改進的GM(1,1)模型在地鐵運營隧道的沉降預測分析

楊恒昆 賈文超

（1 深圳市市政設計研究院有限公司；2 廣東省工程勘察院）

0 前言

在地鐵運營過程中，隨著隧道建成年限的增加，由于區域性地面沉降、隧道周邊基坑開挖、隧道滲漏、列車荷載等因素的影響，隧道沉降會持續增大，繼而影響地鐵正常運行、乘客乘坐舒適性，嚴重的不均勻沉降將直接造成地鐵本身結構的變形，甚至引發安全性問題[1]。在地鐵隧道長期運營過程中，不間斷出現的隧道沉降問題日益引起相關單位的重視，因此，通過科學合理的方法對隧道沉降問題進行預測預防具有重要的理論和實踐意義。

灰色理論認為一切隨機變量是在一定范圍內變化的灰色量，對灰色量的處理不是找概率分布和求統計規律， 而是根據數據處理的方法來找出數據間的規律，因而只要求較短的觀測資料就可處理， 這就和時序分析、多元分析等概率統計模型要求較多的觀測資料很不一樣[2]。

GM(1，1)模型具有十分廣泛的應用領域。是工程監測中最常用的一種預測模型，許多文獻對此進行了大量的研究， 但也存在一些預測精度不高的情況。因此，對GM(1，1)模型進行深入仔細的研究，提高其模型的精度及其適應性， 具有非常重要的理論意義和實際意義[3]。本文利用基于殘差改正的GM(1，1)模型對地鐵運營隧道長期沉降的變化趨勢進行預測分析，得到了良好的精度效果及可靠性。

1 灰色系統GM（1，1）原理

在傳統的GM（1，1）模型中，設非負且離散的數據序列為：

X(0)=﹛x(0)（1），x(0)（2），x(0)（3），……x(0)（n）﹜，式n 為序列長度，對X(0)進行一次累加生成，得X(1)=﹛x(1)（1），x(1)（2），x(1)（3），……x(1)（n）﹜，對X(1)序列建立一階微分方程[4]。

式⑴即為GM(1，1)模型，在該式中，α、u 為灰參數，其白化值為依據最小二乘法可求得：

對X(1)作緊鄰均值生成：

式⑵中矩陣B 及向量：

將利用最小二乘原理求得的a 代入式⑴中，可求解出微分方程為：

對上文所述建立得GM(1，1)模型進行殘差大小檢驗、后驗差檢驗等，殘差大小檢驗是對模型值和實際值進行逐點檢驗；后驗差檢驗是對殘差分布的統計特征進行檢驗，它由后驗差比值及小概率誤差概率P 共同確定[5]。由上文中GM（1，1）模型預測得到數據序列為：

計算殘差序列ε(k)=x(0)(k)－x(1)(k)得：

記原始數據序列x(0)及殘差數據系列ε(0)的方差分別為：

2 基于殘差修正的GM（1，1）模型改進

計算殘差序列ε(k)=x(0)(k)－x(1)(k)得ε(0)=(ε(0)(1)，ε(0)(2)，…，ε(0)(n))。若k0存在，并合理定義k0，其滿足①k≥k0，ε(0)(k)的符號一致；②n－k0≥3，則稱(|ε(0)(k0)|，|ε(0)(k0+1)|，…，|ε(0)(n)|) 為可建模殘差尾段[6]，記為：

對該殘差尾段數據序列重復進行GM（1，1）模型預測，則其殘差修正值為：

將殘差修正值改正至原預測值中，經過殘差修正的累減還原式GM（1，1）模型見式⒀：

3 工程實例

工程實例選取廣州地鐵某線路過江段左線道床D1沉降監測點及右線道床D2 沉降監測點2020 年4 月～2020 年8 月監測數據進行建模及預測分析，數據如表1所示。

利用數學軟件matlab2016a 對沉降數據進行GM（1，1）模型建模分析，傳統的GM(1，1)計算結果如表2、表3 所示。

利用殘差改進后的GM(1，1)模型計算結果如表4、表5。

表1 沉降監測數據

表2 傳統模型下D1點沉降數據計算結果

表3 傳統模型下D2 點沉降數據計算結果

傳統的GM(1，1)模型及利用殘差改進后的GM(1，1)模型沉降預測曲線對比如圖1、圖2 所示。

從表4 及表5 的數據預測結果可看出，傳統的GM(1，1)模型在D1、D2 點的預測結果與實際監測數據相比平均相對誤差分別為1.60%及2.20%，利用殘差改進后的GM(1，1)模型在預測結果上的平均相對誤差分別為0.78%及0.92%，在其方差比C 檢驗及小誤差概率p 檢驗中，殘差改進后的GM(1，1)模型的表現均優于傳統的GM(1，1)模型，從圖1 及圖2 的曲線圖對比結果上，殘差改進后的GM(1，1)模型預測數據相對于傳統的GM(1，1)模型也更貼近于實際監測數據。

表4 改進后模型下D1點沉降數據計算結果

表5 改進后模型下D2 點沉降數據計算結果

圖1 D1 點沉降預測曲線

4 結論

本文介紹了灰色系統GM(1，1)模型的原理及建模方法，并通過實例對殘差修正的GM(1，1)模型與傳統的GM (1，1) 模型進行比較分析，結果表明殘差修正GM(1，1)模型能夠更準確地預測監測點的沉降變化規律和趨勢，相對于傳統的GM(1，1)模型其精度更高，可靠性更好，基于殘差修正的GM(1，1)模型在工程監測領域具有良好的適用性，可廣泛應用。