基于可靠性穩健優化設計材料選擇

王發展，呂勤良，鄭建校

（西安建筑科技大學機電工程學院，陜西 西安 710055）

1 引言

隨著工業化技術的不斷革新，大量新型材料不斷涌現，它們具有的優質屬性越來越多，對新材料的合理設計和利用顯得至關重要。材料選擇是零件設計的首要任務，同時也是開發新型零件的必要前提。因此通用簡便、有效的材料選擇方法是機械行業在經濟結構轉型升級中的重點和關鍵[1]。

傳統的材料選擇主要由設計人員依靠自身經驗和查閱大量的資料進行選擇，這種方式存在認知局限性、材料多樣性等其它問題。對此，國內外學者也做有相關研究，文獻[2]使用拓撲優化來設計透射的單層周期性變換表面的材料選擇；文獻[3]提出了灰色模糊邏輯方法在材料選擇中的應用；文獻[4]利用模糊數學和神經網絡的方法對刀具材料選擇進行了研究；文獻[5]研究了低溫支撐結構的材料選擇。此外，還有學者對多材料選材做了研究比如采用質量功能部署法、層次分析法和模糊折衷決策等方法探討了汽車車身多材料的部署[6-8]；以及針對不同材料，如磁性磨料、碳纖維復合材料等，總結并提出了回收再利用的主要方法，包括物理法、化學法和能量回收法[9-10]。然而當前的大多數研究都表現有理論性較強，實用性和通用性不夠。并且對于機械零部件的設計而言，零件在實際工作中的可靠性[11-13]、穩健性[14]、輕量化才是設計者的首要關注點。因此，提出一種以可靠性穩健優化設計為設計基準的材料選擇方法是很有必要的。

本方法綜合考慮了零件的設計尺寸，材料屬性，極限受力狀態等問題，建立了系統的優化數學模型，在保證可靠性一定的情況下，實現結構尺寸的優化，且提高穩健性。隨后對不同備選材料設計結果進行分析比較，選出最佳設計材料。

2 可靠性與靈敏度分析

由可靠性設計的攝動法和四階矩[15]法可知，當已知隨機變量的前兩階矩，且隨機變量服從正態分布時，利用概率統計中求矩的方法可求得隨機變量的三、四階中心矩。

隨機變量X=（X1，X2，…，Xn）T的r階中心距定義，如式（1）所示。

而在實際設計過程中，往往很難確定隨機變量的概率分布，對于非正態分布的情況，就需要通過變換，將非正態的變量轉換為正態變量進行處理。另一方面，在無法確定設計變量分布類型的情況下，若能確定設計變量的前四階矩，也可以使用標準化技術及相應的經驗修正公式等近似算法，從而得到設計結構的可靠度。

功能函數Z=g（x）通過標準化技術，如式（2）所示。

得到標準正態隨機變量，如式（3）所示。

因此，基于四階矩與高階矩標準化技術的可靠性指標β4M，如式（4）所示。

可以獲得可靠度的估計量，如式（5）所示。

式中：φ（）—標準正態空間的累積分布函數。

在可靠性分析的基礎上，求可靠度對隨機變量的均值和方差的一階導和DRFM/DVar（X），得到各隨機變量對可靠度的靈敏度，根據靈敏度大小，將設計變量分為主變量和次變量，主變量Y即為優化設計中的約束變量。

3 可靠性穩健優化設計

可靠性穩健優化設計是在可靠性設計的基礎上實現零件結構的穩健性和輕量化設計。數學模型[16]表示，如式（6）所示。

式中：Y—優化設計變量，即為靈敏度分析中得到的對可靠性影響較顯著的變量；f（Y）—優化設計的目標函數；ωi—各單獨目標函數fi（Y）的權重系數，如式（7）所示；RS—穩健優化設計的可靠度；R0—目標可靠度；YLB、YUB—設計變量的下限和上限；qi（Y）、hi（Y）—不等式和等式約束。

式中：Y*k—第k個目標函數的最優設計點。

4 數值算例

4.1 建立力學模型

某種履帶式車輛的主動輪[17]，若已知主動輪危險截面處的直徑為D1，螺栓孔徑為D0，主動輪齒輪厚度為h，主動輪受外界載荷為P，三維模型，如圖1 所示。

圖1 主動輪三維模型Fig.1 Driving Wheel 3D Model

則由懸臂梁結構模型可以求得在直徑D1上，則危險截面處的切應力τ 為：

得到極限狀態函數g（Y）為：

式中：r—主動輪材料的強度極限值。

各變量的均值和方差文獻[17]中已給出，另外，計算出三、四階中心矩，數值如表1 所示。

表1 變量的前四階矩Tab.1 The First Four Moments of the Variables

4.2 建立可靠性穩健優化模型

（1）建立目標函數：①要求主動輪的可靠度對設計變量Y=（h，D0，D1）T均值的靈敏度平方和再開方的值為最小f1（Y）；②要求主動輪的質量最小，轉變為體積V最小即可，這里使用簡化計算來表示齒輪體積。f1（Y）和f2（Y）兩者表達式分別為：

所以目標函數為：

（2）建立約束條件

R-R0≥0

40≤h≤60

1100≤D0≤1300

900≤D1≤1100

（3）利用MATLAB 優化函數fmincon 實現對有約束非線性多元變量的優化求解，設定R0=0.9999，選取初值Y0=［1200，1000，50］T，此時F有最小值為 1.9007e+07（優化前為 2.8274e+07）數值明顯減小，部分Matlab 代碼如下：

采用同樣的方法，對極限強度值分別為120MPa、150MPa、160MPa 的材料進行穩健優化設計，得到優化后的尺寸，和目標函數值等信息，如表2 所示。

表2 優化前后各變量和函數值數據Tab.2 Before and After Optimization of Variables and Function Value Data

優化前后結構的體積和目標函數值對比圖，如圖2 所示。從表2 優化前后的結果對比中可以很容易的看出，在保證可靠度為0.9999 的基礎上，各設計尺寸都得到了優化，使零件結構的體積減少了（10～30）%，實現了結構的輕量化設計；另外，目標函數中去除體積的減小因素，其余的為靈敏度的減小所致，這使得結構的穩健性得到改善。

圖2 優化前后結構的體積和目標函數值對比Fig.2 Optimization of the Structure Before and After the Volume and Objective Function Value Comparison

在零件用材方面往往是根據經驗慣例，選擇試用新材料、新結構的往往不多，對于本研究的履帶式主動輪結構，實際中通常采用的是135MPa 的材料，如果采用強度更高的150MPa 或160MPa 的新型材料時，零件的結構可以實現更大的輕量化，且可靠性和穩健性也得到了增強。另外，從經濟性角度對材料的選擇提供參考，利用（優化后體積*材料單價=材料總價）這一方法，對選擇不同材料的經濟成本進行預算。

5 結論

（1）提出了一種結合可靠性分析和穩健優化設計的綜合選材方法，將預選材料的強度作為選材設計變量，以穩健優化設計為選材原則，實現了結構的輕量化和穩健性的提升。（2）利用MATLAB 優化工具箱提供的fmincon 函數對建立的非線性多元變量可靠性穩健優化模型進行求解，得到不同強度設計值的優化數據，結果顯示在保證可靠度為0.9999 的基礎上，零件結構的體積得到了明顯的減少，且結構的穩健性也得到改善。