橡膠-簾線增強復合材料的本構模型及數值模擬

孫書蕾，陳文國

（1.貴州理工學院機械工程學院，貴州 貴陽 550003；2.曲靖師范學院信息工程學院，云南 曲靖 655011）

1 引言

橡膠-簾線復合材料在輪胎中有著廣泛的應用。橡膠-簾線復合材料既有橡膠材料的特性，也有簾線的加強效果：橡膠是一種典型的超彈性材料，在簾線方向承擔大的拉伸載荷。在輪胎的數值模擬中涉及到橡膠-簾線的分布以及材料體積的分配比例等，同時因為橡膠材料是典型的非線性材料以及接觸非線性等多重非線性耦合分析，進行有限元的數值分析[1]相對比較困難，因此建立合理有效的橡膠-簾線等效本構模型尤為重要。研究表明，簡單的按現有的復合材料層合板理論得到的結果與真實力學性能有很大差距。

文獻[2]運用基于連續介質力學的方法，建立單位體積應變能本構模型，對一族纖維增強的橡膠簾線復合材料進行了數值模擬。文獻[3]對橡膠-簾線復合材料單層板拉伸楊氏模量的預測方法進行了研究。文獻[4]提出了一種建模方法。文獻[5]對簾線斷裂時的橡膠-簾線復合材料溫度場數值模擬。文獻[6]對超彈性基體中含有加強層的復合材料做了研究，通過均質化方法、在第三方向用解析的方法得到材料的等效力學性能。文獻[7-8]把超彈性基體-纖維增強復合材料簡化為橫觀各向同性的超彈性材料，運用數值模擬進行了分析，但是只是針對一族簾線加強的情況。

文獻[9-12]運用基于連續介質力學的方法，提出一種新的非線性復合材料的本構模型，把人體椎間盤纖維環單位體積能量函數分為基質、纖維和基質兩者的交互作用三部分，并通過分步實驗確定本構模型的參數，實驗和數值仿真的數據符合的很好。將這種方法應用到橡膠-簾線復合材料的數值模擬當中，通過引入簾線角度方向的結構張量從而把單位體積的應變能分解為便于識別的體積變形、等容變形和各向異性偏量變形三部分，從而建立了橡膠-簾線復合材料的一種新的超彈性本構模型，如圖1 所示。并提出了識別其中材料參數的分步數值實驗方案。進而通過數值算例，預測了簾線在不同排列方向條件下的力學性能。

圖 1 輪胎簾線結構示意圖Fig.1 Sketch Map of Tyre Cord Structure

2 橡膠-簾線本構模型

2.1 各向異性超彈性纖維增強本構模復合材料型

根據文獻[13]的各向異性纖維增強復合材料的理論，單位體積的Helmholtz 應變能量函數依賴于變形梯度和纖維方向：

式中：C—右柯西-格林變形張量；A0=a0?a0—結構張量；a0—纖維初始方向的單位向量。

單位體積的Helmholtz 應變能量函數也可以寫成關于C和a0的不變量的形式：

前三個不變量是各向同性的基質材料的貢獻，后兩個不變量與纖維材料的貢獻相關。對于兩族纖維的材料，如圖1 所示。應變能的形式為：

式中：B0=b0?b0—關于纖維方向b0的結構張量。寫成不變量的形式為：

變形梯度F可以分解為等容變形和體積變形，因此可以把應變能量函數分解為以下三個部分：

其中，α＝4，5 和 α0相關，α＝6，7 和b0相關，α=8 與兩族纖維的方向相關。Wvol，Wiso，Wani分別代表體積變形，各向同性變形和各向異性變形。J是變形體積比為相應的修改的不變量：

為了便于參數擬合，根據文獻[9]的分析，也可以把應變能分解為：

其中，WM想當于式中的相當于式中的

2.2 本構模型在輪胎中的應用

輪胎中有兩族簾線，角度分別為30°、150°，如圖1 所示。基質橡膠通常被看作是一種超彈性材料，在這里，采用比較典型的近似不可壓縮的Mooney-Rivlin 模型：

纖維部分貢獻的能量與兩族簾線的角度相關，如圖1 所示。

為方便起見，對于式中的Wani部分也即式中的WF+WFM部分，采用下面的簡化形式：

本構方程確定以后，對應變能函數根據鏈導法則對右柯西-格林變量C求導數，就可以得到二階Piola-Kirchhoff 應力張量：

對于近似不可壓縮材料：

把帶到可以得到：

對于所提出的單位體積的應變能量函數，可以推導出總的柯西應力表達式為：

式中：b=FFT—左柯西-格林張量—矩陣的跡；dev（·）=（·）-（1/3）［（·）：I］I，I—單位矩陣。

下面給出本構模型中參數的確定方案：

（1）擬合純橡膠材料參數C10和C01。

（2）確定與體積模量有關的材料參數D。

（3）得到基質材料的參數以后，擬合沿簾線方向的單軸拉伸實驗數據，得到C3和C4。

3 本構模型的參數擬合

3.1 橡膠部分的材料參數

運用三維數字散斑動態應變測量分析系統對純橡膠部分進行單軸拉伸，如圖2 所示。再運用ABAQUS 超彈性部分自帶的數據擬合模塊[14-15]，可以得到Mooney-Rivlin 的兩個參數分別為：

C10=-0.048（MPa），C01=1.04（MPa）

圖2 橡膠的單軸拉伸實驗Fig.2 Uniaxial Tensile Test of Rubber

擬合曲線和實驗結果對比，如圖3 所示。

圖3 橡膠單軸拉伸應力應變曲線圖Fig.3 Stress-strain Curve of Rubber Under Uniaxial Tension

3.2 確定關于體積模量的材料參數D

設定橡膠的泊松比υ 為0.49，根據下式計算D[15]：

式中：μ0—初始剪切模量；

K—初始體積模量。

可以得到：

D=0.0198（MPa）-1

3.3 簾線部分的參數

得到橡膠材料部分的參數以后，通過擬合沿簾線方向的單軸拉伸實驗數據[17]得到C3和C4，C3=C4=5997（MPa）。

擬合曲線與實驗結果，如圖4 所示。

圖4 沿簾線方向單軸拉伸應力應變曲線圖Fig.4 Curves of Uniaxial Tensile Stress-strain Curves along the Line of the Tire

4 數值算例分析

結合前面參數擬合得到的各項應變能的參數最終得到總的應變能表達式，再利用公式、就可以分別得到應力的表達式，在COSMOL 編制相應的自定義方程，模擬橡膠復合材料的單軸拉伸，如圖5 所示。

圖5 數值算例幾何模型示意圖Fig.5 Sketch Map of Geometric Model of Numerical Example

兩族簾線對稱布置，不同角度時的單軸拉伸得到的應力-應變曲線圖，如圖6 所示。

圖6 簾線不同方向時的應力-應變曲線圖Fig.6 Stress Strain Curve in Different Directions of Cord

從圖6 中可以看出，不同的簾線角度時，對材料的力學性能影響很大。30°對稱布置時得到的工程應力明顯比60°對稱布置時要高很多，并且隨著應變的增大，兩者之間的差距越來越大。而介于兩者之間45°排列得到的工程應力則遠遠低于其他度角對稱排列的到的結果，由此可見隨著簾線角度的增大，材料強度隨簾線角度的增加而減小，而在45°以后，則隨簾線角度的增加而增加。這是由于橡膠材料的非線性本構關系，使得在不同簾線角度下，纖維和基體承擔載荷的比例在發生變化，在簾線角度較小的情況下，載荷主要由簾線承受，簾線的承載能力明顯高于基體。而在45°后，基體承載逐漸增強，所以應力值增加。對于這里的本構來說，45°是個轉折點。這與文獻[17]得到的結論是一致的。

5 結論

通過前面得到的本構方程和參數編制COMSOL 用戶自定義方程，最后對不同簾線角度方向的輪胎材料進行單軸拉伸的數值模擬，結果表明不同的簾線角度時，對材料的力學性能影響很大，隨著簾線角度的增大，材料強度隨簾線角度的增加而減小，而在45°以后，則隨簾線角度的增加而增加。

本構模型只用到了不變量I4和I6，并沒有考慮到簾線和基質的相互作用，所以得到的結果不夠精準，只能預測趨勢。下一步的工作是將簾線和基質相互作用的的因素考慮進來，以更精確地預測橡膠-簾線材料的力學行為。