基于y＝Asin（ωx+φ）模型的動態數學課堂

王文義　朱惠英　何男

【摘 要】本文探究A、ω、φ對y=Asin（ωx+φ）函數圖象的影響，提出在課堂教學設計時，以航天事業為導學背景讓學生親自構建y=Asin（ωx+φ）模型，體會數學樂趣，提升建模能力;運用皓駿動態數學軟件將A、ω、φ對函數圖象的影響逐一進行動態展示，以期讓學生領會從特殊到一般、從具體到抽象的思維方法。

【關鍵詞】數學模型 數學建模 圖象變換 動態課堂

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）42-0075-03

本節課的內容選自人教A版高中第一冊第五章第六節，包含兩個知識點——勻速圓周運動的數學模型和函數y=Asin（ωx+φ）的圖象，兩個知識點屬于遞進關系。先通過數學建模引出函數y=Asin（ωx+φ），再研究函數圖象及其性質，符合學生的認知規律。在教學之前，學生已經學習了二次函數等一般函數圖象的平移變換，又在三角函數的圖象和性質中對周期變換有所涉及。本節課是對一般函數圖象變換內容的拓展，從“形”的角度上升到從“點的坐標”這一代數本質去理解圖象的變換規律。

一、教學目標與教學重難點

（一）教學目標

1.知識與技能目標

觀察、探索參數A、ω、φ對函數圖象的影響，能夠概括出三角函數圖象各種變換的實質和內在規律;會用圖象變換法畫出函數y=Asin（ωx+φ）的圖象。

2.過程與方法目標

通過對y=sin x到y=Asin（ωx+φ）函數圖象變換規律探索過程的體驗，培養學生觀察、探索的能力，領會從特殊到一般、從具體到抽象的思維方法，領悟數形結合的思想，從而達到從感性認識到理性認識的飛躍。

3.情感態度、價值觀目標

以中國航天事業為背景引入三角函數模型，激發學生探索宇宙的好奇心，弘揚偉大的航天精神;通過小組交流，形成合作意識;在解決問題的難點時，培養解決問題時抓主要矛盾的思想。

（二）教學重難點

1.教學重點

如何運用控制變量的方法來研究A、ω、φ對函數圖象的影響，將y=sin x的圖象變換為y=Asin（ωx+φ）的圖象。

2.教學難點

對y=Asin（ωx+φ）函數圖象的影響規律的發現與概括是本節課的難點。相對來說，A、φ對圖象的影響較為直觀，ω的變化引起圖象伸縮變化，而學生第一次接觸這種圖象變化，不太會觀察，形成認知難點。在教學中運用動態技術教學，使學生學會觀察圖象，掌握研究方法，理解圖象變化的實質，是攻克這一難點的關鍵。

二、動態教學技術

教師在教學中要與時俱進，巧妙地運用動態幾何軟件，把圖象的變換直觀形象地呈現給學生，而掌握皓駿動態數學V3.0軟件和幾何畫板應當成為數學教師必備的技術能力。本節課y=Asin（ωx+φ）函數表達式可以直接在皓駿動態教學V3.0軟件中輸入，對A、ω、φ分別輸入相應的變化范圍，得到三個變量尺;通過移動變量尺，就可以分別控制A、ω、φ的大小。例如，研究A對圖象的影響時，將ω調到1，φ調到0，通過移動A變量尺從而控制圖象的變化;也可以點擊動畫按鈕，隨著A的增大，圖象自動不斷地發生變化。動態數學既能增強趣味性，給課堂添加活力，又能直觀地展示出圖象的特征和性質。

三、教學過程

（一）航天精神，催人奮進

導學：同學們，知道我們國家為什么要建設自己的空間站嗎？早在2011年美國就頒布了“沃爾夫條款”，禁止中美兩國的雙邊航天合作。西方的阻撓和打壓并沒有澆滅我們的航天夢，中國航天人不畏艱險，自力更生，建設起了我們自己的太空家園。

設計意圖：培養學生的愛國主義情懷。中國航天精神要想一代代傳承下去，需要培養學生的愛國主義情懷;激發學生探索宇宙的興趣，敢于挑戰不可能。由于航空航天與數學息息相關，學生會更加重視數學學科的學習。

（二）創設情境，數學建模

1.創設情境，提出問題

“飛船的交匯對接技術是建設空間站的關鍵。如神舟十二號在交匯對接前，需要對‘天和’核心艙進行高精度的定位。同學們，你如果是地面測控人員，如何計算出核心艙的實時位置，將準確的坐標發送給聶海勝指令長呢？”

情景一：“天和”飛船繞地球一圈所用的時間為T，同學們能求出飛船的角速度嗎？

情景二：已知飛船的角速度為ω。以地心為中心建立直角坐標系，根據飛船上的傳感器測得飛船進入預定軌道時的初始角度為φ1，軌道半徑為A，在預定軌道運行時間為t。同學們能表示出飛船坐標的實時位置嗎？

2.數形結合，建立模型（見圖1）

設計意圖：采用分層作業的形式，在下節課請學生主動上講臺分享自己的解題思路和方法。

五、教學評價與教學反思

本節課通過中國航天知識來培養學生的數學建模能力，使其發現數學的奧妙，激發學生應用數學解決問題的興趣。控制變量的研究方法能化難為易，化繁為簡，無論是理科還是文科，都可以用它來思考問題。與其說它是一種研究方法，不如說它是一種邏輯思維。此外，在教學中運用數學動態技術軟件繪制的圖象更直觀、更生動形象，教師應多學習一些動態制圖軟件應用方法，這樣既能激發學生的興趣，又能讓學生更容易理解所學知識。

【參考文獻】

[1]王康帥.整體把握 精巧設問 教授方法 培養能力：“函數y=Asin（ωx+φ）的圖象”的教學設計與反思[J].中學數學教學，2016（6）.

[2]郝玉懷，薛紅霞.“函數y=Asin（ωx+φ）的圖像”教學實踐與分析[J].中小學數學（高中版），2011（Z1）.

[3]龔雪霜.數學實驗在高中數學探究教學中的應用研究[D].重慶：重慶師范大學，2016.

【作者簡介】王文義（1997— ），漢族，男，山東青島人，在讀碩士研究生，主要研究方向為數學教育;朱惠英（1999— ），漢族，女，廣西賀州人，在讀碩士研究生，主要研究方向為數學教育;何 男（1997— ），漢族，女，河南平頂山人，在讀碩士研究生，主要研究方向為數學教育。

（責編 唐玉萍）