三缸發動機平衡軸系統平衡減振齒輪平衡指標計算模型及其關鍵影響因素分析

劉思睿，李剛炎，王平俊，熊 峰

（武漢理工大學機電工程學院，湖北 武漢 430070）

1 引言

三缸發動機平衡軸系統驅動齒輪是發動機曲軸與平衡軸之間的傳動構件，將平衡軸和曲軸聯系在一起，同步驅動平衡軸系統，實現發動機運轉的平衡。平衡減振齒輪是將配重組件、彈性組件及齒輪本體設計為一體的一種特殊的傳動齒輪，具有減小裝配誤差、節約空間、輕量化等優點。質量、轉動慣量、不平衡量等平衡指標作為靜態特性是評價平衡減振齒輪平衡性能好壞的重要標準，通過對平衡減振齒輪平衡指標的理論計算分析，可以找到影響其平衡性能的關鍵因素并加以控制，根據實際結果和理論結果判斷引起不平衡量變化的機理，指導生產加工，降低產品不合格率，具有一定的工程實用價值。

在國內外對平衡指標相關計算研究過程中，文獻[1-2]研究了基于扭擺測量的轉動慣量計算方法，并分析了非線性因素對轉動慣量測試系統的影響，但該方法只適用于大尺寸非回轉體非線性動力學系統的轉動慣量測量。文獻[3-4]利用遞推最小二乘法計算了飛行器的質心偏差和轉動慣量，分析過程是把非線性動力學方程分解為若干個非線性方程組聯合進行求解。文獻[5]利用轉動慣量的定義，計算了均質圓柱殼的轉動慣量，但對形體質量、質心位置和轉動慣量的計算模型并沒有涉及。文獻[6]基于轉子旋轉軸線與部件慣性軸之間的偏差而產生轉子不平衡量的原理，提出了通過同心度對轉子不平衡量進行估算的方法，但該方法僅適用于部件的裝配過程。文獻[7]介紹了電機轉子全自動平衡機V 型銑削矯正方式下V 型銑槽動不平衡量的計算建模并分析多種結構因素影響，但由于轉子電氣及機械工藝等方面的限制，對某類轉子不便實現。通過分析，上述文獻采用的理論計算方法并不能解決平衡減振齒輪的平衡特性指標的分析與計算，且鮮少有影響計算指標的關鍵影響因素的分析，尚未對加工過程多因素多指標分析進行詳細的研究。

以三缸發動機平衡系統平衡減振齒輪為研究對象，針對質量、轉動慣量、不平衡量等平衡指標，構建平衡指標計算模型，運用MATLAB 軟件進行編程，結合零件加工工藝并采用正交試驗設計方法進行仿真計算，最后確定關鍵影響因素，為后期基于平衡指標進行平衡減振齒輪結構優化奠定基礎。

2 三缸發動機平衡軸系統平衡減振齒輪的結構型式及其特點

2.1 平衡減振齒輪的結構型式

某三缸發動機平衡軸系統平衡減振齒輪的示意圖，如圖1（a）所示。平衡減振齒輪由齒輪輪齒、齒輪腹板、齒輪腹板配重塊、橡膠環及輪轂組成。其中平衡減振齒輪腹板上設計的配重塊位于齒輪盤兩側，重心與飛輪側配重塊重心呈180°分布，整體結構類似扇形，可通過調整其厚度來調整配重部分的重量從而調整運轉時的動平衡。彈性橡膠環通過硫化工藝固接于在齒輪腹板與輪轂之間，隔離曲軸扭轉振動，提升平衡軸系統的耐久性，同時降低齒輪的嚙合噪音。

由于受到加工誤差的影響，平衡減振齒輪的實際加工質量會偏離設計值，在運動過程中產生的不平衡力矩過大或過小都會直接影響系統的平衡性能，從而無法滿足減小發動機振動和噪聲的要求。在設計過程中僅改變齒輪腹板配重塊結構對平衡性能的影響無法保障平衡指標結果在允許閾值范圍內。因此，應綜合考慮設計增重組件、減重組件、彈性組件，綜合考慮多種結構組成的平衡指標變化。分析其對平衡性能的影響。改進的結構型式示意圖，如圖1（b）所示。平衡減振齒輪結構型式的多樣性會使結構參數對平衡指標的影響有差異，建立通用的平衡指標計算模型，方便對平衡減振齒輪加工質量進行分析和控制。

圖1 平衡減振齒輪結構示意圖Fig.1 Schematic Diagram of the Structure of Balanced Vibration Reduction Gear

在零件材料和工藝方面，齒輪輪齒、齒輪腹板、齒輪腹板配重塊及輪轂據美國粉末冶金零件材料標準MPIF-35-2009，多采用牌號為FC-0205-80 的粉末冶金材料，其密度為6.9g/cm3。橡膠材料為氫化丁腈膠（HNBR，Hydrogenate Nitrile），密度為 1.3g/cm3。通過硫化工藝成為實現齒輪功能的關鍵部分：橡膠的硫化工藝不僅使橡膠成為具有固定形狀、能夠滿足特定功能需求的橡膠環結構，更重要的是通過該工藝，齒輪輪齒、齒輪腹板、齒輪腹板配重塊、橡膠環及輪轂粘接為一個整體，成為功能完善的平衡減振齒輪。

2.2 平衡減振齒輪的特點

（1）平衡減振齒輪由內圈、外圈和緩沖橡膠組成，較普通金屬齒輪有更好的傳動品質，減小振動和噪聲；將配重組件和齒輪設計為一體，滿足發動機缸體空間要求。

（2）平衡減振齒輪的內圈和外圈是粉末冶金材料，具備汗腺潤滑的特性，潤滑性能佳，此外粉末冶金件具有更好的工藝性能。

（3）相較于帶配重塊齒輪，在平衡指標值一致的情況下，平衡減振齒輪內圈和外圈材料密度變小，因此相對于原帶配重塊齒輪質量和轉動慣量減小。

2.3 平衡減振齒輪的平衡指標

為保證三缸發動機平衡系統的平衡效果，必須保證平衡減振齒輪平衡指標符合設計要求，平衡指標包括質量、轉動慣量和不平衡量。

2.3.1 質量

質量是平衡減振齒輪的固有性質，在加工過程中材料密度和幾何外形的變化都會對平衡減振齒輪的質量造成影響，質量的波動會直接影響平衡減振齒輪隨平衡軸同步旋轉運動而產生的轉矩大小，進而影響系統的平衡效果。

2.3.2 轉動慣量

轉慣量是表示物體在轉動過程中的慣性大小的物理量，它與物體的質量分布情況以及轉軸位置有關。合適的轉動慣量是為了保證平衡軸系統產生合適的不平衡量。

2.3.3 不平衡量

平衡減振齒輪作為發動機的關鍵傳動構件，是發動機運行平穩、安全可靠的重要保障，其轉速高，轉速變化頻繁，受載荷復雜的工況條件決定了其不平衡質量產生離心力的復雜多變性，不平衡量是平衡軸系統的關鍵指標，用以與發動機曲軸系統的不平衡協同，使發動機平衡。

3 平衡減振齒輪平衡指標的計算模型

國內對平衡減振齒輪相關設計方法主要基于研究人員經驗，設計出的零件普遍存在質量不佳、效率不高等缺點，針對平衡減振齒輪的復雜性，基于平衡減振齒輪的設計理論、平衡指標計算理論，需要建立增重組件、減重組件、彈性組件平衡指標計算模型。

3.1 增重組件平衡指標計算模型

增重配重塊平面特征，如圖2 所示。在XOY平面內該特征為兩對稱直線截兩同心圓所得不規則圓環形狀，外圓半徑為R，內圓半徑為r，內圓與截線交點到X軸的距離為L，截線與X軸之間的夾角為θ，由R、r、L和這四個參數可確定該典型平面特征的形狀。截線在X軸上半部分時典型形狀，如圖2（a）所示。截線在X軸下半部分時典型形狀，如圖2（b）所示。

圖2 增重配重塊平面特征Fig.2 Plane Features of Weight-Increasing Balance Weight

設增重配重塊厚度為H，Y軸右半部分的截線表達式為：

截線與內外兩同心圓交點分別為a（xr，yr）和b（xR，yR），利用積分方法計算增重配重塊部分各平衡指標，首先需計算兩交點的橫坐標，交點a和b的橫坐標表達式為：

在XOY平面上選取微元，微元長度表達式為：

則右半部微元的質量為：

增重配重塊的轉動慣量為：

增重配重塊的質心坐標為：

在實際加工過程中，需要控制Y方向的平衡減振齒輪不平衡量達到閾值范圍，則增重配重塊的不平衡量為：

式中：cm—尺寸單位；rad—角度單位；ρ—密度單位；mp—增重組件配重塊結構的質量；Jp—增重組件配重塊的轉動慣量，單位為g·cm2；Up—增重組件配重塊的不平衡量，單位為g·cm。

3.2 減重組件平衡指標計算模型

在實際零件設計過程中，考慮在齒輪腹板上設置減重孔和減重槽，形成質量偏心，調節該發動機平衡軸的離心力，可精確的調整不平衡量。所設置的減重孔和減重槽分布在平衡減振齒輪轉軸本體的兩側，分別建立減重孔與減重槽的平衡指標計算模型。

3.2.1 齒輪腹板減重孔平衡指標的計算模型

若考慮減重孔加工，在計算過程中假設減重孔為實體，由平行軸定理可得減重孔繞轉軸的總轉動慣量。小孔的直徑dk變化和軸線位置不可能完全相同，這些結構變化將共同影響平衡減振齒輪的不平衡量。減重孔的質心仍在其自身的軸線上，其軸線與平衡減振齒輪軸線之間的距離可以計算。

在腹板式齒輪結構設計中，設計孔孔心與設計槽中心弧線半徑長度根據腹板內外直徑決定，設腹板外直徑為D0，減重孔中心距軸線半徑為R1，腹板內直徑為D3，則R1≈（D0+D3）/4，減重孔的直徑D2≈（0.25～0.35）（D0-D3）。

減重孔平面特征，如圖3 所示。假設孔為實體，孔深為hk，設打孔個數為n，由平行軸定理可得孔繞Z軸的質量及總轉動慣量。為方便計算，設第一個配重孔圓心與X軸夾角為，減重孔之間的夾角為β2。

圖3 減重孔平面特征Fig.3 Plane Features of Weight-Lossing Hole

則連續分布的減重孔的質量及轉動慣量為：

利用極坐標計算每個孔的質心位置為：

確定第一個孔的質心坐標：

確定其他孔的質心坐標：

確定所有減重孔的總質心坐標：

則減重孔的Y方向的不平衡量為：

式中：mk—減重組件減重環結構的質量；Jk—減重組件減重環結構的轉動慣量，單位為g·cm2；Uk—減重組件減重環結構變化引起的不平衡量偏差，單位為g·cm。

3.2.2 齒輪腹板減重槽平衡指標計算模型

減重槽平面特征由扇形盤及兩半圓盤組成，如圖4 所示。考慮齒輪腹板減重槽的外圈半徑為Rc，配重槽厚度為hc，減重槽深度為bc，減重槽寬度為dc，減重槽扇形部分對應展開角度為2γ。以Y軸為對稱線，向Y軸兩側延伸相同角度γ，當單邊角度由γ增加△γ 時，且△γ 量趨于0，此時去除質量的增加量dmc1為：

圖4 減重槽平面特征Fig.4 Plane Features of Weight-Lossing Trough

則減重槽扇形部分去除的質量為：

當角度由0 增加至γ0時，此時去除的減重槽扇形部分的轉動慣量總量Jc1應為：

將去除質量△mc1對零件的不平衡量影響量△U投影在Y方向上，△U′=△mRccosγ，此時乘以 cosγ 為實際去除不平衡量。

當角度由0 增加至γ0時，此時去除不平衡單邊總量應為Uc1。

考慮右半部半圓盤，設半圓盤的圓半徑為bc/2，圓心角為α′，由對稱性容易得出（均質）半圓盤的質心在其圓心角的平分線上，取該軸為x′軸，頂點為原點，則半圓盤的上半部周界的方程為：

于是整個半圓盤對設定的原點的力矩為：

以S表示半圓盤面積，依照質心的定義，一個質量為S的質點放在原來的半圓盤的質心處，對設定的原點的力矩也等于M′，質心的坐標（即質心與圓心的距離）為：

則在坐標系XOY右半部半圓盤的質心的坐標為：

由經驗公式可得兩邊半圓盤的總質量為：

由平行軸定理可得半圓盤繞中心軸線的轉動慣量為通過質心的軸線轉動的轉動慣量等于該部分質量與兩軸間距離平方的乘積之和。其中半圓盤繞質心為軸線轉動的轉動慣量為：

半圓盤的Y方向的不平衡量偏差為：

則配重槽的總質量為mc=mc1+mc2，總轉動慣量為Jc=Jc1+Jc2，總不平衡量為Uc=Uc1+Uc2。

式中：mc—減重組件減重環結構的質量；Jc—減重組件減重槽結構的轉動慣量偏差，單位為g·cm2；Uc—減重組件減重槽結構的不平衡量偏差，單位為g·cm。

3.3 橡膠組件平衡指標計算模型

橡膠組件設置于所述齒圈和所述輪轂之間，不僅起到減振降噪的作用，同時橡膠環的結構變化也同時影響平衡齒輪的平衡性能。

橡膠環平面特征，如圖5 所示。

圖5 橡膠環平面特征Fig.5 Plane Features of Rubber Ring

則橡膠環的質量為：

橡膠環的轉動慣量為：

由圓環結構相對于平衡減振齒輪旋轉軸線的對稱性可知圓環結構的質心在X、Y方向的坐標分別為：

因此可知，各圓環的質心均在齒輪軸線上，不引起不平衡量的變化。

式中：mx—橡膠環結構的質量；Jx—橡膠環結構變的轉動慣量，單位為g·cm2；Ux—橡膠環結構變的不平衡量，單位為g·cm。

3.4 平衡減振齒輪平衡指標計算模型驗證

因平衡減振齒輪中齒輪輪齒、齒輪腹板、齒輪輪轂部分為標準結構，故不考慮其結構參數變化對平衡指標計算產生的影響，設齒輪輪齒部分質量為mT，轉動慣量為JT，不平衡量為UT。設齒輪腹板的質量為mW，轉動慣量為JW，不平衡量為UW。設齒輪輪轂部分質量為mH，轉動慣量為JH，不平衡量為UH。這三部分結構的平衡指標為定值。

綜上所述，平衡減振齒輪平衡指標的計算模型為：

為了便于平衡減振齒輪平衡指標的求解計算，以上述平衡減振齒輪為例，根據建立的質量、轉動慣量、不平衡量的計算模型，在MATLAB 中編寫計算程序，輸入該帶平衡減振齒輪三維模型的尺寸參數和零件材料的密度，計算各部分組件的質量、質心位置、轉動慣量，最后根據零件整體的質量以及質心位置計算出零件的不平衡量。在MATLAB 中計算結果與SolidWorks 軟件質量屬性分析結果對比，如表1 所示。

表1 平衡減振齒輪加工性能指標計算結果Tab.1 Calculation Result of Balance Index of Balance Vibration Reduction Gear

表1 分析結果表明，三個平衡指標的計算結果相對誤差都非常小，其中，平衡減振齒輪的轉動慣量相對誤差最大，主要的原因是由于在計算模型建立時，未考慮零件的圓角和倒角部分的計算。但從總體來看，計算誤差在容許范圍內，使用要求可以基本滿足。

4 平衡減振齒輪平衡指標關鍵影響因素分析

在之前的平衡減振齒輪平衡指標計算模型建立過程中可以看出，影響其平衡性能的結構參數多達十幾個，有些參數還存在相互制約的作用，為了篩選出影響平衡減振齒輪平衡性能的關鍵結構參數，有效實現平衡減振齒輪的后期結構優化設計，提高其平衡性能，采用正交試驗設計先對平衡減振齒輪的結構參數進行關鍵影響因素分析，篩選敏感性強的結構參數作為后文優化設計變量減少計算量。

4.1 平衡減振齒輪平衡指標關鍵影響因素分析的正交試驗設計

由平衡減振齒輪配重組件幾何結構平衡指標計算可知：增重配重塊影響平衡指標的結構參數有：外圓半徑R，內圓半徑為r，內圓與配重部分邊界截線交點到X軸的距離L，截線與X軸之間的夾角θ，厚度H。

減重孔影響平衡減振齒輪平衡指標的結構參數有：直徑dk、兩孔之間的夾角為β2、減重孔圓心據坐標軸O點距離為Lk、孔深為hk。

減重槽影響平衡指標的結構參數有：減重槽的外圈半徑為Rc、減重槽深度為hc、減重槽寬度為bc、減重槽角度為γ。

橡膠環影響平衡指標的結構參數有：橡膠環外徑Rx，橡膠環厚度hx。

根據設計理論、設計經驗和加工工藝要求，確定以上參數的范圍，其中增重配重塊外徑R與齒輪腹板外徑保持相同，減重孔圓心據坐標軸O點距離Lk由腹板內外直徑決定，孔深hk隨減重槽深度為hc變化而變化，減重槽的外圈半徑Rc由減重槽寬度bc確定，因此不考慮以上參數為正交設計的分析變量。綜上所述，參考正交表，選取其中十一列安排十一個因素的設計方案，根據因素水平劃分原則、機床加工能力、經濟性，以實例驗證中的平衡減振齒輪結構參數為依據，每個因素選擇三個水平，相同因素不同水平的差值相同，選擇的水平數，如表2 所示。

表2 因素水平表Tab.2 Factors and Levels Graph

根據上表，參考L27（313）正交表，按照因素順序進行排列，最終確定27 組正交設計方案，設置兩空列為誤差列。分別對每一組方案的平衡減振齒輪的平衡指標利用綜合評分法進行計算。具體方案結果，如表3 所示。

表3 平衡指標正交仿真試驗結果Tab.3 Orthogonal Simulation Test Results of Balance Index

4.2 平衡減振齒輪平衡指標關鍵影響因素分析正交試驗結果分析

對于正交試驗結果的分析，通常有兩種方法；一種是直觀分析法，也叫極差分析法通過計算極差來判斷因素對指標的影響大小[9-10]；另一種是方差分析法，又稱為統計分析法，分析精度高，可彌補直觀分析法的不足之處。通過試驗結果分析可得到因素主次順序、因素顯著性等關鍵信息。由于本次試驗設計只是為了得到因素主次關系和較優水平范圍，故采用簡單直觀的極差法對試驗結果進行分析便可滿足要求。

極差分析簡稱R法，包括計算和判斷兩部分，如圖6 所示。

圖6 極差分析示意圖Fig.6 Schematic Diagram of Range Analysis

Rj為第j列因素的極差，即第j列因素下的最大平均值與最小平均值的差值。

Rj反應了第j列因素水平波動時，結果指標的變動幅值。Rj越大。說明該因素水平變化對結果影響越明顯，因此，可以根據Rj的大小，判斷各因素對結果影響的主次順序。

根據極差分析原理和上表結果，計算得到平衡減振齒輪綜合評價值的極差分析，如表4 所示。

表4 平衡減振齒輪平衡指標極差分析表Tab.4 Table of Range Analysis of Balance index of Balance Vibration Reduction Gear

上表分別是關鍵因素對綜合平衡指標的極差分析結果，有上表可以看出，平衡減振齒輪增重配重塊部分的內圓半徑r的極差值最大，為6.4876，由于極差值越大，對應的因素對指標的影響就越顯著，故平衡減振齒輪增重配重塊部分的內圓半徑r對平衡減振齒輪的影響最為顯著。其次是配重塊部分邊界截線與X軸之間的夾角θ。減重槽深度hc、減重槽角度γ、橡膠環外徑Rx、橡膠環厚度hx對綜合平衡指標的影響相對較小，通過各個因素的極差值大小，可以得到關鍵的結構參數對綜合平衡指標影響程度的大小排序為：r＞θ＞H＞bc＞β2＞dk＞L＞hx＞γ＞Rx＞hc

5 結論

針對三缸發動機平衡軸系統平衡減振齒輪的不同結構型式，綜合考慮增重組件、減重組件、橡膠組件對平衡指標的影響，建立平衡減振齒輪的平衡指標通用計算模型，通過仿真計算得到零件質量、轉動慣量、不平衡量三個平衡指標在零件結構參數和材料密度等設計參數影響因素下的指標數值，驗證了該計算模型的準確性。利用綜合評分方法處理多指標正交試驗結果并進行極差和關系趨勢分析，得到各參數對平衡減振齒輪平衡指標影響的顯著程度比較。

結果表明，在零件密度不變的情況下，該扇形盤狀增重組件的軸向尺寸H及徑向尺寸r，減重組件中減重孔直徑dk及減重槽徑向槽寬bc對平衡指標影響特別顯著。而結構角度的變化對平衡指標的影響同樣比重較大。在零件生產過程中需對這些關鍵的結構參數重點監測，確保平衡減振齒輪的平衡指標在閾值范圍內，以提高零件檢測效率并降低成本，為后期進行平衡減振齒輪結構優化奠定基礎。