機(jī)床絲杠進(jìn)給系統(tǒng)熱誤差測(cè)點(diǎn)優(yōu)化及實(shí)驗(yàn)

袁 江，陶 濤，許 凱，任 東

（1.南通大學(xué)機(jī)械學(xué)院，江蘇 南通 226019；2.南通國(guó)盛智能科技有限公司，江蘇 南通 226000）

1 引言

隨著工業(yè)發(fā)展的需求，對(duì)零件的精密性提出了更高的要求，而熱誤差是影響機(jī)床加工精度的主要因素，對(duì)熱誤差進(jìn)行補(bǔ)償是提高加工精度的有效手段[1-2]。由于機(jī)床絲杠進(jìn)給系統(tǒng)溫度場(chǎng)分布較廣，測(cè)點(diǎn)選擇較少則不能準(zhǔn)確的體現(xiàn)出溫度的變化規(guī)律，如果選擇較多，不僅監(jiān)測(cè)成本提高，不同測(cè)點(diǎn)間的復(fù)共線性關(guān)系嚴(yán)重影響著建模精度，因此溫度測(cè)點(diǎn)的選擇是數(shù)控機(jī)床熱誤差補(bǔ)償技術(shù)中的關(guān)鍵問題。

近年來，熱誤差測(cè)點(diǎn)優(yōu)化問題得到了廣泛研究，如改進(jìn)系統(tǒng)聚類法[3]、偏相關(guān)分析法[4-5]、特征提取法[6]、逐步線性回歸法[7]、模糊聚類[8-9]等。改進(jìn)系統(tǒng)聚類法采用單一的相關(guān)性分析法計(jì)算熱誤差的相關(guān)性，會(huì)導(dǎo)致輸入量之間的共線性；偏相關(guān)分析法可準(zhǔn)確獲取溫度與熱誤差之間的線性相關(guān)性，但選擇關(guān)鍵測(cè)點(diǎn)數(shù)量會(huì)隨著測(cè)點(diǎn)的增多而增多；逐步線性回歸法對(duì)每個(gè)溫度變量進(jìn)行F檢驗(yàn)，消除了自變量之間的多重共線性；模糊聚類不能很好的確定閾值λ，閾值不同，對(duì)應(yīng)的測(cè)點(diǎn)優(yōu)化結(jié)果也不同。

提出一種綜合熱誤差測(cè)點(diǎn)優(yōu)化方法。首先采用Pearson 相關(guān)系數(shù)法，將溫度與熱延伸量數(shù)據(jù)相關(guān)性較小的點(diǎn)剔除；然后采用灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)法對(duì)剩余溫度變量相關(guān)性進(jìn)行分析，構(gòu)建模糊相似矩陣；再由模糊聚類算法得出模糊等價(jià)矩陣后利用F統(tǒng)計(jì)量確定最佳λ 閾值；最后采用偏相關(guān)性分析法，剔除掉相關(guān)性較弱的測(cè)點(diǎn)后得到最佳測(cè)點(diǎn)組合。該方法不僅減少了測(cè)點(diǎn)數(shù)量，降低溫度變量之間的耦合度，同時(shí)降低了熱誤差的復(fù)共線性，提高了建模精度。

2 綜合測(cè)點(diǎn)優(yōu)化

測(cè)點(diǎn)優(yōu)化算法綜合利用了相關(guān)分析法、灰色關(guān)聯(lián)法、模糊聚類算法、F分布檢驗(yàn)法和偏相關(guān)分析法。具體步驟如下：

2.1 Pearson 相關(guān)系數(shù)法

采用相關(guān)系數(shù)法可以表示出溫度數(shù)據(jù)與熱延伸量之間的關(guān)系，設(shè)X=｛x1，x2，…，xp｝為p個(gè)溫度變量的集合，其中xi=［xi1，x i2，…，xin］，（i=1，2，…，p）為第i個(gè)溫度變量的第n個(gè)觀測(cè)值，同理Y表示不同時(shí)刻熱延伸量的集合，相關(guān)系數(shù)表示為：

2.2 灰色關(guān)聯(lián)分析法

篩選出相關(guān)性較高的點(diǎn)后采用灰色關(guān)聯(lián)分析法，通過對(duì)象間發(fā)展趨勢(shì)的相似度，來衡量溫度變量間關(guān)聯(lián)程度。由于在實(shí)際生產(chǎn)加工中環(huán)境復(fù)雜，除刀具自身振動(dòng)外容易受到其他因素的影響，灰色系統(tǒng)理論以其處理含有系統(tǒng)貧乏信息的小樣本序列和受噪聲干擾的數(shù)據(jù)的優(yōu)點(diǎn)，可將其灰關(guān)聯(lián)度用來描述溫度變量間的關(guān)聯(lián)度，再通過一定的方法建立熱誤差與溫度變量之間的關(guān)系。灰色關(guān)聯(lián)分析法評(píng)價(jià)模型建立步驟如下：

（1）數(shù)據(jù)規(guī)范化處理。灰色關(guān)聯(lián)度需要在等權(quán)空間中對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，溫度變量雖然量綱相同，但不同測(cè)點(diǎn)間以及相同測(cè)點(diǎn)在不同時(shí)間段中的數(shù)值差異較大，為了便于比較，應(yīng)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，這里采用的是極差變換法對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，即：

（2）灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)。經(jīng)規(guī)范會(huì)數(shù)據(jù)處理后溫度序列集合為X′其中，p—溫度傳感器個(gè)數(shù)；n—第i個(gè)溫度變量的第n個(gè)觀測(cè)值。設(shè)x0為在集合X′中任選一行的參考序列，集合X′中其他所有行為比較序列。則x0與在第k個(gè)數(shù)據(jù)的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)為：

（3）灰色關(guān)聯(lián)度。該序列與對(duì)應(yīng)序列之間灰關(guān)聯(lián)系數(shù)的平均值，即：

根據(jù)式（3）可計(jì)算出所有溫度變量間的灰色關(guān)聯(lián)度，可構(gòu)建灰色關(guān)聯(lián)度矩陣R=（rij）p×p。

2.3 模糊聚類分析

模糊聚類中的模糊關(guān)系是根據(jù)各溫度變量之間的相關(guān)性所建立，再利用模糊關(guān)系對(duì)溫度變量進(jìn)行聚類。將灰色關(guān)聯(lián)度矩陣作為初始模糊矩陣，用模糊矩陣進(jìn)行模糊聚類分析。

2.3.1 模糊相似矩陣

采用灰色關(guān)聯(lián)法求得灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)構(gòu)建模糊相似矩陣R=（rij）p×p，設(shè)X=｛x1，x2，…，xp｝為p個(gè)溫度變量的集合，其中xi=［xi1，xi2，…，xin］，（i=1，2，…，p）為第i個(gè)溫度變量的第n個(gè)監(jiān)測(cè)值。

2.3.2 模糊等價(jià)矩陣

模糊相似矩陣不具有傳遞性，因此須將相似矩陣轉(zhuǎn)化為模糊等價(jià)矩陣，滿足自反性、對(duì)稱性、傳遞性3 個(gè)條件才能進(jìn)行合理的分類。對(duì)模糊相似矩陣進(jìn)行自平方求得R的傳遞閉包t（R），經(jīng)過有限次的自平方后存在k使得R2k=R2（k+1），此時(shí)模糊等價(jià)矩陣即為t（R）=R2k。

2.4 F 分布統(tǒng)計(jì)

從模糊等價(jià)矩陣中可以提取不同的λ 值，每一個(gè)λ 對(duì)應(yīng)著不同的分類，由方差理論可知通過F分布檢驗(yàn)可以得知類與類之間差異是否顯著，分類是否合理。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集

以某高速龍門加工中心為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，利用無線傳感標(biāo)簽技術(shù)實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)各測(cè)點(diǎn)位置的溫度變化情況，同時(shí)利用激光位移傳感器監(jiān)測(cè)絲杠的熱延伸量，監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，如圖1 所示。

圖1 實(shí)驗(yàn)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)圖Fig.1 Experimental Monitoring System Diagram

由于絲杠進(jìn)給系統(tǒng)熱源分布較廣，需要在不同部位安裝傳感標(biāo)簽，傳感標(biāo)簽的安裝位置，如表1 所示。其在機(jī)床中的布局，如圖2 所示。

表1 傳感標(biāo)簽安裝位置Tab.1 Sensor Label Installation Location

圖2 傳感標(biāo)簽現(xiàn)場(chǎng)布置圖Fig.2 Site Layout of Sensor Labels

實(shí)驗(yàn)時(shí)機(jī)床的運(yùn)行狀態(tài)為空轉(zhuǎn)連續(xù)運(yùn)行，進(jìn)給速度為6m/min，運(yùn)行一段時(shí)間后在激光位移傳感器測(cè)量范圍內(nèi)停止一小段時(shí)間間隔，以便測(cè)量絲杠的軸向熱延伸量，激光位移傳感器的安裝，如圖3 所示。

圖3 激光位移傳感器安裝位置Fig.3 Installation Position of Laser Displacement Sensor

3.2 溫度測(cè)點(diǎn)優(yōu)化

將各測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)帶入式（2）進(jìn)行規(guī)范化處理，以減小相同量綱下數(shù)據(jù)之間差異較大的問題。以某一列溫度值作為比較序列，在求出兩級(jí)極大值與極小值后根據(jù)式（3）可得出每個(gè)比較序列的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)，對(duì)每個(gè)參考序列下的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)取平均即為灰色關(guān)聯(lián)度，由此構(gòu)建模糊相似矩陣R。根據(jù)模糊聚類分析原理，求出模糊等價(jià)矩陣后即可根據(jù)不同的λ 值對(duì)各測(cè)點(diǎn)進(jìn)行分類，計(jì)算結(jié)果，如表2 所示。由表2 可以看出，當(dāng)λ 值為0.802 時(shí)，F(xiàn)與F0.05差值較大，表明類與類之間的差異顯著，分類較合理。當(dāng)λ=0.802時(shí)，溫度變量被分為3 類，如表3 所示。

表2 閾值λ 及F 統(tǒng)計(jì)量值Tab.2 Threshold Value of Lambda and F Statistics

表 3 λ=0.802 分類情況Tab.3 Classification of Lambda λ=0.802

從表3 可以看出，第1 類中的溫度變量較多，如果將其全部選中可能會(huì)由于和第2 類、第3 類的點(diǎn)產(chǎn)生復(fù)共線性，對(duì)建模精度造成較大影響，由（3）式算得T1 與T2 以及T5 與T4 之間的灰色系數(shù)較大，因此將T1 與T5 剔除。對(duì)應(yīng)溫度變量間的關(guān)系，將關(guān)系較大的變量剔除。采用偏相關(guān)性分析法，控制一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量與熱延伸量的相關(guān)性進(jìn)行分析，結(jié)果顯示T11 在控制T7 變量后與熱延伸量的相關(guān)性比T7 控制T11 變量后與熱延伸量的相關(guān)性較大，說明T7 對(duì)熱延伸量的影響比T11 要小，因此將T7 剔除可較小復(fù)共線性，提高建模精度。綜上所述，經(jīng)過綜合測(cè)點(diǎn)優(yōu)化后，所選測(cè)點(diǎn)為T2、T4、T11。

3.3 結(jié)果分析

利用最小二乘法多元線性回歸模型對(duì)所選溫度變量建模。經(jīng)過綜合測(cè)點(diǎn)優(yōu)化算法得到關(guān)鍵測(cè)溫點(diǎn)后建立模型結(jié)果為：

△z=0.0036△T2+0.0008△T4+0.0016△T11-0.1261

式中：△z—絲杠的熱延伸量；△T2、△T4、△T11—優(yōu)化后各溫度測(cè)點(diǎn)的溫升。

圖4 綜合測(cè)點(diǎn)優(yōu)化熱誤差模型預(yù)測(cè)圖Fig.4 Optimization of Thermal Error Model Prediction with Comprehensive Measuring Points

圖5 灰色關(guān)聯(lián)模糊聚類熱誤差模型預(yù)測(cè)圖Fig.5 Grey Relational Fuzzy Clustering Thermal Error Model Prediction Chart

該模型的熱誤差預(yù)測(cè)曲線，如圖4 所示。采用單一灰色關(guān)聯(lián)分析及模糊聚類算法得到的熱誤差預(yù)測(cè)曲線，如圖5 所示。圖中的殘差值為實(shí)測(cè)值與模型預(yù)測(cè)值之間的誤差，可以有效比較出模型的預(yù)測(cè)精度。從圖4 可以看出，采用綜合測(cè)點(diǎn)優(yōu)化方法，去除復(fù)共線性影響的測(cè)點(diǎn)后所建立模型的殘差為10μm，而如圖5 采用簡(jiǎn)單的灰色關(guān)聯(lián)與模糊聚類所建立模型的殘差為13μm。可見采用消除復(fù)共線性的綜合測(cè)點(diǎn)優(yōu)化算法建立的模型精度更高，預(yù)測(cè)效果更好。

4 結(jié)論

（1）采用綜合測(cè)點(diǎn)優(yōu)化算法，對(duì)絲杠進(jìn)給系統(tǒng)熱誤差進(jìn)行了預(yù)測(cè)，并在某龍門加工中心進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果顯示溫度測(cè)點(diǎn)由12 個(gè)減小到 3 個(gè)，絲杠熱延伸量從 13μm 減小到 10μm；（2）采用F統(tǒng)計(jì)量對(duì)閾值λ 進(jìn)行了篩選，確定了最優(yōu)分組，為熱誤差建模奠定基礎(chǔ)；（3）采用偏相關(guān)分析法，消除了復(fù)共線性，避免某溫度變量與熱誤差的相關(guān)性受其它溫度變量的影響，提高了熱誤差模型的預(yù)測(cè)精度。