基于有限公式法的永磁電機(jī)溫升仿真實(shí)驗(yàn)教學(xué)平臺(tái)與應(yīng)用

朱高嘉，李龍女

（天津工業(yè)大學(xué) 電工電能新技術(shù)天津市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300387）

永磁電機(jī)具有效率與功率密度高、高效區(qū)大、動(dòng)態(tài)響應(yīng)好的特點(diǎn)[1]，在新能源交通、航空航天、智能制造等領(lǐng)域受到了廣泛關(guān)注[2-3]。為了保證電機(jī)在長(zhǎng)期運(yùn)行中不會(huì)因?yàn)檫^(guò)高的溫升而導(dǎo)致絕緣損壞[4]、軸承潤(rùn)滑油過(guò)度揮發(fā)[5]、永磁體工作狀態(tài)下剩磁和矯頑力降低甚至不可逆退磁[1]，需要研究和掌握其溫升的準(zhǔn)確分析方法。

采用數(shù)值計(jì)算可以得到電機(jī)溫升的精確分布狀態(tài)，是目前永磁電機(jī)發(fā)熱與散熱分析中最主要的手段。然而，基于有限差分法（finite difference method，F(xiàn)DM）、有限元法（finite element method，F(xiàn)EM）、有限體積法（finite volume method，F(xiàn)VM）等常規(guī)數(shù)值方法的離散過(guò)程需要進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)學(xué)變換[6]，工程專業(yè)的本科生和低年級(jí)研究生掌握其核心機(jī)理的難度較大，進(jìn)而難以從原理和方法的層面加深對(duì)永磁電機(jī)溫度場(chǎng)數(shù)值計(jì)算的認(rèn)識(shí)。有限公式法（cell method， CM）由意大利學(xué)者Tonti 于2001 年提出[7]，通過(guò)對(duì)偶復(fù)型單元上物理方程的變換，直接得到代數(shù)、離散型控制方程組，其數(shù)學(xué)模型的物理意義清晰明確[8]，便于學(xué)生通過(guò)實(shí)際工程案例的分析掌握其基本原理和分析方法。

本文從有限公式法的基本理論出發(fā)，探尋基于有限公式法的永磁電機(jī)溫度場(chǎng)數(shù)學(xué)模型，分析其物理意義。搭建基于有限公式法的永磁電機(jī)三維溫度場(chǎng)數(shù)值計(jì)算平臺(tái)，從而為永磁電機(jī)設(shè)計(jì)類課程中溫升分析與冷卻設(shè)計(jì)提供有效教學(xué)條件。

1 有限公式法基本理論

有限公式法是一種代數(shù)型數(shù)值計(jì)算方法，其基本思想來(lái)源于Tonti 在物理定律直接代數(shù)表達(dá)的前期研究。有限公式法通過(guò)復(fù)型單元的原空間節(jié)點(diǎn)、單元線、單元面、單元體與映射空間單元體、單元面、單元線、節(jié)點(diǎn)間的對(duì)偶關(guān)系[8]，可以將各類守恒方程的推導(dǎo)直接嵌套于單元剖分結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)代數(shù)、離散型控制方程的直接獲取。有限公式法復(fù)型單元結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 基于有限公式法的復(fù)型單元結(jié)構(gòu)

基于有限公式法的單元變換可綜合為兩類運(yùn)算：①同一類單元不同維度間變換可轉(zhuǎn)化為拓?fù)溥\(yùn)算；②不同類型單元間對(duì)偶維度之間的變換可轉(zhuǎn)化為本構(gòu)運(yùn)算。

分布形式、向量化的物理量的原空間拓?fù)溥\(yùn)算可由3 類拓?fù)渚仃嚨淖蟪藢?shí)現(xiàn)：①G為原空間由點(diǎn)（原空間零維）-線（原空間一維）拓?fù)渚仃嚕虎贑為原空間由線（原空間一維）-面（原空間二維）拓?fù)渚仃嚕虎跠為原空間由面（原空間二維）-體（原空間三維）拓?fù)渚仃嚒Ｏ鄳?yīng)地，映射空間拓?fù)渚仃嚍椋孩贋橛成淇臻g由點(diǎn)（映射空間零維）-線（映射空間一維）拓?fù)渚仃嚕虎跒橛成淇臻g由線（映射空間一維）-面（映射空間二維）拓?fù)渚仃嚕虎蹫橛成淇臻g由面（映射空間二維）-體（映射空間三維）拓?fù)渚仃嚒Ｈ鐖D1 所示，由原空間、映射空間單元間的對(duì)偶關(guān)系，有本構(gòu)運(yùn)算反映兩套對(duì)偶單元間的物理變換，可通過(guò)左乘本構(gòu)運(yùn)算矩陣M實(shí)現(xiàn)[10]。

根據(jù)有限公式法的基本理論，將物理問(wèn)題的物理量定義在原空間/映射空間的某一維度（如節(jié)點(diǎn)零維、單元線一維、單元面二維、單元體三維）；通過(guò)左乘拓?fù)渚仃噷?shí)現(xiàn)同一套空間內(nèi)維度變換，得到定義在其他維度上的物理量；通過(guò)左乘本構(gòu)矩陣，實(shí)現(xiàn)兩套空間之間的變換，得到定義在其他空間的物理量。由于原空間-映射空間之間存在對(duì)偶關(guān)系，當(dāng)初始物理量維度和變換終止物理量維度相同時(shí)，可得到符合計(jì)算要求的有限公式控制方程組，實(shí)現(xiàn)物理問(wèn)題的有效數(shù)學(xué)建模。

2 基于有限公式法的電機(jī)溫度場(chǎng)數(shù)學(xué)建模

由基于有限公式法的控制方程單元離散基本原理和傳熱學(xué)基本理論出發(fā)，可將電機(jī)溫度場(chǎng)問(wèn)題的有限公式變換過(guò)程表述如下：

（1）將“溫升”定義在原空間單元節(jié)點(diǎn)（原空間0 維），通過(guò)拓?fù)渚仃嘒實(shí)現(xiàn)原空間節(jié)點(diǎn)（原空間零維）向單元線（原空間一維）的變換，得到原空間一維尺度單元線上的“溫升差”。

（2）如圖1 所示，映射空間單元面與原空間單元線對(duì)偶，通過(guò)本構(gòu)矩陣M實(shí)現(xiàn)原空間單元線（原空間一維）向映射空間單元面（映射空間二維）的變換，得到映射空間二維尺度上的“熱通量”。

（3）通過(guò)拓?fù)渚仃噡D實(shí)現(xiàn)映射空間單元面（映射空間二維）向單元體（映射空間三維）的變換，得到映射空間三維尺度單元體上的“熱功率散出”。

（4）通過(guò)前3 次變換，將原空間節(jié)點(diǎn)“溫升”與映射空間單元體上的“熱功率散出”相匹配，兩者在空間上同樣存在對(duì)偶關(guān)系，如圖1 所示。

基于有限公式法的電機(jī)溫度場(chǎng)變換過(guò)程可通過(guò)Tonti 圖表示，如圖2 所示。Tonti 圖作為有限公式法的核心組件，可清晰、明確地表述物理量的變換過(guò)程，目前已在基于其他數(shù)值分析方法的電工裝備多場(chǎng)耦合問(wèn)題中得到應(yīng)用和推廣[11]。將之用于教學(xué)可幫助學(xué)生加深對(duì)理論和變換關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

圖2 基于Tonti 圖的溫度場(chǎng)數(shù)學(xué)變換

教學(xué)過(guò)程中，可結(jié)合變換過(guò)程和Tonti 圖，講解基于有限公式法的溫度場(chǎng)數(shù)學(xué)模型：

式中：T為溫升向量，K；qV為映射空間單元內(nèi)生熱，W。

3 永磁電機(jī)溫升計(jì)算平臺(tái)搭建

3.1 基本假設(shè)與邊界條件

由式（1）所示基于有限公式法的電機(jī)溫度場(chǎng)數(shù)學(xué)模型出發(fā)，強(qiáng)加邊界條件，形成其定解問(wèn)題。在電機(jī)溫度場(chǎng)計(jì)算與分析中，為了在保證計(jì)算精度的同時(shí)降低總體求解計(jì)算量，一般需作出如下基本假設(shè)[12]：①根據(jù)電機(jī)的對(duì)稱性，取永磁電機(jī)的周向1/N模型進(jìn)行計(jì)算，其中N為定子槽數(shù)和轉(zhuǎn)子極數(shù)、槽數(shù)（分析對(duì)象為異步啟動(dòng)永磁同步電機(jī)時(shí)存在）的最大公約數(shù)；②忽略繞組趨膚效應(yīng)和臨近效應(yīng)的影響，認(rèn)為電機(jī)繞組內(nèi)不同位置的發(fā)熱情況一致；③繞組端部伸出部分用等長(zhǎng)的直導(dǎo)體、絕緣等效；④常規(guī)永磁電機(jī)通過(guò)熱輻射散出的熱量極小，一般可忽略，計(jì)算時(shí)僅考慮固體部件的熱傳導(dǎo)和固體-流體交界面的對(duì)流傳熱。

根據(jù)基本假設(shè)，由于電機(jī)的對(duì)稱性，需在1/N模型周向斷面設(shè)置絕熱邊界；在機(jī)殼外邊面和腔內(nèi)散熱面設(shè)置對(duì)流傳熱邊界。其中：絕熱邊界表示由該面散熱的熱功率為零，無(wú)須調(diào)整基于有限公式法的溫度場(chǎng)數(shù)學(xué)模型；對(duì)流傳熱邊界反映沿散熱面散出的熱功率與散熱面面積、散熱面溫度及周圍流體介質(zhì)溫度的關(guān)系，可通過(guò)強(qiáng)加散熱項(xiàng)實(shí)現(xiàn)：

式中：MR為對(duì)流傳熱本構(gòu)矩陣；Tfluid為冷卻介質(zhì)溫升，K。

3.2 計(jì)算平臺(tái)搭建

在式（1）和（2）基于有限公式法的永磁電機(jī)溫度場(chǎng)數(shù)學(xué)模型中，拓?fù)渚仃嘒反映原空間單元的線（節(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)）特征。為了實(shí)現(xiàn)全求解域的一致性，編程時(shí)在構(gòu)建離散控制方程前設(shè)置單元線的正方向，如圖3所示。

圖3 單元正方向

由第2 節(jié)中的分析過(guò)程可知，研究對(duì)象為沿單元線傳遞的熱功率，故取射出節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)單元線方向?yàn)檎⑸淙牍?jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)單元線方向?yàn)樨?fù)，得到圖3 對(duì)應(yīng)單個(gè)單元的拓?fù)渚仃嘒為：

本構(gòu)矩陣M為對(duì)角矩陣，其元素反映映射空間單元面面積、材料導(dǎo)熱系數(shù)、原空間單元線長(zhǎng)度：

式中：λ為導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·K)；為映射空間單元面Ⅰ的面積，m2；lI為原空間單元線Ⅰ的長(zhǎng)度，m。

對(duì)流傳熱本構(gòu)矩陣MR亦為對(duì)角矩陣，其元素反映對(duì)流傳熱系數(shù)、映射空間單元面面積。當(dāng)圖3 所示單元在對(duì)流傳熱邊界上時(shí)，有：

式中：α為對(duì)流傳熱系數(shù)，W/(m2·K)。

4 基于計(jì)算平臺(tái)的永磁電機(jī)溫度場(chǎng)仿真

應(yīng)用基于有限公式法的永磁電機(jī)溫度場(chǎng)計(jì)算平臺(tái)，仿真分析一臺(tái)100 kW 機(jī)殼外自扇風(fēng)冷永磁同步電機(jī)的溫度場(chǎng)分布。電機(jī)基本參數(shù)如表1 所示，冷卻結(jié)構(gòu)如圖4 所示。

表1 100 kW 永磁同步電機(jī)基本參數(shù)

圖4 電機(jī)冷卻結(jié)構(gòu)

計(jì)算得到電機(jī)整機(jī)溫升分布如圖5 所示。圖5 中電機(jī)最高溫升為70.4 K，位置出現(xiàn)在電機(jī)繞組端部。圖6 為繞組溫升分布。可以看出，由于冷卻風(fēng)在機(jī)殼外沿軸向吹拂，電機(jī)非驅(qū)動(dòng)端繞組溫升較低、驅(qū)動(dòng)端繞組溫升較高。由于電機(jī)腔外冷卻風(fēng)的吹拂冷卻作用，電機(jī)繞組溫升較低，根據(jù)F 級(jí)絕緣的溫升限制可知[13]，該冷卻結(jié)構(gòu)滿足電機(jī)散熱需要。

圖5 電機(jī)整機(jī)溫升分布

圖6 繞組溫升分布

5 結(jié)語(yǔ)

溫升的準(zhǔn)確分析和精確計(jì)算是永磁電機(jī)設(shè)計(jì)類課程中的重點(diǎn)環(huán)節(jié)之一，直接影響所設(shè)計(jì)永磁電機(jī)的運(yùn)行可靠性和輸出轉(zhuǎn)矩能力。由于常規(guī)數(shù)值計(jì)算技術(shù)的離散過(guò)程數(shù)學(xué)變換復(fù)雜，學(xué)生難以清晰掌握其核心機(jī)理和關(guān)鍵方法。

（1）本文從物理意義清晰明確的有限公式法出發(fā)，通過(guò)基于有限公式法的復(fù)型單元物理量變換，推導(dǎo)其溫度場(chǎng)數(shù)學(xué)模型，從而提高學(xué)生對(duì)永磁電機(jī)溫度場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方法的認(rèn)識(shí)和理論分析能力。

（2）立足于永磁電機(jī)有限公式溫度場(chǎng)數(shù)學(xué)模型，分析溫度場(chǎng)中的基本假設(shè)和各類邊界條件，搭建基于有限公式法的永磁電機(jī)溫度場(chǎng)計(jì)算平臺(tái)，使學(xué)生掌握永磁電機(jī)發(fā)熱與散熱分析及其數(shù)值編程方法。

（3）針對(duì)一臺(tái)100 kW 永磁同步電機(jī)，計(jì)算其溫升分布狀態(tài)，驗(yàn)證其冷卻結(jié)構(gòu)的有效性，從而培養(yǎng)學(xué)生由基本理論和方法出發(fā)解決復(fù)雜工程案例的能力。