電磁-碰撞復(fù)合阻尼振動系統(tǒng)建模與實驗研究

胡 溧，黃顯鋒，楊啟梁，崔玉定

（武漢科技大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院，湖北 武漢 430081）

1 引言

現(xiàn)代科技往往要求結(jié)構(gòu)或者部件在使用過程中平穩(wěn)運行，必須設(shè)法隔離、抑制有害振動的影響。振動控制中的被動控制不需要依靠外界能量的輸入，通過隔振、吸振和耗能裝置等吸收能量，降低結(jié)構(gòu)本身需要吸收的能量，達(dá)到減振的目的。它具有構(gòu)造簡單、造價低廉、易于維護(hù)、穩(wěn)定性高及高頻振動抑制效果好等諸多優(yōu)點，目前是最為廣泛應(yīng)用的振動控制手段[1-3]。碰撞阻尼器是比較常見的被動減振器。國外最早給減振器引入碰撞限位的概念來抑制結(jié)構(gòu)的振動[4-5]，如機械渦輪葉片，高速鐵軌橋和機械手等，已運用解析法、數(shù)值方法和試驗等方法研究了許多年[6]。

電渦流阻尼器是一種新型的利用電磁感應(yīng)原理產(chǎn)生阻尼的器件，具有非接觸、無機械摩擦和磨損、無需潤滑、壽命長等優(yōu)點[7]。采用永磁體時無需電源，結(jié)構(gòu)簡單可靠，耐久性好。提出了一種新型電磁-碰撞復(fù)合阻尼減振方法，將碰撞阻尼在系統(tǒng)階段性運動結(jié)束時的耗能與電磁阻尼在系統(tǒng)階段性運動過程中的耗能結(jié)合，形成的阻尼具有全過程耗能的特點，可以顯著的增大原阻尼耗能效率[8]。

2 理論分析及建模

新型電磁-碰撞復(fù)合阻尼系統(tǒng)簡化模型，如圖1 所示。導(dǎo)電不導(dǎo)磁的圓柱自由質(zhì)量在限位槽的中間，將彈簧與限位擋板視為彈簧振子系統(tǒng)，彈簧振子系統(tǒng)通過和自由質(zhì)量的碰撞消耗能量。永磁鐵在自由質(zhì)量下方且距離自由質(zhì)量較近，可將自由質(zhì)量水平運動范圍處的磁場視為勻強磁場，給變速運動的銅柱體施加電磁阻尼作用。設(shè)限位槽長為u，彈簧振子質(zhì)量系統(tǒng)為M，圓柱自由質(zhì)量的質(zhì)量為m，半徑為r，彈簧振子系統(tǒng)剛度為k。計算時忽略彈簧振子系統(tǒng)自身的阻尼，即系統(tǒng)無碰撞時的自由振動為簡諧振動，彈簧振子系統(tǒng)每次碰撞后的固有頻率ω 不變，忽略空氣阻尼的影響。

圖1 電磁-碰撞復(fù)合阻尼系統(tǒng)簡化模型Fig.1 Electromagnetic-Collision Hybrid Damping System Simplified Model

2.1 碰撞阻尼系統(tǒng)振動模型

設(shè)向左方向為正，自由質(zhì)量在限位槽間的滾動摩擦系數(shù)為μ，給彈簧振子向左的初始振幅為d，松手后彈簧振子運動恰好與自由質(zhì)量發(fā)生碰撞。則彈簧振子在碰撞前位移為設(shè)碰撞前速度v，碰撞后為v，自由質(zhì)量碰撞前后速202度分別為v10，v1，彈簧振子第一次碰前位移為s0。

第一次碰撞前（t：0-t0）。

第一次碰撞前彈簧振子運動方程為：

代入A0、s0、ω 的數(shù)值可以求出t0的值。

第一次碰撞后第二次碰撞前（t：t0-t1）。

第一次剛好碰撞前即t0時刻自由質(zhì)量速度v10為0，t0代入（1）式求導(dǎo)即彈簧振子運動速度：

根據(jù)沖量-動量定理并應(yīng)用Poisson 碰撞定律[9]，可得碰撞關(guān)系：

式中：e1—恢復(fù)系數(shù)，可求出碰撞后自由質(zhì)量速度v1和彈簧振子的速度v2分別為：

第一次碰撞后第二次碰撞前彈簧振子的運動位移方程為：

根據(jù)碰撞時位移不會突變得：

可以計算出初始相位φ1。而振幅A1可以根據(jù)動能完全轉(zhuǎn)化為彈性勢能計算出：

則第二次碰撞時即t1時刻彈簧振子位移s2為：

自由質(zhì)量位移為s1

將式（10）和式（11）代入式（12）得：

由此式可以求出下一次碰撞的時刻t1。

由前兩次碰撞推導(dǎo)的結(jié)果，假定經(jīng)過第n次碰撞后

可以計算出初始相位φn的值。

可以計算出振幅An的值。

其中，n=1，2，3，…，可以計算出下一次碰撞的時刻tn。用數(shù)學(xué)歸納法可證假設(shè)成立。

則可以求出第七次碰撞的時刻t6。綜合上述式子可得彈簧振子振動方程為：

2.2 電磁-碰撞復(fù)合阻尼系統(tǒng)振動模型

當(dāng)加入磁場之后，以后每次碰撞后到下一次碰撞前，自由質(zhì)量（銅柱體）都要經(jīng)歷摩擦作用和電磁阻尼作用，銅柱體在磁場中的阻尼系數(shù)c為：

式中：p—自由質(zhì)量電阻率；l—自由質(zhì)量的長度；s—自由質(zhì)量橫截面積；B—自由質(zhì)量處磁感應(yīng)強度。

設(shè)自由質(zhì)量初速度為v0，初始加速度大小為a方向為正，而電磁阻尼f=-cv（c為常數(shù)），滾動摩擦系數(shù)為μ，求圓柱導(dǎo)體任意時刻的速度v。根據(jù)

等式兩邊均設(shè)為e的指數(shù)，并整理，得自由質(zhì)量任意時刻的速度

繼續(xù)積分并代入上、下限得自由質(zhì)量t時刻位移

則在加磁場條件下第n+1 次碰撞時即tn時刻自由質(zhì)量位移s2n-1和速度分別為：

其中，n=1，2，3，…。

則將式（25）、式（26）代入式（16）、式（17）可得加磁場和碰撞條件下的各ω、A、φ、t的具體數(shù)值，然后將各具體數(shù)值代入式（18）即可得到加磁場后的七次碰撞彈簧振子系統(tǒng)振動方程。

3 實驗驗證及分析

3.1 實驗裝置及其測試系統(tǒng)

實驗裝置及其測試系統(tǒng)，如圖2 所示。由于銅的導(dǎo)電性好且不導(dǎo)磁，所以采用銅柱體作為自由質(zhì)量的材料，其參數(shù)為m=0.03kg，r=0.008m，l=0.018m，p=1.75×10-8Ω·m，兩鋼片平行放置且下端固定在底座上，兩鋼片彈性恢復(fù)系數(shù)k=673.17N/m，換算過程，如式（27）所示，在兩鋼片支撐的簡支梁中間固定安裝限位擋板，擋板間距u=0.034m，限位槽中間放一個長度和限位槽寬度相同的銅柱體以和左右兩側(cè)限位擋板產(chǎn)生水平方向的碰撞，其參數(shù)為M=0.191kg，e1=0.556，μ=0.2。簡支梁下方有產(chǎn)生磁場的永磁鐵，在銅柱體處B=0.9T。

由材料力學(xué)知識得截面為長方形的兩鋼片彈性恢復(fù)系數(shù)為：

式中：E—彈簧材料的彈性模量；I—鋼片截面的面積慣性力矩；H—鋼片的高度；w—鋼片的寬度；t—鋼片的厚度。

本實驗應(yīng)用的是LabVIEW 信號采集分析系統(tǒng)，使用基恩士IL-100 系列CMOS 激光位移傳感器測得鋼片的自由端的時間-位移信號。

圖2 實驗測試系統(tǒng)裝置Fig.2 Experimental Test System Device

3.2 實驗曲線與理論計算曲線對比

取10mm 作為彈簧振子的初始激勵位移，通過代入用MATLAB 編寫的振動模型計算程序，計算可得銅柱體能與限位擋板發(fā)生7 次碰撞，計算曲線，如圖3 和圖4 中實線所示。施加左邊鋼片的自由端向左10mm 的初始位移作為初始激勵進(jìn)行實驗，實驗曲線，如圖3，圖4 中虛線所示。由圖3 圖4 可知，施加碰撞阻尼和施加碰撞-磁場復(fù)合阻尼系統(tǒng)振動計算與實驗振幅衰減時程曲線在碰撞過程中吻合較好，該理論模型可應(yīng)用于后續(xù)復(fù)合阻尼振動系統(tǒng)的振動機理研究。存在一定程度誤差的原因：（1）理論計算曲線在每次發(fā)生碰撞時，曲線都會向右偏移，這是因為理論計算的每段曲線都是按照頻率一定進(jìn)行計算，而在發(fā)生碰撞后梁的位移不變速度突變，而實際振動過程中，梁碰撞后將會出現(xiàn)阻尼增大的現(xiàn)象[10]，速度沒有明顯突變；（2）前面五次碰撞時理論曲線的振幅稍微大于實驗曲線的振幅，這是由于計算時沒有考慮系統(tǒng)阻尼的影響；（3）理論計算曲線在前面五次碰撞后的振幅衰減程度大于實驗振動曲線，這是由于計算時碰撞恢復(fù)系數(shù)的選擇使得后面幾次碰撞過程中計算的系統(tǒng)能量衰減大于實驗振動曲線能量的衰減。

圖3 施加碰撞阻尼時計算與實驗振幅衰減時程曲線Fig.3 Calculating and Experimental Amplitude Time-Delay Curves for Applying Collision Damping

圖4 施加復(fù)合阻尼時計算與實驗振幅衰減時程曲線Fig.4 Calculating and Experimental Amplitude Time-Delay Curves for Applying Hybrid Damping

無碰撞、施加碰撞阻尼和施加碰撞-磁場復(fù)合阻尼實驗振幅衰減時程曲線，如圖5 所示。在梁具有相同的初始位移激勵條件下，碰撞阻尼振動系統(tǒng)的振動曲線和復(fù)合阻尼振動系統(tǒng)的振動曲線的振幅在任一時刻均小于的自由振動系統(tǒng)的曲線振幅；在發(fā)生碰撞的過程中施加磁場后的系統(tǒng)振動曲線振幅衰減速度大于碰撞系統(tǒng)振動曲線的振幅衰減速度，這說明碰撞能使系統(tǒng)消耗能量從而使振動衰減，而電磁-碰撞復(fù)合阻尼能加快系統(tǒng)的耗能從而加快系統(tǒng)振動的衰減速度。同時，由圖5 可知，碰撞和電磁-碰撞復(fù)合阻尼振動系統(tǒng)實驗振動曲線在碰撞停止后振幅越來越接近，到最后幾乎相同。這是由于碰撞停止后，兩種情況都是懸臂梁做小幅度的自由振動，而在線彈性范圍內(nèi)，對于均質(zhì)性材料（鋼材）來說，其阻尼比是隨著振動幅度的增加而線性遞增的[11]，則碰撞停止后懸臂梁振幅衰減到一定時自身阻尼非常小，兩種情況下的懸臂梁都在做近似簡諧運動的等幅度振動。

圖5 無碰撞、施加碰撞阻尼和施加碰撞-磁場復(fù)合阻尼實驗振幅衰減時程曲線Fig.5 Experimental Amplitude Time-Delay Curves With No-Collision，Applying Collision and Hybrid Damping

4 結(jié)語

將碰撞阻尼與電磁阻尼進(jìn)行結(jié)合提出了一種新型復(fù)合阻尼，同時對該復(fù)合阻尼振動系統(tǒng)進(jìn)行了理論建模研究。并以懸臂梁的振動為實驗對象，研究了系統(tǒng)分別在自由振動、碰撞阻尼和電磁-碰撞阻尼下振幅衰減規(guī)律。研究結(jié)果表明：電磁-碰撞復(fù)合阻尼減振系統(tǒng)能夠在自由質(zhì)量與彈簧振子系統(tǒng)的碰撞過程中，通過碰撞和磁場作用于自由質(zhì)量的電磁阻尼加快彈簧振子系統(tǒng)的能量耗散，從而使彈簧振子系統(tǒng)在高頻振動發(fā)生碰撞的過程中加快振幅的衰減。此外，文中理論計算曲線與實驗曲線較好的吻合，說明該理論模型是合理的，對進(jìn)一步研究電磁-碰撞復(fù)合減振系統(tǒng)的振動特性有重要參考價值。