耦合KL理論與調度特征的大規模水電站群優化調度降維方法

申建建，張 博，程春田，李秀峰，蔣 燕，趙珍玉

（1.大連理工大學 水信息研究所，遼寧 大連 116024； 2.云南省電力調度控制中心，云南 昆明 650011）

1 研究背景

水電系統調度是一類非凸、非線性、多變量、高維數且具有龐大約束條件集的大規模復雜決策優化問題，也一直是國內外公認的最具挑戰性的理論和實踐課題之一[1-3]。水電調度優化計算規模與參與的水電站數、時段數、狀態變量（初庫容）離散數、決策變量（末庫容、流量、出力）離散數、水庫不確定徑流離散數緊密相關[4]，且隨著電站裝機規模、庫容離散數目、水電站數目等參數的增大，計算的時空復雜度呈指數增長，這一特征使得求解幾十、上百座電站的大規模水電系統優化問題需要的計算耗時和存儲空間均急劇增加，“維數災”問題突顯[5]。對于我國西南特大流域梯級水電站群、省級電網跨流域水電系統、區域電網跨流域跨省水電系統而言，如何有效突破超大規模水電站調度建模求解特別是效率問題已成為水電及電力系統運行面臨的重要理論和技術障礙[6]。

國內外很多研究工作聚焦水電系統降維問題，涉及以下幾個方面：（1）從減少優化電站數出發，提出了動態規劃逐次逼近方法（DPSA）、聚合-分解方法等，前者通過減少單次優化的電站數，將多電站高維優化問題轉換為單一電站低維優化問題，后者則將多個電站聚合為虛擬電站，以減少整體的優化電站數。從減少優化階段數出發，提出了逐步優化方法（POA）[7]、變尺度方法[8]等；（2）從減少離散狀態數出發，提出了離散微分動態規劃（DDDP）[9]、離散梯度逐步優化方法[10]、正交試驗設計方法[11]等。其中，正交試驗設計方法是通過“均衡分散”抽樣將單階段各電站不同離散狀態之間的組合視為一次多因素多水平試驗優選，以減少計算的狀態組合數；（3）從簡化問題復雜性出發，提出了線性或分段線性規劃、非線性規劃等方法[12]，前者是對水電系統的各種非線性曲線或函數進行線性或者分段線性處理，或者通過固定發電水頭、尾水位等進行問題簡化，以減少問題求解的復雜性；后者利用二次或者高次多項式重構目標函數和曲線方程以形成可求解的優化調度模型。

對于超大規模水電系統而言，如何高效求解顯得尤為重要。從啟發式算法的角度出發，通過隨機搜索啟發式策略求解多目標問題，以提高問題的求解效率[13]。從計算技術角度出發，通過識別系統的可并行性，利用計算機并行計算資源可以提高計算效率[14]。此外，近年來興起的機器學習、云計算、智能算法等也為超大規模水電系統高效求解提供了新的思路，例如利用量子理論改進智能群體搜索方法的編碼模式和搜索模式，并結合啟發式策略動態處理短期水電調度中最小正常運行時間/停機時間約束和旋轉備用容量等復雜約束，以提高求解效率和結果精度[15]。

總體而言，不同降維方法提供了不同的視角解決水電系統維數難題。本文考慮水電站長系列調度過程，以文獻[16-18]提及的Karhunen-Loève展開方法為基礎，提出一種大規模水電站群優化調度降維方法，通過對水電站群長系列調度樣本進行主成分分析，識別調度過程中的庫水位變化特征值與其對應的特征函數，采用KL方法將庫水位序列描述為前述水位變化特征項的線性函數，并通過各項的隨機系數組合確定特定來水對應的發電調度過程；針對前述文獻中隨機系數分布和遺傳算法優化隨機性可能導致的結果實用性和準確性核心問題，引入Kullback-Leibler 散度以根據問題特點優選適合的特征項隨機系數概率分布，并建立了兩階段迭代尋優策略實現特征項系數的高效、穩定求解。該方法的有效性、高效性、以及隨機系數分布規律和參數敏感性通過云南電網省調大規模水電系統進行驗證。

2 水庫群優化調度數學模型

采用經典的發電量最大模型進行水電優化調度降維方法分析，其目標函數為：

約束條件為：

（1）水量平衡方程：

（2）庫水位、發電流量與出力限制：

（3）水庫調度期始末水位限制：

（4）水位-庫容關系：

（5）尾水位-泄量關系：

（6）系統出力帶寬約束：

式中：I為參與計算的總電站數；i為電站編號；T為調度期時段數；t為時段序號；Qei，t為t時段電站i的發電流量，m3/s；Hn，t為t時段電站i的發電水頭，m；Δh為單一時段小時數，h；Vi，t為時段t水電站i的初始庫容，m3；Qui，t為時段t電站i所有直接上游水電站的出庫流量之和，m3/s；Qai，t為時段t電站i的區間流量，m3/s；Qoi，t為時段t電站i的出庫流量，m3/s；Δt為時段內秒數，s；分別為電站i在時段t的庫水位下限與上限，m；分別為電站i在時段t的出庫流量下限與上限，m3/s；分別為電站i在時段t的發電流量的下限與上限，m3/s；分別為電站i在時段t的出力下限與上限，MW；Zi，0為調度期水電站i的初始庫水位，m；Zi，T為調度期末水電站i的庫水位，m；Vi，t為t時刻水電站i的水庫水量，萬m3；Zi，t為t時刻水電站i的水庫水位，m；qi，t為t時刻水電站i的下泄流量，m3/s；hi，t為t時刻水電站i的尾水位，m；分別為電站i在時段t的出力下限和上限，MW。

3 耦合KL理論與調度特征的水電調度方法

3.1 總體思路本文思路是采用譜優化方法中的Karhunen-Loève展開（以下簡稱KL展開），通過實際調度歷史樣本分析與特征提取，將待優化調度決策看作一個需要進行模擬的隨機過程，利用從樣本中提取的特征項構建隨機過程表達式，通過特定分布的隨機變量確定各個特征項的線性組合，有效減少決策變量的個數，從而達到降維目的。KL展開可以對復雜多變量隨機過程進行高效處理，將其描述為若干正交向量與特征值的展開式。其中，特征值和特征向量需要采用主成分分析方法，從水電站群長系列實際調度樣本進行識別提取；特征項的隨機變量應該采用何種分布進行組合計算，需要結合問題特點優選適合的概率分布。KL方法的整體求解見圖1。

圖1 方法原理

3.2 KL理論KL理論又被稱為本征正交分解，本質是將一個隨機過程按幾組正交特征函數分解為多項式和的形式，以此來近似擬合原隨機過程，KL分解涉及確定性函數（即特征函數ψk（t））和隨機變量（ξk）的級數展開，其中確定性函數由自相關核函數確定，隨機系數ξk的概率分布由于隨機過程本身信息的缺乏通常難以直接確定。

KL展開的基本表達形式以一個可測度事件集合為基礎，用于描述物理隨機過程。設構成隨機過程事件集的函數為為事件對應的隨機過程檢索序號系列，θ為該隨機事件。則根據KL展開理論，表達式為：

其中隨機系數ξk應遵循以下數學定義：

具體來說，通過式（13）僅能證明隨機變量的均值為0、方差為1，并且是相互正交的。通過式（13）可知，KL展開式中各事件描述函數對應的隨機系數與事件本身有密切聯系，因此在針對不同特點的物理過程進行建模時，如何選擇符合實際數據特征的連續或離散概率分布賦給隨機系數ξ(θ)是非常重要的，這一問題可以通過下文3.5節方法有效處理。

按照上述思路，本文采用截斷型KL展開式對水電站的時段末水位過程進行表達，具體為：

式中：Z（t）為水電站t時段末的庫水位；為實際調度樣本集中t時段末的庫水位均值；λk與ψk(t)為正交特征值與對應的特征向量；ξk為一系列獨立的隨機變量，其分布遵從均值為0，方差為1，在求解過程中，該系數為問題的決策變量。在求解過程中，ξk的概率分布形式直接影響到計算模型的收斂速度以及結果精度。該分布可以選取符合均值為0、方差為1 的均勻分布、高斯分布或者Beta分布等。

利用式（14）解決離散型隨機過程問題時可以進行離散近似處理，一般選擇有限個數的離散特征項進行KL展開，所以庫水位變量的KL展開式可表述為：

式中，M為樣本選取特征項的個數，其大小取決于結果精度要求以及樣本中各隨機過程之間的相關性。精度要求越高，則需采用的特征項個數越多。M的取值存在一定范圍，這取決于主成分分析的計算結果。實際調度樣本集數據的相關性越強，則特征項數目越少，M的上限取值越小。反之，則得到的特征項數目偏多，M的上限數值變大，這種情況下需要在求解過程中對M值以及采用的特征項進行優化計算以便于權衡選擇。

可以看出，在采用KL展開方法過程中，水電站的調度決策變量從原先的時段末水位轉變為針對調度期若干特征項的系數，以此來確定調度期的庫水位過程。進一步分析該方法的時間復雜度，一般而言，水電調度問題始、末都只有一個狀態變量，假定其余T-1個時段的狀態變量離散為S份，則對于經典DP算法，單個水庫的計算次數為S T-1，I個水電站的時間復雜度為O（TSI(T-1)）；對于POA算法，計算次數與其迭代收斂條件有關，若算法收斂終止前整體需進行n次迭代，則算法的時間復雜度為O（nSI(T-1)）；對于KL 展開方法，假定水電站的特征值個數為ki，特征值可選離散權重值為n，單個水電站收斂需計算次數為si，則KL 展開方法的時間復雜度為O（Isi ki n）。可以看出，KL 展開方法的復雜度顯著低于經典的DP及改進方法。

3.3 建立發電調度過程樣本集在采用主成分分析法提取水電站調度過程特征值與特征向量前，需要建立各水電站的發電調度過程樣本集。對于具有長系列實際調度數據的電站，直接采用歷史的庫水位過程作為樣本，見公式（16）；對于缺少實際調度數據的電站，以長系列徑流為輸入，以式（1）為目標函數，采用經典的DP進行優化計算獲得發電調度過程，其樣本表達式與下式相同：

式中：Ai，sample為電站i的調度過程樣本集集合；zc，j為第c種來水情況下第j個時段的時段末庫水位；T為電站i調度過程中包含的時段數。

在后續章節計算具體算例過程中，由于無足夠長系列的水庫實際生產過程，因此對單庫采用DP計算其歷史各年份來水情況下的調度過程作為調度樣本以模擬單庫的多年實際調度過程，對多庫則采用POA計算其歷史各年份來水情況下的調度過程作為調度樣本以模擬多庫梯級的多年實際調度過程。

3.4 主成分分析方法計算樣本特征項主成分分析（PCA）是一種經典的數據分析方法，原理是將數據的n維特征映像到k維上，在這一過程中將得到一組新的正交向量（映射基底），其對應的特征值與向量本身即為構建KL展開式所需的特征函數。本文主要應用此方法于從水電站的長系列調度過程樣本集中提取水位特征值和特征向量。

根據PCA方法原理，需要分別求解矩陣各電站的協方差矩陣Cov(Ai，sample)，見下式：

按照式（17），可以得到I個協方差矩陣Cov(A1，sample)，……，Cov(AI，sample)。對每個矩陣分別計算特征值與特征向量，得到特征值系列{λ11，λ12，…，λ1T，λ21，…，λIT}，每個特征值對應的特征向量ψkT應滿足下式：

由此計算出各特征值對應的特征向量。

考慮到每個協方差矩陣均會計算得到T個特征值與其對應的特征向量，所以需要優選能夠代表水電站調度過程的主要特征值。本文引入累積貢獻率指標，將同一矩陣求出的特征值按從大到小排序{λ1，λ2，…，λn}，累積貢獻率求解公式如下：

式中：Kd為λd的累積貢獻率；N為特征值總數；d為計算累積貢獻率的特征值序號。

在PCA方法中，累計貢獻率又稱累計方差貢獻率。在實際計算中，特征值從大到小排序，然后從前到后求和即可得到累積方差。所以Kd的大小表示了λ1，λ2，…，λd攜帶原數據信息的比例。實例計算分析中，根據保留不同主成分所建立模型的精度，綜合考慮保留主成分的累計貢獻率的閾值。

3.5 利用樣本特征項建立各水電站KL展開式 利用3.2節給出的KL 展開描述方法，可以確定任一水電站i在t時段末的庫水位，見下式：

按照上式建立任一水電站i的時段末庫水位描述方程，并對每個特征項對應的系數ξi，k進行優化求解，主要包括以下兩部分。

（1）確定特征項系數的概率分布與初始值。在式（20）中，M個特征值對應系數為ξi，k，1 ≤k≤M。由于各ξi，k服從的概率分布均符合均值為0、方差為1，所以如何從各類可選連續分布中優選適合的分布形式并確定隨機系數的可行域和初始值是非常重要的。通過分析電站歷史調度過程樣本集，可以有效預判KL展開式隨機系數的概率分布，使后續建模更符合工程實際。

本文引入Kullback-Leibler散度這一概念來衡量KL特征項對應隨機系數的實際概率分布與優化計算時假定的概率分布之間的信息誤差。這一概念起源于概率論與信息論。Kullback-Leibler 散度與相對熵、信息散度和分辨信息密切相關，表示兩個概率分布p(x)和q(x)之間差異的非對稱度量。具體來說，p(x)與q(x)的Kullback-Leibler 散度，即DKL(p(x)，q(x))，是對q(x)用于估計p(x)時所丟失的信息的度量。設p(x)和q(x)是離散隨機變量x的兩個概率分布，對總體X中的任意點，p(x)＞0，q(x)＞0。則DKL(p(x)，q(x))可按照下式進行計算：

圖2 特征項系數迭代計算原理

對任一參與計算電站而言，在確定特征值與特征向量后，可按照下述方法確定KL建模隨機系數的概率分布：①步驟1。按照KL展開式（20）以及歷年實際調度過程，通過求解線性方程組確定不同年份來水情況下的{ξi，1，ξi，2，…，ξi，T}，其中M=T，即按照式（18）得到的特征項構建式（20）；②步驟2。按照電站的主要特征項，選擇對應的隨機系數值集合Sy={ξi，1，ξi，2，…，ξi，M}，其中y為歷史調度過程樣本中包含的年份序號；③步驟3。假定電站共有Y個年份樣本，則主要特征項隨機系數樣本集為S={S1，S2，…，SY}；④步驟4。根據樣本S得到KL 建模中各主要特征項對應隨機系數ξi，k的概率分布p(x)；⑤步驟5。利用式（21）計算預先設定可采用分布q(x)與p(x)之間的Kullback-Leibler散度DKL(p(x)，q(x))；⑥步驟6。選定DKL最小值對應的q(x)概率分布描述電站KL建模中的隨機系數，確定隨機系數的可行域以及初始值。

（2）迭代搜索特征項系數。迭代搜索方式如圖2所示。以隨機系數初始值為基礎，采用兩階段迭代優化其取值。對于任一特征項系數ξi，k，固定其余特征項系數，以步長Δs生成可行域范圍內的所有系數狀態值，按照式（20）計算Zi(t)，并由式（1）計算目標函數值，選擇目標值最大的ξi*，k作為特征項ξi，k面臨階段的最優值；采用同樣思路逐次對其余階段的特征項系數進行迭代尋優，直至滿足給定的收斂條件。

3.6 耦合KL理論和調度特征的水電調度求解方法流程流程如下：（1）基于水電站實際運行數據，采用3.3節方法構建發電調度過程樣本集；（2）提取每個電站的調度特征值與特征向量。對得到的樣本集進行主成分分析，獲得特征值λk與對應的特征向量(ψ(1)，ψ(2)，…，ψ(T))T，具體方法見3.4節；（3）優選各電站的關鍵特征值。按照式（19）計算各特征值的貢獻率，并按照選定的Kd閾值確定關鍵特征值系列{λ1，λ2，…，λD，D}為滿足閾值的最后一個特征值序號；（4）通過計算3個代表年情況下實際隨機系數分布與各預設分布的DKL值，確定電站KL表達式中隨機系數的概率分布；（5）構建各電站的KL展開式。以步驟（3）得到的關鍵特征值為輸入，采用式（20）建立每個電站時段末庫水位的KL展開式；（6）優化特征項系數ξk。采用迭代方法，初設迭代次數為l=0，單次迭代的計算過程見3.5節；（7）設l=l+1，采用相對誤差法判定是否收斂。若則判定算法收斂，計算結束。其中Gl為第l次迭代梯級總年發電量值。在迭代過程中Gl的值單調增加至趨于平穩，變化值符合收斂條件則為目標最大年發電量。若未收斂，調用3.5 節方法進行計算；否則，轉至步驟（7）；（8）按照式（20）確定各水電站的調度過程，計算終止。

4 計算實例

4.1 工程背景云南水能資源可開發量近1億kW，居全國第二位，主要分布在金沙江、瀾滄江、怒江、紅河和珠江等水系。現階段，云南省調水電系統包括大中型水電站170 多座，水電裝機容量約6667萬kW，是我國水電裝機規模最大的省級電網之一，占全網發電總裝機比重超過70%。對于如此龐大規模的水電系統，在日常發電調度計劃編制和調度方案分析中，如何同時保證較高的計算效率和結果的實用性，是極其重要的。本文以云南省調超百座電站的水電系統為對象進行方法驗證，設計了3個實例，分別驗證方法的有效性、高效性、KL特征項選擇對計算方法的參數敏感性以及系數分布形式的選擇。實例1、實例2分別以單一大型水電站水庫、小灣-糯扎渡雙庫為對象，對比不同來水場景下KL-兩階段迭代搜索方法與經典DP方法的結果精度和時間；實例3以云南省調所有水電站為對象。整體的計算程序采用JAVA 語言編制，并在處理器為Intel Core i5-2400 3.10GHz，內存4GB的DELL商用臺式計算機上完成計算。

4.2 方法有效性檢驗為驗證KL方法求解水電站（群）優化調度問題的有效性，采用豐、平、枯三個典型年對小灣電站、小灣-糯扎渡梯級兩種情況進行長期優化調度計算。由于傳統DP算法具有全局最優性，通過KL方法與經典DP算法結果進行對比，分析方法的有效性。計算結果如表1、表2所示。

表1 小灣電站兩種不同方法的計算結果

實例1中，在小灣單站情況下，KL方法得到的年發電量高于DP在1 m、0.5 m離散步長時的最優結果，增幅范圍在0.06%～0.77%；當DP的步長減小至0.1 m時，兩種方法的計算結果基本一致，但DP的計算耗時是KL方法的21倍左右。與DP方法的離散全局最優特性相比，KL方法主要對DP方法優化得到的樣本進行特征提取，并按照實際入庫流量過程與目標函數擬合最優調度過程，所以在DP離散精度較高情況下，總電量可能略小于DP算法。

為進一步驗證兩種方法在計算效率及結果精度上的差異，在實例2中選取小灣、糯扎渡梯級水電站進行優化調度計算，結果如表2所示。

表2 小灣-糯扎渡梯級水電站計算結果

從表2可以看出，對于小灣-糯扎渡梯級水電站，DP方法由于單一階段狀態數增加較多，計算效率明顯下降。在同一步長條件下，增加一個電站使計算耗時增加超400余倍，呈指數增長，“維數災”問題突出。相比較而言，KL 方法在兩個電站情況下，計算耗時僅比單站計算耗時增加1.86～1.95倍，與上文3.2節的復雜度理論分析結果一致，體現了較高的計算效率。

從結果中看到，在0.1 m 離散步長下的小灣DP 計算結果好于KL算法。此處KL算法為依據歷史調度過程樣本對最優調度過程的一種模擬，并不是一種嚴格的全局最優解，而DP的解在離散范圍內為全局最優，所以當DP離散搜索步長減小到一定程度時得出的優化結果確實要好于KL方法，但同時其需要付出足夠的時間代價，這對于超百座大規模水電系統而言，就會面臨嚴峻的“維數災”問題。

4.3 方法的高效性檢驗為驗證方法的高效性，實例3以參與云南省調平衡的所有水電站為對象進行驗證，其中部分中小流域梯級在實際運行中一般簡化為虛擬電站，所以實際計算電站數為103座。在計算過程中，季調節及以上水電站水庫參與優化調度，其他調節性能較差的水電站按照定水位方式進行水能計算。由于來水過程對梯級水電站群的調度計算有較大影響，所以文中采用瀾滄江、金沙江、怒江、珠江、紅河等主要流域約50年徑流資料進行頻率分析，確定多個不同頻率的典型年徑流場景。

考慮到參與優化的電站規模較大，采用DP方法很難在有效時間收斂到合理結果，所以本例采用POA方法進行對比分析，以此評價KL方法的計算效率。各主要流域計算結果見表3，云南水電系統整體計算耗時及總年發電量見表4，計算過程中各流域主要電站的裝機容量與提取的特征值個數見表5。

從整體計算結果來看，不同來水場景下KL方法的發電量均略高于POA；從計算耗時角度分析，KL方法的總計算時間平均為10 s左右，POA方法為42 s左右，其計算效率約為后者的4.2倍。另一方面，KL方法考慮了電站的歷史調度樣本，對各種徑流情況的適應性更強，尤其隨著實際調度資料的不斷延長，提取到的特征變量代表性會更好，算法的整體收斂效率和收斂結果會不斷得到改善。計算表明，在采用30、40、50年不同長度歷史徑流系列對應的調度樣本進行KL建模優化計算時，流域中主要電站小灣和糯扎渡可提取的主要KL特征項均減少2個，其最終梯級年發電量也僅為當前優化結果的97.2%，側面反映出了KL方法優化調度對歷史調度經驗性的耦合。

表3 云南主要流域梯級水電站優化計算結果

表4 云南水電系統總年發電量及計算耗時

表5 各流域主要調節電站KL特征項個數統計

從表3和表4可以分析，KL 方法在瀾滄江、金沙江等大型流域梯級的電量結果優于POA 方法，但在龍川江、南盤江、李仙江等無大型年調節以上電站的主要河流支流，部分來水場景下低于POA方法，主要原因如下。由于瀾滄江小灣、糯扎渡水電站具有多年調節性能，調節庫容分別達到98.77億m3與113.35億m3，因而在不同來水場景下可能存在多種調節調度過程，說明基于調度過程特征的KL方法可以提取到更多有效特征建立KL表達式。以糯扎渡水電站為例，可以提取5個KL特征項，每個特征項對應一種典型調度過程，從而在優化搜索時更精準地給出符合實際來水過程的調度結果。相比而言，龍川江、南盤江等流域電站調節性能較差，可參與優化計算的季調節電站調節庫容較小，因此調節調度過程相對偏少，使得KL表達式中包含的有效特征也相對較少（見表4），KL方法優化計算結果的精度相對較低。部分流域歷史資料較短，例如李仙江梯級水電站，龍馬與居甫渡的資料長度分別為25年與30年，較其余電站50年的歷史資料系列偏短，導致調度特征識別的樣本集相對偏小，優化得到的電量略少于POA方法。

綜上分析，在使用KL方法時，水電站應具有較好的歷史調度樣本序列和較強的調節性能，這種類型電站進行歷史調度特征提取得到的特征項數目通常較多且具有代表性，更易得到較好結果。圖3某水電站特征值曲線

4.4 KL方法特征項敏感性分析根據上文分析，KL特征項的選擇會直接影響優化計算的結果和效率。為此，本節選擇單一水電站和梯級水電站進行特征項的敏感性分析。圖3是瀾滄江干流某水電站的KL特征值曲線。

根據3.3節中累計貢獻率計算方法，該水電站選擇了累計貢獻率前五的5個特征值及其對應的特征向量用來描述水庫調度時段末水位的KL展開式。為了分析特征值選取對于計算結果的影響，分別采用貢獻率排序前二的特征值與前三的特征值構建該水電站的KL表達式（簡稱為KL特征組合1 與KL特征組合2），進行水電站群優化調度計算，結果見圖4。

圖3 某水電站特征值曲線

圖4 KL特征項組合對比計算結果

從結果可以看出，在采用3個KL特征項構造末水位KL表達式時，電站的調度過程中棄水明顯減少，且在汛末及供水期初，電站的發電量有較大增幅，平均每月電量增發幅度達到5%左右。在8—9月中，采用2個KL特征項的調度結果出現了滿發情況下仍然放出水量的不合理調度過程，其汛后的發電能力也受到一定影響。而采用3個KL特征項的情況下，電站的調度結果比較合理。因此，按照貢獻率排序，特征項個數多的方案，其計算結果更優。該結果從數值實驗角度側面驗證了4.3節具有不同特征項的流域梯級調度結果的精度差異。

對于梯級水電站群而言，主要調節電站KL特征項的選擇對算法計算效率也存在一定影響。以瀾滄江干流梯級4座年調節水電站為例，選擇上述4.3節中平水年的來水條件，可以得到不同特征項個數下的計算結果，見表5。

從表6可以看出，主要調節電站的KL特征項選擇對梯級總的發電量結果和耗時均有較大影響。隨著特征項個數的增加，計算時間隨之增加，總發電量也相對增大。以瀾滄江干流梯級為例，當小灣、糯扎渡、大朝山、黃登4座電站的特征項均增加1個時，總發電量增加約2.4億kW·h，計算耗時增加了171 ms。因此，在使用KL方法求解梯級水電站的優化調度問題時，KL特征項的選擇是非常重要的，需要結合不同流域梯級的電站特性選擇適合的特征項個數，以有效均衡結果精度和計算效率。

表6 不同KL特征項個數下瀾滄江梯級電站的計算結果

4.5 隨機變量的概率分布分析在使用KL 展開建模時，隨機系數概率分布的選取要求滿足均值為0、方差為1的條件即可。然而，對于特定物理過程而言，選擇不同的概率分布都會直接影響KL方法優化計算的收斂速度和優化結果。上文已經給出了利用Kullback-Leibler 散度選擇特定電站隨機系數概率分布的方法步驟。本節采用小灣-糯扎渡雙庫系統進行驗證，結果見表7。

表7 電站隨機系數適用分布對比計算結果

通過表7可知，對于小灣、糯扎渡兩個多年調節水庫而言，在多年歷史樣本情況下，均勻分布對原系數分布擬合最好，損失信息特征最小，故選擇均值為0、方差為1的均勻分布作為KL 建模中隨機系數的概率分布，以切實反映實際水庫調度運行的水位變化規律。為進一步驗證其合理性，分別采用3種隨機系數分布進行對比分析，通過A、B、C三組分別建立KL展開表達式，對小灣-糯扎渡進行優化調度計算，結果見表8。

表8 不同隨機系數分布計算結果對比

可以看出，在可行域內以0.1步長進行搜索計算，A組梯級年發電量最高，說明采用均勻分布進行隨機系數組合計算，得到的KL 展開式更符合實際的時段末水位隨機過程；B、C 組的收斂時間雖然相對較短，但其隨機系數組合相對于均勻分布，對實際隨機過程的擬合程度較差，導致優化結果的精度較低。可見，隨機系數的概率分布會在很大程度上影響KL方法的收斂速度以及KL展開方程對實際隨機調度過程的擬合程度。

5 結論

本文針對超大規模水電系統的高效求解問題，以水電站群長系列實際調度過程數據為基礎，耦合KL展開與調度特征提取技術，提出一種大規模水電站群優化調度降維方法，通過云南省調超百座大中型水電站優化調度分析，獲得如下結論：（1）在水電優化調度中，采用長系列實際調度過程作為樣本，從中提取電站的主要調度特征以實現庫水位的準確數學描述，有助于削減模型涉及的變量個數，與經典DP方法相比，在同等計算條件下，其計算復雜度隨電站數從指數增長下降至線性增長，能夠顯著緩解“維數災”問題；（2）電站調節能力與實際調度過程的數據長短對KL方法的適用性有較大影響。本文實例中，KL方法在實際調度過程資料較長，且年調節及以上電站的優化調度中體現出更好的計算效果；（3）采用KL方法建模時，特征項的隨機系數概率分布直接關系到電站水位過程的確定。對于具有長系列調度數據的電站，采用Kullback-Leibler 散度量化評估原始隨機過程系數分布與預設分布的信息損失，能夠較好地確定隨機系數概率分布形式；（4）調度特征項的個數選取對KL方法的結果精度和計算耗時有較大影響，通常情況下，結果精度隨特征項個數的增加會得到改善，但計算時間也會隨之增加。因此在實際應用中，應結合水電系統的特征選擇適合的特征項參數。