磨粒簇葉序排布砂輪外圓磨削凹坑結構化減阻表面的仿真

李興山，熊 偉，陳天宇，呂玉山

（沈陽理工大學機械工程學院，遼寧 沈陽 110159）

1 引言

生物體表面的微結構是通過萬年的進化而來的，這些微結構都具有良好物理特性和化學特性，能夠使生物適應特定的環境。例如鯊魚皮的減阻性、荷葉的疏水性及壁虎腳掌的吸附性等，將這些微結構用在機械制造中，這對零部件性能的提升有著重要意義[1-3]。

要獲得結構化表面，就要有相應的制造方法。獲得結構化表面的方法主要有磨削法、輥壓法、電化學腐蝕法、激光加工法等等[4]，其中，磨削法是實現大尺寸和難加工材料零件表面結構化加工的有效方法之一[5]。目前，在結構化表面磨削領域，主要采用結構化修整砂輪進行磨削的方式和成形砂輪磨削的方式，例如文獻[6-7]分別制備了螺旋槽砂輪和雙螺旋槽砂輪，然后用其磨削工件平面獲得了溝槽狀結構化表面；文獻[8]利用精密修整后的砂輪將陶瓷加工成光滑曲面、再然后利用微細修整成角度為60°的金剛石砂輪V 形尖端在曲面上沿飛行體軸向方向加工出微溝槽結構并進行風動實驗，實驗結果表明：微溝槽結構曲面分別比光滑和粗糙曲面減小軸向阻力約36%和42%，也比光滑曲面減小側面阻力約39%；文獻[9]采用微溝槽結構化砂輪磨削加工出了V 形槽非光滑表面的氣壓機葉片，并用該葉片做風洞和油槽流體實驗，實驗結果表明：葉片表面微溝槽結構能有效減少4%的表面摩擦。上述這些研究成果對推動結構化表面磨削有著非常重要的理論意義和實際應用價值，但是面對工件材料和零件應用領域的多樣性，進一步探索結構化化表面磨削方法和理論問題仍是必要的。

采用了葉序排布原理設計了磨粒簇葉序排布砂輪，并仿真了磨粒簇葉序排布砂輪磨削外圓凹坑減阻表面的幾何創成機理，通過仿真來比較各參數對結構化表面形貌的影響規律，這對凹坑表面的制造具有重要的意義。

2 磨削運動方程的建立

2.1 磨粒族葉序排布砂輪數學建模

V.Iterson[10]根據植物的生長規律提出的柱面葉序排布數學模型如下：

式中：n—葉序序數；α—生物相鄰兩組織單元之間的發散角，等于137.508°，即為黃金分割角；φ—組織單元相對于極坐標的角度；r—柱面半徑；c—葉序生長系數；H—組織單元Z軸方向的高度。

如果將葉序排布理論應用于砂輪的設計領域[11]，把多個磨粒組成的磨粒簇看成為一個“組織單元”，依據方程（1）將磨粒簇排布于砂輪基體表面，那么所設計出的砂輪成為磨粒簇葉序排布砂輪，如圖1 所示。

圖1 磨粒簇葉序排布砂輪幾何模型Fig.1 The Model of the Grinding Wheel with Phyllotactic Abrasive Cluster

以砂輪底部圓心為原點建立砂輪直角坐標系OsXsYsZs，此時由V.Iterson 理論可得到磨粒簇葉序排布砂輪上第n顆磨粒簇中心點在砂輪坐標系OsXsYsZs中的相對位置為：

設磨粒簇采用的是在砂輪基體圓柱上的曲面圓形磨粒簇，如圖2 所示。假如采用單層電鍍CBN 砂輪磨削，而且磨料簇的圓形區域相對砂輪整體半徑比較很小，那么可以認為磨料簇曲面圓區域為一個小平面區域，其沿砂輪半徑方向的高度為磨粒的平均直徑dg。因此以第n個磨粒簇的圓心為原點，建立局部坐標系從而得到任意一顆磨粒的位置，再將局部坐標轉換為砂輪坐標系，可以得到磨粒族砂輪任意一顆磨粒相對于砂輪坐標系的位置為：

圖2 磨粒相對于磨粒簇的位置Fig.2 The Position of the Abrasive Particles Relative to the Abrasive Cluster

式中：Rs—砂輪半徑；h—相鄰兩磨粒簇在砂輪Z軸方向的高度差；ρi—磨粒簇上第i顆磨粒相對于坐標系原點的中心距；γi—每顆磨粒相對于初始位置的旋轉角；i—磨粒簇中任意一顆磨粒序數；rg—磨粒的平均高度。

2.2 磨粒磨削運動軌跡方程的建立

建立砂輪坐標系OsXsYsZs、工件坐標系OwXwYwZw、砂輪絕對坐標系和工件絕對坐標系其中，絕對坐標系與砂輪坐標系OsXsYsZs原點重合與工件坐標系重合；砂輪坐標系和工件坐標系分別隨砂輪、工件轉動，砂輪與工件的半徑分別為Rs、Rw，砂輪與工件的轉速分別為 ωs、ωw，磨削深度為ap，砂輪和工件之間的中心距為m，工件的進給速度為vw。砂輪與工件運動關系圖，如圖3 所示。

圖3 砂輪與工件運動關系圖Fig.3 The Motion Diagram Grinding Wheel and Workpiece

定義轉換矩陣Mmn表示從坐標系OnXnYnZn到OmXmYmZm的坐標變換，進而根據運動關系得到坐標轉換矩陣Mww’、Mw’s以及Ms’s；定義向量U為磨粒的位置向量，則有：

通過旋轉坐標變換可得到磨粒族葉序排布砂輪任意一個磨粒相對于絕對坐標系的轉換矩陣P為：

根據式（5）進行位移坐標變換可得磨粒相對于工件絕對坐標系的轉化矩陣Q為：

根據式（6）進行旋轉坐標變換可得磨粒相對于工件坐標系OwXwYwZw的轉化矩陣J為：

所以通過三次坐標變換得到磨粒相對于工件坐標系的軌跡矩陣為J，綜合表達式為：

2.3 實現結構化表面磨削的邊界條件

砂輪與工件的相對運動關系圖，如圖4 所示。圖中弧AB=d（d為磨粒簇的直徑），假設工件靜止，砂輪轉動，則磨粒簇剛從接觸工件到脫離工件時的位置為弧A1B1；假設砂輪與工件同時同向轉動，則磨粒簇剛從接觸工件到脫離工件時的位置為弧A2B2，將砂輪的運動合成到工件的運動中，即相當于砂輪以Ow為圓心做行星運動，從Os運動到，同時砂輪自轉；當砂輪自轉一周時恰好運動到位置，此時工件旋轉的角度為θ+θ（1θ 為砂輪與工件接觸時工件旋轉角度、θ1為砂輪空轉時工件旋轉角度），砂輪的旋轉周期為Ts，工件的旋轉周期為Tw，砂輪與工件的轉速比為λ。

圖4 砂輪與工件的相對運動原理圖Fig.4 Schematic Diagram of the Relative Motion of the Grinding Wheel and the Workpiece

若軌跡在工件上形成凹坑，則要滿足以下條件：

從而解得轉速比λ 的取值范圍：π/（π-β）＜λ＜（2π-φ）/2β，此時，工件上的形貌是葉序排布的一個個凹坑，若轉速比λ＞（2π-φ）/2β，則工件上形成的是環形凹槽。

3 工件表面形貌創成仿真

3.1 仿真的策略與基本條件

工件表面形貌取決于磨粒族葉序排布砂輪的表面形貌和砂輪與工件的轉速比λ 及磨削深度ap，所以為得到工件表面形貌，采用MATLAB 對運動過程進行仿真，仿真流程圖，如圖5所示。

圖5 MATLAB 仿真流程圖Fig.5 The Flow Chart ofMATLAB Simulation

仿真初始參數設定：砂輪半徑Rs=62.5mm、工件半徑Rw=25mm，砂輪轉速ns=2000r/min，工件表面形貌主要受轉速比λ、磨削深度、葉序參數h等多個參數因素的影響，主要探討轉速比λ、葉序參數h以及磨削深度ap對工件表面形貌的影響。

3.2 仿真結果與分析

設定磨削深度ap=0.18mm，葉序參數h=1.3mm，只改變轉速比λ，仿真結果，如圖6 所示。有式（9）推導出凹坑相互干涉的臨界條件為λ=29，當轉速比λ=18 時，凹坑分布比較稀疏且相互獨立沒有發生干涉；當轉速比為λ=25 時，凹坑依然沒發生干涉，但凹坑數量明顯增加；當轉速比為λ=32 時，顯然凹坑在周向已經發生干涉，工件周向形成環狀凹槽，凹坑的數量隨著轉速比λ的增大而增大。設定磨削深度ap=0.15mm，轉速比λ=6，只改變葉序參數h，仿真結果，如圖7 所示。當葉序參數h=0.4 時，凹坑之間分布較密集，甚至在軸向發生干涉，從而形成菱形凸臺；當葉序參數h=0.5 時，凹坑分布較h=0.4 時稀疏；當葉序參數h=0.6 時，凹坑數量較之前變得更稀疏，由此可知凹坑數量隨葉序參數的增大而減小。設定葉序參數h=0.5mm，轉速比λ=6，只改變磨削深度ap，仿真結果如圖8 所示。當磨削深度為ap=0.1mm時，凹坑顏色較淺呈淺綠色，說明凹坑深度較小，并且凹坑的軸向最大尺寸不變，周向尺寸較小；當磨削深度為ap=0.2mm 時，凹坑顏色變深呈淺藍色，說明凹坑深度變大，并且凹坑的周向尺寸明顯變大；當磨削深度為ap=0.3mm 時，凹坑顏色呈深藍色，說明此時的凹坑深度較前兩個變得更深，且凹坑的周向尺寸變得更大，軸向尺寸不變。

圖6 轉速比對工件表面形貌的影響Fig.6 Effect of Speed Ratio on Surface to Pography of Workpiece

圖7 葉序參數對工件表面形貌的影響Fig.7 Influence of Phyllotactic Parameterson Surface Topography of Workpiece

圖8 磨削深度對工件表面形貌的影響Fig.8 Effect of Grinding Depth on Surface to Pography of Workpiece

4 結論

通過仿真的方式模擬了磨粒簇葉序排布砂輪磨削凹坑結構化減阻表面的過程，實現了外圓工件的磨削加工，獲得了滿足要求的結構化表面，從而證明了該方案的可行性。通過控制變量的方法研究了轉速比λ、葉序參數h及磨削深度ap對工件表面形貌的影響，可得出以下結論：（1）保持轉速比λ、磨削深度ap不變，磨粒族葉序排布砂輪的葉序參數h越大，所得的凹坑就越稀疏，反之所得凹坑就越密集，在特定情況下可以形成近似菱形的凸臺；（2）磨粒族葉序排布砂輪的葉序參數h、磨削深度ap不變，砂輪與工件的轉速比λ 越大，工件周向所得到的凹坑數量就多，當轉速比足夠大時，周向凹坑相互干涉形成溝槽；（3）磨粒族葉序排布砂輪的葉序參數h、轉速比λ 不變，砂輪的磨削深度ap越大，工件所得到的凹坑周向尺寸就越大，反之則越小。