基于混雜切換方法的離散切換系統狀態反饋H∞控制

李 嬌，劉 滿

(大連民族大學 理學院，遼寧 大連 116605)

切換系統作為一類特殊的混雜系統，為很多具有切換特征的物理系統的研究提供方法和技術上的借鑒和啟示。在過去的十幾年里，人們已經對切換系統進行了研究[1-5]。然而，由于連續和離散動態相互作用，導致切換系統呈現出復雜的動態行為[6-8]，因此，對切換系統的研究比較困難，仍有一些問題待解決。

穩定性分析、控制器和切換律設計是切換系統研究的主要問題[9-10]。針對連續切換系統的穩定性和鎮定問題，當所有子系統穩定或部分子系統穩定或所有子系統均不穩定的情形，已得到一些相應的研究結果。例如，當每個子系統都穩定，文獻[11]和[12]討論了時間依賴切換技術。文獻[13]和[14]和文獻[15]分別將這些結果推廣到部分子系統不穩定和所有子系統均不穩定的情形。此外，文獻[13]討論了l2增益問題。

文獻[16]和[17]研究了離散時間的型式，文獻[18]和[19]將其擴展到異步切換的情況。另一方面，文獻[20]討論了狀態依賴切換方法。在文獻[21]中，利用Lyapunov-Metzler不等式分別給出了連續和離散切換系統的穩定性條件，雖然這些條件不要求每個系統的穩定性，但子系統矩陣乘以某些常數是穩定的。此外，文獻[22]依據修改的Lyapunov-Metzler不等式得到了穩定性分析和控制設計條件。顯然，上述那些方法不能保證連續切換之間的任何最小駐留時間。文獻[9]設計了一個具有時間約束的狀態依賴切換律，保證了連續切換系統的穩定性。然而，現有的大多數連續切換系統的方法和結果不能直接推廣到離散形式。因此，如何為離散切換系統設計一個具有駐留時間約束的狀態依賴切換律以實現控制目標是一個復雜且困難的問題。受文獻[9]啟發，可看作是文獻[9]的平行結果。

鑒于以上考慮，本文的目的是為離散切換系統設計一個具有駐留時間約束的狀態依賴切換律。在所有子系統均不穩定的情形下，設計的切換律和子系統控制器保證了切換系統的穩定性和l2增益性能。本文主要貢獻如下：(1)設計的切換律具有慢切換和快切換的優勢。(2) 不要求每個子系統穩定，也不要求子系統矩陣乘以某些常數是穩定的。(3)本文結果是現有結果關于狀態依賴切換或時間依賴切換的擴展。

1 問題描述

考慮如下離散切換線性系統：

x(t+1)=Aσ(t)x(t)+B1,σ(t)ω(t)+B2,σ(t)u(t),x(0)=0；

z(t)=C1,σ(t)x(t)+D11,σ(t)ω(t)+D12,σ(t)u(t)。

(1)

式中：t=1,2,…；x∈Rn是系統狀態；u∈Rp是控制輸入；ω∈Rq是屬于l2的外部擾動及z∈Rr是受控輸出。切換律σ(t)∈{1,2,…,N}°Ai,B1,i,B2,i,C1,i,D11,i,D12,i(i∈1,2,…,N)是適當維數的常值矩陣。假設切換系統(1)滿足一個最小駐留時間約束τh+1-τh≥T,T≥2, ?h=1,2,…,τ1,τ2,…是切換時刻。

本文的控制目標是同時設計具有駐留時間約束的狀態依賴切換律和子系統控制器，得到保證系統(1)(ω=0)漸進穩定且具有l2增益性能的充分條件。

2 切換穩定性

針對每個子系統均不穩定，設計一個混雜切換律仍能保證切換系統(1)(ω=0,u=0)的穩定性。

首先給出一個在后面的定理中將用到的引理。

引理1[9,23]對于t∈[t0,tf]和tf-t0=δ, 有兩個對稱矩陣P1>0和P2>0, 使得

(2)

(3)

成立，則系統x(t+1)=Ax(t)的Lyapunov 函數V(t)=x′(t)P(t)x(t)。

(4)

基于引理1可以得到下面的結果：

(5)

(6)

(7)

成立，則在下一次發生切換時(t=τh+1)，切換律如下：

σ(t)=i， ?t∈[τh,τh+T) ，

(8)

ifσ(t)=i，?t>τh+T,如果x′(t)Pi,Kx(t)≤x′(t)Pj,0x(t),?j=1,2,…i-1,i+1,…,N，

(9)

否則，

(10)

能使具有駐留時間約束T≥2的系統(1)的標稱系統漸進穩定。

Pσ(t)(t)=

(11)

對于t∈[τh,K,τh+1,0), 可知V(t)=x′(t)Pi,Kx(t),x(t+1)=Aix(t)及

x′(t)Pi,Kx(t)≤x′(t)Pj,0x(t), ?j=1,2,…，i-1,i+1,…,N。

(12)

因此

(13)

則條件(7)保證了ΔV(t)<0,x(t)≠0,t∈[τh,K,τh+1,0)。

對t∈[τh,k,τh,k+1), 基于引理1，條件(5)和(6), 可得ΔV(t)<0,t∈[τh,k,τh,k+1)。 此外， 由切換律 (8)～(10), 可以發現 Lyapunov 函數在切換點處是非增長的。因此系統(1)的標稱系統x(t+1)=Aσ(t)x(t)在切換律(8)～(10)下漸進穩定，定理得證。

3 l2增益

本小節將給出系統(1)(u(t)=0)的漸進穩定性和l2增益性能

(14)

(15)

(16)

則系統(1)(u(t)=0)在具有駐留時間約束T≥2的切換律(8)～(10)下漸進穩定且具有l2增益性能。

證明如下不等式是等價的。

ΔV(t)+z′(t)z(t)-γ2ω′(t)ω(t)<0,

(17)

(18)

其中P(t)如(11)所示,A,B,C,D如(1)所示。

類似定理1的證明，在駐留時間內，條件(14)和(15)保證了(18)成立。在駐留時間之后和下次切換發生前，由條件(16)可得(18)。此外，根據切換律(8)～(10)可知Lyapunov函數在切換點處是非增長的。因此，條件(14)～(16)和切換律(8)～(10)共同保證了系統(1)(u(t)=0)漸進穩定且具有l2增益性能。定理得證。

(19)

(20)

(21)

則系統(1)(u(t)=0)在具有駐留時間約束T≥2的切換律(8)～(10)下漸進穩定且具有l2增益性能。

證明由(11)中Pσ(t)(t)的形式，有

Qσ(t)(t)=

(22)

顯然如下條件等價

ΔV(t)+z′(t)z(t)-γ2ω′(t)ω(t)<0,

(23)

(24)

(25)

其中Q(t)=P-1(t)。

在駐留時間內，矩陣Qσ(t)(t)從Qi,k線性變化到Qi,k+1, 則將Qi,k和Qi,k+1分別代入(25)可得到條件(19)和(20)。

(26)

由Schurs補可知(26)與(21)等價。證畢。

推論1給出了穩定性和H∞性能的另一個充分條件。由于這些條件能導致凸條件，因此適用于狀態反饋控制器設計。

4 狀態反饋

設計狀態反饋控制器u(t)=Kσ(t)(t)x(t),其中時變控制器增益Ki(t)是待求的。

(27)

結合系統(1)和控制器(27), 有如下閉環切換系統

x(t+1)=(Aσ(t)+B2,σ(t)Kσ(t)(t))x(t)+B1,σ(t)ω(t),x(0)=0，

z(t)=(C1,σ(t)+D12,σ(t)Kσ(t)(t))x(t)+D11,σ(t)ω(t),

(28)

應用推論1，分別用Ai+B2,iKi(t)和C1,i+D12,iKi(t)代替Ai和C1,i, 有下面的結果。

(29)

(30)

(31)

則在具有駐留時間約束T≥2的切換律(8)～(10)和控制器(27)下，系統(1)漸進穩定且具有l2增益性能，其中

Ki(t)=

(32)

證明選擇

Yσ(t)(t)=

(33)

則由Yi(t)=Ki(t)Qi(t)可得結果。證畢。

5 結 論

本文設計了一個混雜切換律，該切換律保證了閉環切換系統漸進穩定且具有l2增益性能。當駐留時間趨于零時，本文的方法就退化為最小切換，故所提方法為離散切換系統的分析提供了更一般的框架。