熱荷載作用下輸流管道臨界流速解析計算方法

陳嚴飛 ，敖川，董紹華，劉昊，馬尚，夏通璟

1 中國石油大學(北京)油氣管道輸送安全國家工程實驗室/城市油氣輸配技術北京市重點實驗室，北京 102249

2 大連理工大學工業裝備結構分析國家重點實驗室，大連 116024

輸流管道系統在石油化工領域中扮演著十分重要的角色。因此，如果管道系統因為振動而失穩，將造成十分嚴重的經濟損失。因此，近年來，國內外諸多研究者對輸流管道的振動問題進行了深入詳細的分析研究，使之成為了動力學領域的經典模型。

上世紀70 年代開始輸流管道的振動分析。Pramila[1]在1991 年使用有限元(FEM)方法分析了輸流管道的振動問題。 F Tornabene[2]使用廣義微分求積法討論了輸流管道系統在懸臂邊界條件下的臨界流速，并分析了質量比對臨界流速的影響。Ni 等[3]在2011 年使用微分變換法(DTM)方法研究了典型邊界條件下輸流管道的自由振動問題。Li和Yang[4]在2014 年使用格林函數方法得到了受迫振動輸流管道的動態響應。Li和Yang[5]在2017 年使用變分迭代法(VIM)求解了輸流管道系統的基本運動方程，得到典型邊界條件下的臨界流速和振動頻率。

楊曉東[6]等使用伽遼金方法將輸流管系統的偏微分方程通過離散化變為常微分方程組，求解得到系統的固有頻率。在此基礎上，他們還分析了不同流速對系統固有頻率的影響。金基鐸等[6]在歐拉伯努利梁振動方程的基礎上得到了兩端支承梁彎曲振動的頻率方程和振型函數的表達式，得到了臨界流速表達式，并進行了系統臨界流速關于扭轉剛度﹑重力系數和軸向預緊力的敏感性分析。李琳等[8]進一步分析了彈性支承輸流管的穩定性和臨界流速，探究了臨界流速隨著質量比﹑流體壓力和彈性支承剛度等參數的變化規律。翟紅波等[9]討論了流速對輸流管系統共振的可靠度的影響。姬賀炯等[10]對輸流管道系統進行了實驗和有限元建模研究，有限元模型結果與實驗結果吻合良好，證明了使用數值模擬方法對輸流管道系統分析的合理性。包日東等[11]使用數值仿真方法，討論了流速對彈性地基支承輸流管道固有頻率和非線性特性的影響。張大千等[12]運用有限元軟件，構建了輸流管道有限元模型，得到了不同工況下管道的固有頻率和管道模態。

雖然國內外對于輸流管道系統進行了大量的研究，但除Qian等[13]在2009 年使用微分求積法(DQM)求解熱荷載作用下鉸支輸流管道的穩定性問題外，對于熱荷載作用下的輸流管道的研究鮮有報道。但在工程實踐中，受熱荷載作用的輸流管道應用較多，如加熱輸送原油管道以及供暖管道。上述管道一旦發生失穩，將造成極為嚴重的經濟損失和環境破壞。眾所周知，輸流管道系統中的臨界流速對于判斷系統穩定狀態具有十分重要的意義。當流體速度低于臨界流速時，系統處于穩定狀態，而流速高于臨界流速時，系統將失穩。所以，研究熱荷載作用下輸流管道的臨界流速具有重要的意義。

以往輸流管道問題的求解一般都采用數值方法，往往需要復雜編程進行配合求解，相比于顯式解析求解，不但計算量大，而且一般的工程技術人員難以掌握，不利于現場工程應用。本文提出的熱荷載作用下輸流管道臨界流速的解析方法可以有效避免以上缺陷，適用于石油石化領域輸油管道常見的管道跨長和溫差情況，在工程現場可以方便快速地得到準確的臨界流速，為熱荷載作用下輸流管道系統的設計和安全評價提供依據，對于指導工程實際具有一定的意義。

1 輸流管道振動方程

1.1 振動方程導出

考慮長為L的輸送不可壓縮流體的均勻管道，橫截面積為A，管道單位長度質量為m，彎曲剛度為EI，流體單位長度質量為M，流速為U。

圖1 支承輸流管道模型Fig. 1 Model of supported pipes conveying fluid

不考慮重力作用和管道流體之間的摩擦力作用，假設管道的自由振動為小變形，Ziegler和Rammerstorfer[14]給出系統的應變能為

式中，v,w分別表示軸向和橫向位移，γ( ΔT) 表示熱應力。線性熱應力可表示為

上式在小溫差和小變形條件下是有效的，但是在溫差較大時將會產生一定的誤差。在溫度差較大的情況下，非線性關系較線性關系更為精確，非線性熱應力可以定位為

上式中，α為熱膨脹系數, ?系數為，l,m,n為Murnaghan’s常數，ν為泊松比。

系統的動能為

式中，第一項是管道的動能，第二項是流體的動能。

對于端部支承輸流管道系統的哈密頓原理可表示為

將式(1)﹑(2)代入式(3)中可得到軸向和橫向的運動方程分別為

忽略橫向變形對系統軸向方向上的影響，則軸向上的邊界條件可如下表示

兩端鉸支的橫向邊界條件為

一端固支而一端鉸支橫向邊界條件為

兩端固支橫向邊界條件為

由式(4)可得

將式(10)帶入式(5)可得

上式中第一項表示表示管道和流體的慣性力，第二項表示管道的彈性彎曲回復力，第三項表示流體的離心力和熱荷載作用引起的管道軸向力，第四項表示流體的科氏力。

1.2 振動方程簡化

令

則式(11)可表示為

假設系統做簡諧振動，即

帶入式(12)中得到

對應邊界條件如表1 所示。

表1 支承輸流管道邊界條件Table 1 Boundary conditions for supported pipes conveying fluid

2 臨界流速的解析方法

可以看出簡化后的熱荷載作用下輸流管道振動方程(13)為一元四次齊次常微分方程，但是由于系數中存在的u,ω均為待求特征值，求其動態響應時，需要求解給定流速u下管道的振動頻率。隨著u的逐漸增大，管道振動頻率逐漸減小，當一階振動頻率減小為0 時，此時的流速就是輸流管道系統的臨界流速。Paidoussis[15]得出結論，兩端支承(一端固定一端鉸支，兩端鉸支，兩端固定)的輸流管道為無耗散的保守系統，其臨界流速在ω=0 時取得。根據該臨界流速條件，令式(13)中ω=0 有

以兩端鉸支邊界條件為例，施加邊界條件后，得到

為得到非平凡解，令上式中的系數矩陣行列式等于0，得到

所以

同理，可求得左端固支右端鉸支條件下臨界流速為

兩端固支時，臨界流速表達式為

值得注意的是，式(16)和(17)為超越方程，可由數值方法求解得到臨界流速。求得的臨界流速公式如下

根據式(15)﹑(18)﹑(19)即可非常方便地求得各邊界條件下不同熱荷載作用下的臨界流速。

3 算例分析

Qian[13]使用微分求解法求解了熱荷載作用下鉸支輸流管的臨界流速問題。為了驗證本文提出的解析方法的正確性，使用Qian[13]中的算例進行計算以作對比。該算例的輸流管系統參數如表2 所示，邊界條件為兩端鉸支。原文使用微分求積法(DQM)進行求解，本文提出的解析方法與其結果對比如表3 所示。

表2 算例參數Table 2 Parameters of calculation example

從表3 中可以觀察到，本文給出的解析解與DQM結果相對誤差均小于0.2%，說明本文提出的靜態解析方法是正確的。由于DQM方法是一種數值近似方法，其結果與解析法得到的準確值相比具有一定的誤差，且隨著溫度的增加，相對誤差逐漸增大。所以，相對于DQM方法而言，本文提出的解析方法計算更簡單，準確性更高，可以更方便的得到輸流管系統的臨界流速值。

對于邊界條件為兩端固支和一端鉸支一端固支邊界條件，求得的臨界流速如表4﹑5 所示。從表3﹑4﹑5 中可以看出，隨著熱荷載的增加，臨界流速逐漸降低，且下降速度越來越快。

3 種邊界條件下線性和非線性熱應力作用對輸流管系統臨界流速影響如圖2 所示。從圖2 中可以看出，非線性熱應力作用下管道系統的臨界流速大于線性熱應力作用下的臨界流速，在溫差較小時兩者差別不大，在溫差較大時兩者有一定的差別，對于不同的邊界條件影響也所有不同。相同熱荷載條件下，兩端固定邊界條件下的輸流管道臨界流速最高，一端固定一端鉸支邊界條件次之，兩端鉸支邊界條件下系統的臨界流速最低。同時可以看出，兩端固定邊界條件下系統的安全溫度差范圍相對較大，而兩端鉸支邊界條件的安全溫度差范圍較小。研究表明固定邊界條件下的輸流管系統能夠承受的熱荷載最大，工程上對輸流管道施加固定邊界條件有利于提高熱荷載管道系統的穩定性。

表3 本文解析方法與DQM方法結果對比(兩端鉸支邊界條件)Table 3 Comparison between the analytical method proposed in this paper and the DQM method(hinged-hinged boundary condition)

表4 一端鉸支一端固支邊界條件臨界流速Table 4 Critical velocity of the clamped-hinged boundary condition

表5 兩端固支邊界條件臨界流速Table 5 Critical velocity of the clamped-clamped boundary condition

圖2 不同邊界條件下線性和非線性熱應力對臨界流速的影響Fig. 2 Influence of linear and nonlinear thermal stress on critical velocity under different boundary conditions

4 結論

本文根據哈密頓原理推導得到了輸流管問題的振動方程，然后根據兩端支承管道的臨界流速條件將動態問題轉化為靜態問題求解，提出了在熱荷載作用下兩端支承輸流管道臨界流速的解析方法，并得到了臨界流速公式。結合算例分析，得出了以下結論：

(1)相對于微分求積法，本文提出的解析方法計算更加簡單，準確性更高，可以更方便的得到輸流管系統的臨界流速值，有利于指導工程實踐；

(2)線性熱應力和非線性熱應力作用下的輸流管系統的臨界流速均隨著熱荷載的增加而降低，且下降速度越來越快。同等情況下非線性熱應力作用下臨界流速大于線性熱應力作用下的臨界流速，且隨著熱荷載的增加，兩者間的差距逐漸增大；

(3)對比邊界條件發現，固定邊界條件能夠承受的熱荷載最大，因此對熱荷載作用下輸流管系統施加固定邊界條件有利于提高系統的穩定性。