空間解析幾何中一類多線共點問題的探討

李明浩

【摘要】 本文利用向量法和坐標法給出了空間解析幾何中一類多線共點問題的三種解法.一題多解可以培養學生的創新精神和發散性思維.

【關鍵詞】空間解析幾何;多線共點;向量法;坐標法

《空間解析幾何》是數學專業本科生的一門重要的基礎理論課程，主要研究空間線、面及其位置關系.多線共點問題是空間解析幾何中一類常見的問題.本文利用向量法和坐標法給出了這類問題的幾種解法，旨在培養學生從多角度分析問題和解決問題的能力，從而提升學生的創新精神和發散性思維.

下面我們以教材[1]中的一道多線共點問題為例，介紹這類問題的幾種解法.

例1 證明四面體對棱中點的連線交于一點且互相平分.

證明一 設四面體ABCD的六條棱AB，CD，AD，BC，BD，AC的中點分別為E，F，H，G，I，J，如圖1所示.連接EF并設EF的中點為O.連接IO，OJ，HO，OG，下面只需要證明IO=OJ，HO=OG即可.

對于上述例題，我們已知交點的位置，即位于對邊中點連線的中點.我們如果交點的位置不明確，可以嘗試利用向量法或坐標法先確定交點的位置.

例2 證明四面體對棱中點的連線交于一點.

解 設四面體ABCD及其各邊中點如圖1所示.連接HF和EG，顯然有HF=12AC=EG，因此四邊形HFGE為平行四邊形，對角線EF和HG交于一點且互相平分.從而可得該交點的位置.然后再利用例1的三種解法進行求解就可以了.

同理可得，如果O1與O3重合，則有λ1=λ3=3;如果O1與O4重合，則有λ1=λ4=3.因此λ1=λ2=λ3=λ4=3時，O1，O2，O3，O4重合，從而說明了四面體每一個頂點與對面重心所連的線段共點，并且該點到頂點的距離和到對面重心的距離之比為3∶1.

小 結

對于多線共點問題，如果已知交點的位置，則有如下兩種思路：

（1）先在一條直線上選中該點，然后利用向量運算證明其他直線也經過該點.

（2）在每條直線上設出這些點，然后證明這些點重合.另外，思路（1）和（2）也可以用坐標來計算，有時坐標運算會更加簡潔.

如果不知道交點的位置，可以采用向量法或坐標法確定該點的位置.

【參考文獻】[1]呂林根，許子道.解析幾何（第四版）[M].北京： 高等教育出版社，2006.

[2]呂林根.解析幾何學習輔導書[M].北京： 高等教育出版社，2006.

[3]程煒.向量方法在空間解析幾何教學中的應用[J].數學學習與研究，2015（5）：80，82.

[4]任琛琛，侯雨宏.共點線與共線點問題的探討[J].南昌師范學院學報，2019（6）： 1-6.