定積分的概念及其應用

胡林

【摘要】隨著科學的進步和文化的普及，學習方法成為學習數學的重要元素之一.在數學領域，學習方法尤為重要.而定積分是常用的一種解決問題的方法，則探究定積分解決問題的思路成為必須.

【關鍵詞】數學;分割;定積分

定積分是微積分學里很重要的內容，它不僅在數學中有很多應用，而且在物理學中也有很多應用.那么，定積分的概念以及其應用有怎樣的聯系呢？定積分的定義表達式怎樣向積分表達式進行切換呢？

一、定積分概念的產生

由上可知，我們通過特殊的分割方法，運用分割、求積、求和、求極限可以求出圖形的面積.很顯然，分割的方式以及取點的方式還有很多，計算還會更加復雜，那么，這樣的一個復雜的計算過程可以有代替的方法嗎？

我們通過驗證，可以找到這樣的方法，就是牛頓-萊布尼茨公式.我們可以對前面的問題的計算表達式設定新的數學符號表達式∫10exdx，該表達式稱為定積分表達式，這樣就有了定積分的概念.

那么，定積分概念中的元素怎么與定積分表達式中的元素建立聯系呢？用定積分思維解決的問題怎樣用定積分表達式表示呢？

我認為可以有如下步驟：

定積分表達式建立可以分為三個步驟：

1.確定積分變量

在定積分定義思維中，第一步是分割，那么，分割的對象就是積分變量.

2.確定積分上、下限

上、下限由積分變量所在的區間確定.

3.確定被積函數

在積分表達式中，被積表達式=被積函數×d積分變量.

則前面的問題可寫成：平面圖形的面積=∫10exdx=ex10=e-1.

二、定積分的應用

下面，我們通過案例來體會一下上面的建立定積分表達式的三個步驟：

2.1 定積分在幾何上的應用

2.1.1 用定積分求平面圖形的面積

綜上可知，利用數學思維解決問題的過程是從分析到解決的過程，這個過程在數學知識建構中，更多的是以模型的方式出現，即數學思維模式化.因而，當理解了解決某種類型問題解決的數學思想以后，我們如果能以記憶的方式來解決問題，就可以提高解決問題的效率.以上，就是通過案例以及思維步驟來體會定積分模式化思維的應用.

三、定積分在數學應用中的現狀及存在的問題

3.1 定積分在數學應用中的現狀

定積分的微元思想在實際應用中，可以求平面圖形的面積、求立體幾何的體積、求曲線的弧長.《高等數學》與《數學分析》教材中都有該部分內容.

3.2 定積分存在的問題

在很多教材中，對于定積分表達式的建立，給出的思維步驟過于抽象，學生不能在問題解決的過程中寫出正確的定積分表達式，這是很多數學內容構建方面存在的問題.對于學生而言，數學思維已很復雜和抽象，再去理解數學符號語言表達的思維就更難了.

四、定積分的發展趨勢

4.1 教材內容語言表達方式

定積分的微元思想在具體問題中呈現時，應在實例表達中明確以下幾點：

1.指出微元是誰.

2.指出微元計算公式是什么.

3.指出怎么求微元計算公式中的成員.

4.2 教材內容呈現的方式

將實際問題作為案例來呈現，使內容符合學生的認知結構，而不是空中樓閣.

4.3 教師的教學語言改革

數學教師都是在嚴謹的數學語言訓練中成長的，在教學過程中，也常用嚴謹的數學語言進行教學，而對于大多數學生而言，這種語言就像天書，云里霧里，難以理解.故在教學中，教師應將語言形象化、語言邏輯化，以貼近學生的語言進行教學，例如：微元是長方形，微元計算是長×寬，若分割x，則寬為dx，長為上面曲線的縱坐標-下面曲線的縱坐標，標記為y上-y下.語言是人類交流的方式，教師與學生交流時，理所當然要以學生語言形式進行教學，并在此基礎上，再將語言數學化.

【參考文獻】[1]華東師范大學數學系.數學分析（上冊）（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]同濟大學數學系.高等數學（上冊）（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2002.