基于MATLAB非線性擬合的血壓微分方程模型研究

李鑫　王慧

摘? 要：通過對一級高血壓患者在短時間內服用降壓藥后血壓變化的研究，建立血壓與時間關系的模型。該模型基于微分方程，并利用MATLAB非線性曲線擬合對給出的數據進行處理，然后確定降壓藥從胃進入血液和排出體外的速度系數以及血液中降壓藥含量與血壓的比例系數，根據模型得出的結果基本符合實際，最后對于一級高血壓患者給出建議并做出合理的解釋，為通過微分方程解決實際問題提供借鑒參考。

關鍵詞：MATLAB;曲線擬合;微分方程;降壓藥;血壓

中圖分類號：TP39 ? 文獻標識碼：A 文章編號：2096-4706（2021）17-0103-04

Abstract： Through the study on the changes of blood pressure in patients with primary hypertension after taking antihypertensive drugs in a short time， a model of the relationship between blood pressure and time is established. The model is based on differential equations and uses MATLAB nonlinear curve fitting to process the given data， and then determines the speed coefficient of antihypertensive drugs from the stomach into the blood and out of the body and the proportional coefficient of antihypertensive drug content in the blood and blood pressure. The results obtained according to the model are basically in line with the reality. Finally， suggestions and reasonable explanations are given for patients with primary hypertension. It provides a reference for solving practical problems through differential equations.

Keywords： MATLAB; curve fitting; differential equation; antihypertensive drug; blood pressure

0? 引? 言

據所周知中國不僅僅是一個人口大國，而且還是一個人口高血壓大國。根據現有最新的數據明確顯示出，中國大約有2.7億人是患有高血壓病的。但是大部分人對于高血壓，基本上是一知半解。再加上其他因素的影響，就使得高血壓的了解率、治療率、等都非常低，而且其發病率、致殘率、死亡率都在走向高處。因此，高血壓對健康的影響不容小覷，掌握高血壓的基礎知識，才能防止高血壓給自身健康帶來不良的影響。

高血壓有很大的危害，高血壓患者如不及時治療高血壓，患者的平均壽命會縮短將近20年。因為高血壓對大腦、心臟、腎臟和眼睛等器官的危害較大。高血壓可引起腦卒中（腦出血、腦梗死）、短暫性腦缺血發作等，有數據表明，70%的腦卒中與高血壓有關，而腦卒中則是導致血管性癡呆的重要原因。高血壓對心臟也有著重大影響。據數據顯示，20%～30%的高血壓患者伴有左心室肥大，50%的心肌梗死與高血壓有關。同時，高血壓會使得冠心病危險增加2.6倍，還會使心力衰竭危險增加6倍。長期高血壓會使腎小球壓力增高，如果是高血壓持續10年左右，那么腎小球將會受到損害，腎的微小動脈就會發生病變，進而導致腎功能減退或發展為腎衰竭。單純高血壓持續15年，有42%的患者會出現腎損害，重度高血壓可使尿毒癥危險增加11倍。據悉，78%的高血壓患者伴有眼底病變。高血壓可能會導致視力下降，嚴重時還會導致失明。高血壓的危害極大，因此積極治療高血壓顯得尤為重要。血壓要盡早達標，并堅持長期治療是高血壓患者的長壽之路。

目前降低高血壓方法有很多：（1）定期鍛煉建議高血壓患者要定期的運動鍛煉，務必要堅持規律性的運動，因為一旦中斷運動，血壓會再次升高。降低血壓的運動盡可能地做有氧運動，包括散步，慢跑，騎自行車，游泳或跳舞;（2）飲食要健康，如果能夠控制飲食結構也能降低血壓，可以嘗試富含全谷物食物、水果、蔬菜和低脂肪乳制品的飲食可以降低血壓11 mmHg。這種飲食計劃被稱為抑制高血壓飲食的飲食方法;（3）減少飲食中的鈉;（4）戒煙限酒，喝酒能提升血壓，飲酒越多血壓升高的越明顯;（5）睡眠充足，睡眠時間過少也會引起血壓的升高。為了保持血壓正常，要做到按時休息，不要熬夜;（6）減輕壓力，雖然并沒有很明確的研究表明壓力對血壓的影響到底有多大，但是如果長期壓力過大的話確實會影響血壓。如果血壓過于高就需要藥物治療，一般都服用降壓藥。

隨著年齡的增長高血壓一直都是我們關注的問題，一般來說當血壓超過140 mmHg就定義為高血壓，血壓在140 mmHg～160 mmHg是一級高血壓，160 mmHg～180 mmHg是二級高血壓，180 mmHg及其以上是三級高血壓，高血壓一般起病緩慢，患者早期常無癥狀，或僅有頭暈、頭痛等癥狀，如果治療不當就會病變成為較嚴重的腦中風、心肌梗死和腎功能衰竭等這些常見高血壓并發癥。治療高血壓，最為常用飲食療法，其食用簡單，針對高血壓及引起的高血糖、高血脂的調理平衡效果理想。當然如果想快速達到降壓的效果，還可以使用降壓藥來控制血壓。本文就考慮一個一級高血壓患者在服用降壓藥情形下，在經過多長時間血壓降到140 mmHg以下，又經過多長時間血壓回升到140 mmHg以上。

1? 一級高血壓患者血壓變化模型建立

對某個一級高血壓患者在短時間內服用降壓藥后，觀察患者的血壓變化情況，隔一定時間測量該高血壓患者血壓的變化進行測量，并記錄了24次血壓變化情況，表1為24次測量結果（血壓單位為：mmHg）。

1.1? 血壓變化模型的符號說明

為了方便后續書寫，在這里給出一些數學符號，并加以解釋說明，如表2所示。

1.2? 血壓變化模型的假設

針對某個一級高血壓患者在短時間內服下降壓藥之后，考察降壓藥先進入胃再進入體液最后從體液排出這樣的一個過程，在此過程中給出3個假設：

（1）假設胃在初始時刻t=0時，降壓藥含量為a，降壓藥從胃進入血液的速率與胃中的降壓藥含量成正比，比例系數為k1。

（2）假設人體的體液容積一直保持不變，在初始時刻t=0時，人體體液中降壓藥含量為零，在任意大于0的時刻，降壓藥從體液向體外排出的速率與體液降壓藥含量成正比，比例系數為k2。

（3）假設該患者的血壓與體液中降壓藥含量呈線性關系，系數為k3，k4，其中k3<0，即當體液中降壓藥含量增多時，患者的血壓開始下降;當體液中降壓藥含量減少時，患者的血壓開始上升。

（4）假設該高血壓患者在整個測量血壓的過程中，各項系數保持不變，故服用降壓藥后不使用其他藥品。

1.3? 血壓變化模型

根據假設（1），胃內降壓藥含量V1（t）滿足微分方程初值問題：

根據假設（2），體液中降壓藥含量V2（t）滿足微分方程初值問題：

根據假設（3），體液中降壓藥含量與血壓V3（t）滿足方程：

V3（t）=k3V2（t）+k4（k3<0）

2? 血壓變化模型求解

2.1? 模型求解

對于上述假設利用MATLAB求解微分方程初值問題，其MATLAB程序為：

2.2? 曲線的擬合

利用MATLAB的Isqnonlin函數進行最小二乘擬合，根據表1的一級高血壓患者服用降壓藥后24次測量數據，選取適當的參數k1，k2，k3，k4，此問題的MATLAB程序過程為：

根據所得的血壓與時間關系表達式，做出此表達式的函數圖像，與其真實測量值進行對比，利用MATLAB繪制效果擬合圖，程序為：

運行結果如圖1所示。

特別說明其中帶有加號的是患者實際的測量血壓值，藍色的曲線是我們經過假設（1）、（2）、（3）之后擬合的圖形，通過觀察圖1血壓與時間關系曲線擬合效果圖，從圖像中不難發現擬合之后的圖形與之前圖形吻合良好，說明假設是可行的，進而可以把患者血壓隨時間變化看成函數y=59.714 3（e-1.942 9t-e-0.039 7t）+171.121 1。

2.3? 誤差分析

利用MATLAB繪制圖1血壓擬合誤差圖，其MATLAB程序為：

運行結果如圖2所示。

從圖2中我們發現擬合的曲線效果還是非常不錯的，誤差值均在[-3，3]范圍內，吻合度還是比較高的，這說明模型的假設和模型的建立都是恰當的。

當然大多數人主要關心此一級高血壓患者在服用藥物多久之后血壓降低至140 mmHg，又經過多久之后血壓回到140 mmHg，結合著擬合之后的曲線進行計算。

2.4? 模型應用

當某一級高血壓患者若在清晨服用一片降壓藥之后，通過對擬合曲線方程計算在經過0.4小時之后，該患者血壓下降至140 mmHg以下，符合標準。經過16.4小時之后該患者血壓回升至140 mmHg。該一級高血壓患者服用一片降壓藥后經過25分鐘血壓即可控制在正常范圍之內，25分鐘之后直到睡覺前血壓都可以維持在正常范圍之內，故建議一天服用一片效果最佳。

在服用降壓藥的過程中需要謹遵具體的原則，這樣才能發揮良好的降壓效果。在醫生的指導下服用劑量正確的降壓藥物能發揮良好的降壓效果。錯誤的用藥行為都可能會影響血壓，影響健康，甚至增加身體負擔。在服用降壓藥物時需要牢記正確的原則，具體的劑量應該咨詢醫生意見，服用正確的劑量才能達到穩定血壓的目的。而使用降壓藥物時具體的服用時間需要了解。因為人的一天中有部分時間段血壓容易升高，在這些血壓升高的時間段服用降壓藥物才能發揮良好的降壓效果，這樣對高血壓病情控制有幫助。

具體的服用時間也要咨詢醫生意見，很多人平時降壓藥物并沒有正確使用，有時候忘記了服藥，沒有在血壓的高峰值使用藥物來降低血壓，這都有可能就會導致高血壓病情加重，出現血壓波動的情況。在服用降壓藥物時需要牢記正確的原則，注意服用藥物的正確時間。

2.5? 模型的優缺點以及推廣

模型的優點：模型把復雜的血壓變化問題轉化為降壓藥在血液里濃度變化直接線性的導致血壓簡單變化規律;模型簡單易懂，具有良好的可讀性、實用性。

模型的缺點：此模型存在近似誤差，很有可能是第三個假設再加上曲線擬合導致的，第三個假設降壓藥在血液中含量直接線性導致血壓變化，這里線性假設過于簡單，需要結合具體實際具體討論，這樣可使得誤差更加小，更加精確。

模型的推廣：模型可以進行修改，去討論二級高血壓以及三級高血壓患者一天服用幾次降壓藥可使得血壓保持在正常范圍之內;模型還對藥物在人體濃度變化研究具有一些參考的價值。

3? 結? 論

一般情況下，出現高血壓這種慢性疾病后需要馬上展開治療，通過合理的方式控制病情發展，否則血壓的持續升高容易導致健康受損，甚至會加速血管的老化。想要合理控制好血壓，一定要在醫生的指導下合理使用降壓藥，這樣才能達到控制病情的目的。

本文在討論吃一片降壓藥情況下，建立了時間和血壓微分方程模型，模型很好地描述了血壓隨時間變化規律，并對數據進行MATLAB非線性最小二乘擬合法，確定出降壓藥從胃進入體液的速率、降壓藥從體液向體外排出的速率與血壓與體液中降壓藥含量呈線性關系的速率系數，根據血壓模型的誤差分析得出模型基本符合實際，對高血壓患者服用降壓藥之后血壓變化有著一定的借鑒作用，最后對一級高血壓患者攝入降壓藥后血壓變化給出準確性預測。

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作者簡介：李鑫（1991.06—），男，漢族，黑龍江雞西人，助教，碩士，研究方向：應用數學;王慧（1985.10—），女，漢族，河北肅寧人，講師，黨政綜合辦公室主任，碩士研究生，研究方向：數學機械化。