米

此題教學中，教師弱化了問題的復雜程度，引導學生借助觀察就可以找到樹的棵數與間隔數之間的關系，即間隔數+1=棵數。因為此題結論是學生通過探究總結而得，所以能夠充分提高學生對此類問題的認知。

另外，在高年級的時候，學生還學習到了幾何圖形面積求解，像學習平行四邊形的時候，教師就可以在學生借助教材素材數方格求解面積的時候，引導學生發現實際就是圖形的底與高相乘。接著，教師提問“是不是任意一個平行四邊形的面積求解都是底乘高呢？”，學生在教師的問題下產生思考。教師繼續提問“我們是不是可以將平行四邊形轉化成以往熟悉的圖形，能夠轉化成哪個圖形呢？”。在學生提出將其轉化成長方形后，深入啟發學生說出兩個圖形之間存在的聯系，進而歸納出求解平行四邊形的面積公式。這種通過課堂操作的形式有助于激發學生的發散性思維，促使學生的化歸思想能力提升，強化學生抽象思維。

二、 將化歸思想應用于“問題求解”中

化歸思想在數學學科中既屬于數學思想的一部分，同時也是求解數學問題的方式之一。利用化歸思想可促進學生思維進步，讓學生的數學綜合能力得以提升，而這在一定程度上也代表著學生的求解問題的能力。尤其是小學中高年級時所需求解的數學問題較低年級要更為豐富，有些問題題型比較新穎，其中所包含的知識面也很廣，學生在掌握基礎知識的同時也要具備一定的求解能力。為此，教師可從學生能夠自主解答的問題入手，并將無法攻克的問題做轉化處理。通過將難題轉化促使學生的思維發散，并將這些問題化歸成自己能力范圍內能夠解決的問題，進而得到所求答案。另外，教師在此過程中需要引導學生找出化歸思想方法，鼓勵學生通過化歸方法完成問題的獨立解答。而且，教師在總結的時候也要明確該方法的使用思路以及作用，從而讓學生能夠在后續的練習或考試中運用。

(一)適時啟發

數學問題求解的路徑就是對問題化歸的一個過程。如果學生在求解數學問題的時候，正向思維無法找到求解問題的最佳方式或突破口，教師就可以適當地給學生一些啟發，指導其使用化歸方法，促使學生突破思維定勢，從正向轉為逆向，進而在新的思考方向中發現求解問題的方法。

例如，如圖所示，這是一個直角梯形，現要將此圖形涂上清新的藍色，已知涂陰影部分的時候涂色的涂料一共用了2kg，依照此方式求解，將此圖形全部涂完一共用多少涂料？

分析：依照正常的求解思路，需要借助單位量、面積等進行求解。第一步就是要求解出直角梯形的面積，但根據已知條件，由于高未知，所以無法計算出面積。這時候，教師可適當啟發學生：先可將陰影面積與直角梯形面積的比求解出來，然后再依據已知條件進而計算出總量。雖然上述例題較容易求解，但是一定會有學生因找不到突破口而放棄求解，而教師的適時啟發能夠促進學生產生求解動力。

再如，在學習幾何部分的知識時，針對內角和的求解問題是小學數學較為常見的問題。為此，在學習了三角形內角和后，教師提出要求學生求解出下面兩個圖形的內角和。

分析：求解該問題的關鍵在于思考與此問題有關的數學理論知識有哪些。為此，教師需引導和啟發學生思考。學生在教師所繪制的輔助線的啟發下想到了三角形內角和，而對應的數學思想就是化歸思想。由此推斷出此問題本質就是要借助三角形的內角和進行變式求解。在教師啟發和引導的過程中，學生最先思考的便是多邊形內角和與誰存在聯系。由于小學時期的學生數學知識有限，學習到的有關于內角和方面的知識也僅有三角形內角和，在教師輔助線的幫助下讓學生對這一猜想得到驗證。那么接下來要做的就是將多邊形內角和求解問題轉化成三角形內角和這一已知問題來解答。這種從未知問題直接轉化成已知問題的思想方法就是化歸思想。所以，此問題中的兩個圖形中，第一個圖形被輔助線分割成了兩個三角形，那么它的內角和就是兩個三角形內角和之和，即180°+180°=360°。而第二個圖形被輔助線分割成了四個三角形，那么其內角和就應該是四個三角形內角和之和，即180°×4=720°。

(二)合理練習

化歸思想屬于一種數學思維意識，學生形成此意識要經過系統的、長期的訓練，并在不斷地練習和方法總結中獲得感悟。在課堂中，教師通過教學向學生滲透化歸思想，學生此時對該思想有了初期的感悟，但要想讓學生充分掌握這一能力，就需要結合對應的練習，通過反復的練習實現對化歸思想能力的內化。所以，教師在為學生挑選練習題的時候，就可以著重選擇能夠凸顯出化歸思想的針對性練習題，并盡可能地讓班級中各個層次的學生都能夠建立化歸思想意識，加強對該思想的應用與理解。

分析：此運算題中包含了分數與小數，如果學生在求解的時候是依照順序依次計算的話，那么就會讓整個運算過程變得十分麻煩。這樣不但會使得求解此題目花費過多的時間，甚至還有可能導致運算的正確率降低。為此，教師就要引導學生先從整體角度對此問題進行觀察，然后對比前后兩個部分分析。學生在將前半部分的小數換算成分數后發現，恰恰與后面的括號內分數一樣。所以，根據化歸思想需要將此算式中的小數全部轉化為分數，然后再進行運算求解。通過乘法結合律可以將小數算式部分看作整體，兩部分在數值上一模一樣，那么就讓整個運算過程變得簡單，最終求解運算結果是1。

=1

再如，小明十分喜歡吃包子，周末小明媽媽準備給小明蒸包子。小明開心極了，并想要讓媽媽教他如何包包子。在小明學會后，小明同爸爸媽媽一起進行了一場包包子大賽。最終小明所包包子的數量比爸爸包的數量少2個，爸爸包包子的數量則超過了媽媽包的數量，小明仔細數過后超過了5個。最終，小明和爸爸媽媽一共包了158個包子，求：小明的媽媽包了多少個包子？

分析：上述問題是基于生活情境的數學應用型問題，問題中包含的數學關系較為復雜。針對學生來說，首先需要思考的便是將已知條件中的各個數值之間的數量關系厘清，從而達成統一的認識。為此，教師鼓勵學生針對此題求解繪制線段圖，由于問題所求的是媽媽包了多少包子。所以，在畫圖的時候就可以用媽媽作為標準，這樣就能夠結合已知條件給出的數值，將彼此的數量關系厘清，問題最后也能夠得到準確的解答。

解：小明媽媽所包包子的數量：(158-5-3)÷3=50(個)。

三、 結語

綜上可知，在小學數學教學中，教師需明確數學思想方法對學生數學能力和素養發展的重要作用，由于化歸思想屬于小學階段所需掌握的基礎數學思想方法，所以教師要格外重視。上文在結合中高年級學生課堂學習中利用化歸思想學習和練習，從而提高對相關理論知識的理解與認識，促進學生能夠在獨立求解中應用化歸思想順利解答問題，此過程有助于鍛煉學生發散性思維能力，促使學生在數學學習中發現數學理論知識的本質與規律，這對學生核心素養的培養具有重要作用。