一種非接觸式R-test 測(cè)量?jī)x球心坐標(biāo)計(jì)算方法

彭炳康，呂國(guó)艷，江 磊，張歷記

（1.西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610031；2.中車(chē)青島四方機(jī)車(chē)車(chē)輛股份有限公司，山東 青島 266000；3.成都飛機(jī)工業(yè)（集團(tuán)）有限責(zé)任公司，四川 成都 610092）

1 引言

隨著零件加工精度要求的提高，對(duì)五軸數(shù)控機(jī)床的幾何誤差測(cè)量也日益重要。針對(duì)五軸數(shù)控機(jī)床的轉(zhuǎn)動(dòng)軸，準(zhǔn)確測(cè)量其幾何誤差是進(jìn)行誤差補(bǔ)償以提高其加工精度的關(guān)鍵[1]。而對(duì)機(jī)床轉(zhuǎn)動(dòng)軸的幾何誤差測(cè)量尚未有專(zhuān)用的測(cè)量?jī)x器，目前通常采用球桿儀[2-3]和激光干涉儀[4]進(jìn)行間接測(cè)量，存在測(cè)量精度和效率較低等不足。R-test 測(cè)量?jī)x可以實(shí)時(shí)獲得安裝在機(jī)床主軸的測(cè)量頭相對(duì)安裝在工作臺(tái)的底座的三維相對(duì)位移誤差，并利用五軸數(shù)控機(jī)床的RTCP 或RPCP 功能，辨識(shí)計(jì)算機(jī)床轉(zhuǎn)動(dòng)軸的幾何結(jié)構(gòu)性誤差。R-test 測(cè)量?jī)x具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、測(cè)量效率高等優(yōu)點(diǎn)，可以較好的滿(mǎn)足五軸數(shù)控機(jī)床轉(zhuǎn)動(dòng)軸的幾何誤差測(cè)量要求[5]。FIDIA、IBS 等公司已有相應(yīng)的商業(yè)化產(chǎn)品，并在行業(yè)內(nèi)得到了較好的應(yīng)用。

R-test 測(cè)量?jī)x主要采用兩種測(cè)量方式：采用接觸式位移傳感器進(jìn)行測(cè)量或采用非接觸式位移傳感器進(jìn)行測(cè)量。在接觸式R-test 測(cè)量?jī)x方面，文獻(xiàn)[6]對(duì)接觸式R-test 測(cè)量裝置的工作原理進(jìn)行了分析，推導(dǎo)了傳感器讀數(shù)與測(cè)量球三向位移之間的轉(zhuǎn)換矩陣。然而，由于接觸式的測(cè)量方式，在機(jī)床主軸運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，接觸式R-test 測(cè)量?jī)x的測(cè)量球與傳感器之間容易發(fā)生磨損[7-8]，進(jìn)而產(chǎn)生測(cè)量誤差。在非接觸式R-test 測(cè)量?jī)x方面，文獻(xiàn)[9]提出一種了采用非接觸式位移傳感器的R-test 測(cè)量?jī)x，并對(duì)該設(shè)備的誤差辨識(shí)算法進(jìn)行了分析，但未涉及到儀器坐標(biāo)計(jì)算。相比于接觸式R-test 測(cè)量?jī)x，非接觸式R-test 測(cè)量?jī)x可以避免測(cè)量磨損產(chǎn)生的測(cè)量誤差，并可以在主軸高速轉(zhuǎn)動(dòng)條件下進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量精度、響應(yīng)性和穩(wěn)定性都很好，但測(cè)量球球心坐標(biāo)計(jì)算算法復(fù)雜且尚未完善。

綜合考慮非接觸式R-test 測(cè)量?jī)x的結(jié)構(gòu)及測(cè)量原理，針對(duì)測(cè)量球在測(cè)量范圍內(nèi)徑向偏離傳感器軸線(xiàn)所產(chǎn)生的感應(yīng)電壓特性，提出了球心坐標(biāo)的計(jì)算模型，并采用差分進(jìn)化算法保證求解的精度和穩(wěn)定性。通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證所提出球心坐標(biāo)計(jì)算方法的精度和可靠性。

2 非接觸式R-test 測(cè)量?jī)x結(jié)構(gòu)及原理

非接觸式R-test 測(cè)量?jī)x的結(jié)構(gòu)模型，如圖1 所示。主要包括均勻分布的三個(gè)非接觸式電渦流位移傳感器（ESC）和一個(gè)測(cè)量球。傳感器端部存在一個(gè)與傳感器軸線(xiàn)垂直的感應(yīng)平面。設(shè)感應(yīng)平面半徑為RECS，測(cè)量球半徑為Rb，三個(gè)感應(yīng)平面圓心點(diǎn)分別為PE1、PE2、PE3并形成 R-test 測(cè)量?jī)x基準(zhǔn)平面，傳感器仰角（傳感器軸線(xiàn)與基準(zhǔn)面的夾角）均為α，傳感器中心間距（Z軸到感應(yīng)平面圓心的夾角）均為λ，測(cè)量球球心P在第j個(gè)位置時(shí)，測(cè)量球面和球心P到第i個(gè)感應(yīng)平面的距離分別為li-j和Li-j，球心P到第i個(gè)傳感器中心軸線(xiàn)的距離為ri-j。單個(gè)傳感器i與測(cè)量球的位置示意圖，如圖2 所示。

為了便于測(cè)量計(jì)算，建立測(cè)量坐標(biāo)系（MCS），其原點(diǎn)與三個(gè)感應(yīng)平面的距離一致（即原點(diǎn)位于傳感器中心軸線(xiàn)的交點(diǎn)），XOY坐標(biāo)面與基準(zhǔn)面平行，傳感器1 位于XOZ平面。

圖1 非接觸式R-test 測(cè)量?jī)x結(jié)構(gòu)模型圖Fig.1 Non-Contact R-test Measuring Instrument Structure Model Diagram

圖2 傳感器i 與測(cè)量球的位置關(guān)系示意圖Fig.2 Schematic Diagram of the Positional Relationship between Sensor i and Measuring Sphere

傳感器軸向量程均為δ，測(cè)量球球心在第j個(gè)位置時(shí)，第i個(gè)傳感器的感應(yīng)電壓為Ui-j。在傳感器軸向量程δ 內(nèi)，測(cè)量球面與感應(yīng)平面距離li-j的最小允許值為lmin。傳感器i的感應(yīng)電壓測(cè)量特性方程可表達(dá)為：

式中：ki、ti、mi、ni、qi—傳感器測(cè)量特性參數(shù)（可通過(guò)傳感器標(biāo)定方法獲得，由傳感器廠(chǎng)商提供）；rmax—測(cè)量球心偏離傳感器軸線(xiàn)距離ri-j的最大允許值（理想情況下球心P點(diǎn)應(yīng)與原點(diǎn)O重合，但一般情況下球心P（xj，yj，zj）與傳感器i軸線(xiàn)存在微量偏離ri-j）。

3 非接觸式R-test 測(cè)量?jī)x的球心坐標(biāo)計(jì)算模型

根據(jù)測(cè)量球球心到感應(yīng)平面距離計(jì)算方程、感應(yīng)平面方程以及球心與感應(yīng)平面圓心的幾何位置關(guān)系，如圖1、圖2 所示。可以構(gòu)建如下球心坐標(biāo)計(jì)算方程組：

式中：ai、bi、ci和di—第i個(gè)傳感器感應(yīng)平面方程系數(shù)，（xEi，yEi，zEi）—感應(yīng)平面圓心點(diǎn)PEi的坐標(biāo)。通過(guò)聯(lián)立求解方程組（1）和（2），可以得到球心點(diǎn)P（xj，yj，zj）的坐標(biāo)。

但由于方程組（1）和（2）的求解過(guò)程中，測(cè)量?jī)x的結(jié)構(gòu)參數(shù)、感應(yīng)電壓和傳感器系數(shù)等均為近似值，常規(guī)的方程組求解方法可能無(wú)法得到較為準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果，或者計(jì)算結(jié)果可能有多個(gè)解。為了保證求解結(jié)果的精確性，將方程組求解轉(zhuǎn)化為最優(yōu)值求解問(wèn)題。由于差分進(jìn)化算法[10]相比傳統(tǒng)的優(yōu)化算法能在保證計(jì)算精度的同時(shí)具有計(jì)算時(shí)間少，魯棒性高的特點(diǎn)，故采用差分進(jìn)化算法求解最優(yōu)值。根據(jù)方程組（1）和（2）可以構(gòu)建如下非線(xiàn)性方程組：

其中，ri-j可轉(zhuǎn)化為關(guān)于Ui-j、Li-j的表達(dá)式如下，Li-j可用xj，yj，zj表達(dá)：

顯然，若方程組（3）有解，則目標(biāo)函數(shù)（5）的最小值為零。在算法中，目標(biāo)函數(shù)（5）的值越接近于零，那么對(duì)應(yīng)的方程組（5）的解越精確。采用的差分進(jìn)化算法參數(shù)設(shè)定，如表1 所示。

表1 差分進(jìn)化算法參數(shù)設(shè)定Tab.1 Differential Evolution Algorithm Parameter Setting

4 應(yīng)用及驗(yàn)證

為了進(jìn)行非接觸式R-test 測(cè)量?jī)x的球心坐標(biāo)計(jì)算方法的應(yīng)用和驗(yàn)證，開(kāi)發(fā)研制了一套測(cè)量?jī)x樣機(jī)。傳感器為Kaman 公司的KD-2306（量程為6mm），測(cè)量球直徑30mm，測(cè)量?jī)x的結(jié)構(gòu)參數(shù)中，傳感器仰角（傳感器軸線(xiàn)與基準(zhǔn)面的夾角）為33.69°，傳感器中心間距（Z軸到感應(yīng)平面圓心的距離）為15mm，測(cè)量坐標(biāo)系原點(diǎn)距離感應(yīng)平面的距離為18.028mm。選擇在GF Mikron UCP800五軸機(jī)床上進(jìn)行了一系列對(duì)比驗(yàn)證試驗(yàn)（直線(xiàn)軸精度在0.5μm/500mm 以?xún)?nèi)），測(cè)量球通過(guò)專(zhuān)用刀柄連接在機(jī)床主軸上，儀器固定在機(jī)床工作臺(tái)上，如圖3 所示。

圖3 非接觸式R-test 測(cè)量?jī)x實(shí)物圖Fig.3 Non-Contact R-test Measuring Instrument Physical Diagram

傳感器的主要參數(shù)為rmax=1.5mm，RECS=7mm，δ=6mm，lmin=0.2mm。感應(yīng)電壓測(cè)量特性曲線(xiàn)方程如下：

在確定測(cè)量坐標(biāo)系后，測(cè)量?jī)x的感應(yīng)平面系數(shù)及圓心坐標(biāo)，如表2、表3 所示（可通過(guò)傳感器感應(yīng)平面的標(biāo)定獲得）。

表2 傳感器感應(yīng)平面方程系數(shù)Tab.2 Sensor Sensing Plane Equation Coefficient

表3 傳感器感應(yīng)平面圓心坐標(biāo)（單位：mm）Tab.3 Sensor Sensing Plane Center Coordinates（unit：mm）

通過(guò)控制機(jī)床平動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)，在測(cè)量?jī)x的測(cè)量空間內(nèi)移動(dòng)測(cè)量球球心到3 個(gè)任意不同的驗(yàn)證點(diǎn)位置（j=1，2，3），各傳感器感應(yīng)電壓，如表4 所示。測(cè)量球球心位置的實(shí)際坐標(biāo)和計(jì)算坐標(biāo)，如表5 所示。在1.5mm 的測(cè)量行程（允許測(cè)量球移動(dòng)的最大位移）內(nèi)，最大坐標(biāo)誤差為0.39μm/1.5mm。與IBS 等廠(chǎng)家生產(chǎn)的接觸式R-test 測(cè)量?jī)x 1.5μm/3.5mm 的測(cè)量精度相比，0.39μm/1.5mm 完全能滿(mǎn)足測(cè)量?jī)x的測(cè)量精度要求。

表4 球心在驗(yàn)證點(diǎn)位置的各傳感器感應(yīng)電壓（單位：V）Tab.4 Inductive Voltage of Each Sensor at the Position of the Verification Point（unit：V）

表5 球心驗(yàn)證點(diǎn)的計(jì)算坐標(biāo)與實(shí)際坐標(biāo)對(duì)比Tab.5 Comparison of the Calculated Coordinates of the Spherical Center Verification Point with the Actual Coordinates

5 結(jié)論

（1）根據(jù)非接觸式R-test 測(cè)量?jī)x的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立了測(cè)量?jī)x的結(jié)構(gòu)模型并分析了傳感器的測(cè)量計(jì)算原理；（2）提出了非接觸式R-test 測(cè)量?jī)x的測(cè)量球球心坐標(biāo)計(jì)算方法，并分析了差分進(jìn)化算法最優(yōu)值求解模型；（3）對(duì)測(cè)量球球心坐標(biāo)計(jì)算方法進(jìn)行了應(yīng)用試驗(yàn)，并進(jìn)行了計(jì)算精度的對(duì)比，結(jié)果表明所提出的球心坐標(biāo)計(jì)算方法完全滿(mǎn)足非接觸式R-test 測(cè)量?jī)x的測(cè)量精度要求。