齒輪系統動力學模型內部激勵參數的優化設置研究

萬志國，竇益華，張明泉，李鎖斌

（1.西安石油大學機械工程學院，陜西 西安 710065；2.西安交通大學機械工程學院，陜西 西安 710049）

1 引言

齒輪傳動系統作為一種動力傳遞裝置被廣泛應用于航天航空、冶金、化工、交通運輸等各個領域中，并發揮著至關重要不可替代的作用。近年來，國內外學者對齒輪系統的振動、噪聲及其動力穩定性開展了大量深入的研究。文獻[1]利用ADAMS 對齒輪傳動系統進行動力學仿真，研究沖擊載荷對齒輪嚙合力及其頻域特性的影響。文獻[2]采用集中參數法建立了圓柱齒輪傳動系統平移－扭轉耦合動力學模型，分析了其振動特性。文獻[3]建立了考慮周期時變剛度、齒側間隙等因素的單自由度直齒輪副系統動力學模型，研究了齒輪系統非線性動力學特性。文獻[4]考慮齒輪嚙合過程的時變嚙合剛度、誤差激勵等非線性因素，建立考慮單、雙嚙合變化的直齒輪動力學模型。文獻[5]建立了全齒齒側間隙變化的齒輪傳動系統非線性動力學模型，探討了不同齒側間隙參數條件下齒輪傳動系統吸引子的變化。文獻[6]建立齒輪副扭轉振動的參數化動力學模型，對裂紋故障的非線性動力學機理進行研究。文獻[7]提出一種考慮齒根圓與基圓不重合時的嚙合剛度修正方法，建立齒根裂紋動力學模型并進行其振動響應精確求解。文獻[8]建立了采煤機截割部齒輪傳動系統的非線性動力學模型，研究了嚙合剛度、阻尼比及激振頻率對齒輪系統動態特性的影響。文獻[9]建立了齒輪故障程度的非線性動力學模型，研究齒輪不同故障程度時的非線性振動機理。文獻[10]建立了齒輪副系統的動力學模型，研究含不同修形量和修形長度齒輪的動態行為。文獻[11]建立了齒輪轉子系統動力學模型，研究不同轉速下的最佳修形曲線。文獻[12]綜合考慮齒輪時變嚙合剛度及齒輪誤差等內部激勵的影響，分析了幾何參數對齒輪嚙合的振動噪聲的影響。文獻[13]研究了時變嚙合剛度對齒輪傳動系統扭轉特性的影響。文獻[14-15]建立了6 自由度的齒輪系統動力學模型，基于時頻分析技術分析了裂紋尺寸與系統固有頻率之間的映射關系。時變嚙合剛度與齒側間隙等激勵源對系統響應產生重要影響。為求解方便，上述研究中通常將時變嚙合剛度采用矩形波近似或展開為傅里葉級數，但對沒有研究近似簡化對齒輪系統動態特性的影響；對于齒側間隙的研究一部分予以忽略，一部分則采用分段線性函數描述，而對于在什么工況下可以不考慮齒側間隙，什么工況下必須考慮齒側間隙還缺少相關方面的研究。因此，為保證故障齒輪傳動系統建模參數設置的合理性，有必要研究有關參數對齒輪傳動系統動態特性的影響，一方面揭示齒輪傳動系統的動力學特性，另一方面為齒輪傳動系統動力學精確模型參數的合理簡化與設置提供理論依據。

2 齒輪系統動非線性動力學模型

近幾十年來，隨著齒輪系統動力學的發展，國內外學者針對不同的齒輪動力學問題，提出了諸多不同的動力學模型。而對齒輪傳動系統動力學特性的定性分析一般采用簡化的齒輪副扭轉系統模型?？紤]時變嚙合剛度、嚙合阻尼、齒輪傳動誤差等因素，齒輪副扭轉振動系統動力學模型，如圖1 所示。其動力學方程可表示為：

式中：I1、I2—主、從動輪的轉動慣量；θ1、θ2—主、從動輪的扭轉振動位移；et—嚙合輪齒的幾何傳遞誤差；T1、T2—作用于主、從動輪的外力力矩；R1、R2—主、從動輪的基圓半徑；km（t）、cm—齒輪副的嚙合剛度與嚙合阻尼。

定義嚙合線上的兩齒輪的相對位移x為：

從而式（1）與式（2）可以簡化為：

圖1 齒輪副系統動力學模型Fig.1 Dynamic Model of Gear Pair System

3 齒輪系統的非線性動態特性

3.1 時變嚙合剛度對系統幅頻特性的影響

選取阻尼比為ξ=0.05，力f=1，內部激勵幅值fe=0.1，時變系統與非時變系統的幅頻響應曲線，如圖2 所示。由圖可以看出，剛度的時變特性使系統響應幅值明顯增加；在ω=1 時，時變剛度與時不變剛度模型都會發生系統的共振響應，而在ω 為0.25、0.33、0.5 時，即激勵頻率為派生系統的固有頻率的真分數倍時，時變剛度模型還引起了系統的超諧波共振，可見嚙合剛度時變性對系統產生重要影響，在齒輪出傳動系統動力學建模時，必須加以考慮。

圖2 時變剛度對齒輪系統幅頻響應曲線的影響Fig.2 Influence of Time-Varying Meshing Stiffness on Amplitude Frequency Response

3.2 時變嚙合剛度傅里葉展開級數對系統響應的影響

由于齒輪的單雙齒交替嚙合，直齒圓柱齒輪的時變嚙合剛度近似矩形波，如圖3 所示。

圖3 不同階次嚙合剛度的傅里葉級數展開Fig.3 Fourier Series Expansion of Time-Varying Meshing Stiffness

為了研究的方便，通常采用矩形波近似或采用傅里葉級數對其進行展開，但對展開級數無統一標準，將分析傅里葉級數展開階數對系統動態響應的影響，為齒輪傳動系統模型參數的合理設置提供理論依據。

在ω=0.2 時，采用不同階次的傅里葉級數展開時變嚙合剛度后，得到的系統的時域響應，如圖4 所示。由圖4 可知，隨著展開階次的增加，時域響應中高階諧波分量逐漸增加，并由簡單的諧波響應波形逐漸變化為沖擊振動響應波形。顯然，直齒輪在低速運行狀態下，由于單雙齒交替嚙合而導致的沖擊振動響應更加符合齒輪傳動系統的嚙合原理。

圖4 ω＝0.2 時不同階次傅里葉展開時域響應Fig.4 The Time Domain Response Under Different Order Fourier Expansion When ω＝0.2

當ω=0.8 時，采用不同階次的傅里葉級數展開時變嚙合剛度后，得到的系統時域響應，如圖5 所示。

圖5 ω＝0.8 時不同階次傅里葉展開時域響應Fig.5 Time Domain Response Under Different Order Fourier Expansion When ω＝0.8

當ω=0.8 時，在不同的展開階次下，時域波形幾乎一致，展開階次對于系統響應的響應并不明顯。通過對比分析圖4 及圖5?？傻贸鋈缦陆Y論：齒輪在低速運行工況下，系統的響應對時變嚙合剛度傅里葉展開階次更加敏感。因此，在低速工況下分析齒輪傳統系統的動態響應時，為了使分析結果更加精確，不適宜對時變嚙合剛度做過度地簡化。

下面從另一個角度觀察時變嚙合剛度頻率對振動響應的影響。由圖4（d）可知，當ω=0.2 時，系統響應中包含有比較明顯的沖擊振動響應；而由圖5（d）可知，當ω=0.8 時，系統響應主要為諧波響應。同一系統在不同的激勵頻率作用下產生了兩種完全不同的響應波形，說明系統響應對嚙合剛度激勵頻率比較敏感，在不同的運行速度下可能產生完全不同的振動。造成這種現象的主要原因是：系統在低速運行狀態下，從一對齒參與嚙合到下一對齒參與嚙合的時間間隔較長，由輪齒單雙齒交替嚙合而產生的振動沖擊有充分的時間響應，系統的振動主要為自由振動與強迫振動響應的疊加，因此時域信號表現為有規律的振動沖擊響應，頻域表現為嚙合頻率及其各次諧波。當系統在較高速狀態下運行時，從一對齒參與嚙合到下一對齒參與嚙合的時間間隔較短，由單雙齒交替嚙合而引起的振動沖擊響應相互疊加耦合，系統響應主要表現為強迫振動響應，因此時域信號中主要表現為諧波響應。

3.3 齒側間隙對系統動態特性的影響

由于齒輪的制造、加工、安裝等誤差，齒輪使用過程的磨損以及齒輪潤滑的需要，在齒輪嚙合過程中不可避免的會存在齒側間隙。對于齒側間隙的研究，通常采用分段線性系統的理論模型來研究齒側間隙引起的齒輪傳動系統的非線性特性。

齒側間隙函數可表示為3 個分段線性函數，如果令齒側間隙為2b，則齒側間隙函數f（x）可表示為：

考慮齒側間隙，重寫系統的動力學方程：

圖6 齒輪副系統的幅頻響應曲線Fig.6 The Amplitude Frequency Response of Gear System

另外，通過對比圖6 可以發現，齒側間隙對系統動態響應的影響主要體現在ω＞0.6 幅頻響應曲線的高頻段。為了更清晰的闡述這種現象，將低速（ω＝0.2）與高速（ω＝0.7）狀態下，不考慮齒側間隙時系統響應分別示于圖7（a）與圖（a）中，考慮齒側間隙時系統響應分別示于圖 7（b）與圖 8（b）中。對比圖 7（a）與圖（b）可知，在低速運行狀態下，齒輪系統的響應完全相同。而圖對比圖8（a）與圖8（b）可知，在高速運行狀態下，齒輪系統的響應完全不相同。圖8（a）所示的振動響應極大值與極小值均大于1，說明系統一直處于無沖擊狀態（輪齒一側始終處于嚙合狀態）。圖8（b）所示的振動響應極大值大于1 與極小值小于-1，說明系統處于雙邊沖擊狀態（輪齒兩側嚙合，存在脫齒現象）。以上對比表明在一定載荷作用下低速運行的齒輪系統，輪齒始終處于接觸狀態，無脫齒現象，齒側間隙不會影響系統的動態特性。因此，為了方程便于求解，對于在一定載荷下低速運行的齒輪，建模時可以不考慮齒側間隙的影，從而簡化模型，提高計算效率；而在較高速運行狀態下，齒側間隙對系統影響較大，為了求解精確，必須考慮齒側間隙。

圖7 ω=0.2 時的系統響應Fig.7 The Time Domain Response When ω=0.2

圖8 ω=0.8 時的系統響應Fig.8 The Time Domain Response When ω=0.8

4 結論

利用集中參數模型定性研究了齒輪傳動系統的主要動力學特性，分析了齒輪傳動系統的振動響應特征，為齒輪傳動系統動力學模型參數的合理設置提供了理論指導，上述研究取得結論如下：

（1）在時變嚙合剛度方面。嚙合剛度的時變特性使齒輪傳動系統率屬于參數振動系統的范疇，使系統表現出強烈的1/2、1/3、1/4 超諧共振現象；隨著時變嚙合剛度激勵頻率的增加，齒輪傳動系統的時域響應中的自由振動響應逐漸變弱，強迫振動響應逐漸變強。

（2）在齒側間隙方面。齒側間隙導致輪齒接觸狀態發生變化，容易出現脫齒現象，從而使齒輪傳動系統的幅頻響應曲線表現多值、幅值跳躍等強烈的非線性動力學特性。

（3）在建模參數的合理簡化與選擇方面。在低速工況下分析齒輪傳統系統的動態響應時，不適宜對時變嚙合剛度做過度地簡化，過度簡化將扼殺由單雙齒交替嚙合而產生的振動沖擊響應，與齒輪嚙合的原理不符。齒側間隙對系統動態響應的影響主要體現在幅頻響應的較高頻段。為了方程便于求解，提高方程求解效率，對于在一定載荷下低速運行的齒輪，可不考慮齒側間隙；而在較高速運行狀態下，齒側間隙對系統影響較大，為了求解精確，必須考慮齒側間隙。