極限運算時最容易忽略的兩個問題

丁艷風

【摘要】極限是分析學科的工具.本文主要論述了初學者在求極限時易忽略的兩種情況：首先分析了等價無窮小代換在加減中怎么使用，從而避免學生在求極限時發生類似的錯誤;其次分析了當函數表達式復雜時，如何使用泰勒公式簡化函數，便于求極限，同時總結了使用泰勒公式的技巧，為學生后續求極限提供了解題效率更高的方法.

【關鍵詞】極限;等價無窮小代換;泰勒公式;麥克勞林公式

引 言

高等數學的研究對象是函數，而研究函數的工具是極限.這就決定了高等數學中的許多基本概念都以極限思想為基石，因此，學好極限對高等數學的學習有著舉足輕重的作用.函數的極限運算是高等數學的核心內容之一，而選擇極限的計算方法的合適與否，直接關系到計算過程是否簡便快捷及計算結果是否正確.筆者通過大量的實踐教學發現：在求極限的過程中，學生最易忽略也最易出錯的兩個問題：一、等價無窮小代換在加減中的使用;二、泰勒公式在求極限中的化繁為簡的運用.針對以上兩個問題筆者利用例子來分析和研究.

一、等價無窮小代換在加減中的使用

等價無窮小代換是解決 “00”型未定式極限的一個非常有效的途徑和手段.在高等數學教材中，等價無窮小代換定理僅僅以極限積或商的形式表現等價無窮小代換，并沒有給出該方法的使用局限性和適用范圍.特別是對于解決“0-00”或“0+00”型未定式極限時，學生在利用等價無窮小代換定理計算極限時往往容易出錯，究其原因是學生沒有弄清楚代換的條件及對象.另外就是對無窮小的等價概念模糊不清，導致出現許多學生亂套公式的現象.因此，教師應對此問題加以強調和關注.

1.幾種常見的等價無窮小

首先弄清楚一個概念：無窮小是相對于一個極限過程而言的，一個變量在某個極限過程中是無窮小量，在另一個極限過程中就不一定是無窮小量了.如sin x在x→0時是無窮小量，但是在x→1或x→π2時，都不是無窮小量，所以在使用等價無窮小代換時首先應準確判斷一個量是否為無窮小量.

顯然，我們在滿足定理條件時使用等價無窮小代換就不會出錯了.其實，除了分子是某兩個等價無窮小量的和或差可以用等價無窮代換外，分母是兩個無窮小量的和或差也有相同的結論，因為有下面的定理.

當然，若先使用換元法把x2化為t，再使用洛必達法則也很容易就能解決本題;也可以使用泰勒公式進行計算，這就是我們接下來要講的另一個學生不易想到的問題.

二、泰勒公式在求極限中的化繁為簡的運用

求函數極限的方法有很多，對于“00”“∞∞”等型未定式，我們常用的是洛必達法則，此法則簡單易掌握，但具有一定的局限性，即對于繁雜的函數并不適用.當遇到使用洛必達法則求極限越求導越麻煩時，我們不妨換一下思路，利用泰勒公式進行求解，因為泰勒公式不僅能起到化繁為簡的作用，也能解決大多方法解決不了的問題.接下來，我們將對利用泰勒公式計算“00” 型未定式極限的方法進行探討.

1.泰勒公式和麥克勞林公式

由a，b和c可知，由于每個函數變量的冪次不同，它們展開的次方也多少有點差異.若將三個函數展開到x的3階以下，無法求出正確的極限;若將三個函數展開到x的6階以上，可以正確求出極限，但x6后面的更高階的因式與x4作商求極限后均為 0，無計算的必要，所以三個函數sin x2，sin x，sin 2x分別展開到6階、5階、5階最合適.故由例3可以總結如下：

利用泰勒公式對形如“ 00” 型未定式求極限，遵循 “上下幾乎同階原則”，即將分子上的函數展開到與分母同冪次或接近的項即可.

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