滑塊碰撞次數與圓周率π的聯系

李開瑋

(廣東理工學院,廣東 肇慶 526100)

圖1 問題示意圖

1 問題提出

如圖1所示,水平光滑的地面上放置小木塊m,大木塊M,左端是固定的墻壁,初始時刻m靜止,M以初速度v0向左運動,將與m發生碰撞,之后m獲得速度向左運動,將與墻壁發生碰撞反彈,設所有碰撞均沒有動能損失,求碰撞次數．

解析:首先分析最簡單情況,若兩滑塊質量相等m=M,則M向左運動第1次與m碰撞,根據動量守恒和能量守恒,大木塊將把速度傳遞給小木塊,而自身靜止,m將以v0向左運動,直至與墻壁第2次碰撞,速度反向向右,大小不變,之后向右運動,與M第3次碰撞,同樣的道理,碰撞后,m停止,M以v0向右運動．碰撞次數一共為3.

若M≠m呢,總碰撞次數將是多少?接下來利用速度相空間法跟蹤兩滑塊碰撞過程,求解出碰撞次數．

2 速度相空間法

當兩滑塊質量不相等時,設M/m=k,以水平向右為正方向,設第n次碰撞后,m與M速度分別為un和vn,初始速度即為0和v0,當m與M速度向右,且m速率小于等于M速率時,碰撞結束,若第n次碰撞為兩滑塊間碰撞,則根據動量守恒、能量守恒有

mun+Mvn=mun-1+Mvn-1，

將兩滑塊碰撞前后速度用矩陣運算表示可得

(1)

若第n次碰撞為小滑塊與墻壁間碰撞,則小木塊速度反向,大木塊速度不變,表示成矩陣運算為

(2)

利用(1)、(2)迭代運算及碰撞結束時的限制條件,可以編寫計算程序,統計出碰撞次數,作者也編寫了一個MATLAB程序用于計算碰撞次數,代碼如圖2所示．計算結果如表1所示,通過計算數據可以發現碰撞次數與π的聯系．

圖2 MATLAB代碼

表1 碰撞次數隨著k的變化

圖3 速度相空間軌跡示意圖

mu1+Mv1=Mv0=C.

(4)

坐標移動到B點,根據(4)式有AB斜率為

(5)

第1次碰撞后,m將向左并與墻壁發生碰撞,速度反向,而M速度不變,因此第2次碰撞后速度坐標與B點關于水平軸對稱,位于圓上C點,之后發生第3次碰撞為兩滑塊間碰撞,同樣根據動量守恒得到類似(4)的等式

mu3+Mv3=mu2+Mv2=C.

(6)

(7)

由圓的幾何知識:一段圓弧對應的圓心角是圓周角的2倍,可知

(8)

(9)

(10)

3 總結

本文通過速度相空間的方法巧妙的求解了碰撞次數,將力學過程幾何化,直觀清晰,這也反映了物理與數學的內在關聯之美．