基于APOS理論的一致連續(xù)函數(shù)概念教學(xué)探析

王俏敏

【摘要】函數(shù)的“一致連續(xù)性”是數(shù)學(xué)分析中極具抽象性的一個(gè)基本概念，而函數(shù)一致收斂性概念本身的強(qiáng)抽象性導(dǎo)致學(xué)生在理解上有一定的困難.本文以APOS理論為依據(jù)，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的四個(gè)階段：（1）創(chuàng)設(shè)問題情境，引出新知識(shí);（2）展示探究過程，理解概念;（3）構(gòu)造對(duì)象實(shí)體，把握概念性質(zhì);（4）建立深層圖式，形成概念體系.希望能幫助學(xué)生理解一致連續(xù)函數(shù)這一抽象概念.

【關(guān)鍵詞】APOS理論;連續(xù)函數(shù);一致連續(xù)函數(shù);ε-δ定義

一、引 言

函數(shù)的“一致連續(xù)性”反映了函數(shù)在某一給定區(qū)間上的整體性質(zhì)，是數(shù)學(xué)分析中極具抽象性的一個(gè)重要概念，它有助于研究函數(shù)的變化趨勢(shì)及性質(zhì)，同時(shí)在微積分以及其他學(xué)科中常常被用到，是微積分學(xué)的理論基礎(chǔ).

二、APOS理論

APOS理論堅(jiān)持一個(gè)原則，即一個(gè)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)與它在個(gè)人頭腦中的發(fā)展有著密切的關(guān)系.根據(jù)APOS理論，個(gè)體依序建構(gòu)了心理活動(dòng)、程序和對(duì)象，最終組織成用以理解問題情境的圖式結(jié)構(gòu).

操作階段是指?jìng)€(gè)體或?qū)W習(xí)者通過一步一步的外顯性（或記憶性）指令去變換一個(gè)客觀的數(shù)學(xué)對(duì)象，一個(gè)數(shù)學(xué)概念就開始形成了.

過程階段是指當(dāng)一個(gè)人重復(fù)和反思一個(gè)行為時(shí)，它可能內(nèi)化為一個(gè)心理過程.過程是一種心理結(jié)構(gòu)，它執(zhí)行與內(nèi)化的活動(dòng)相同的操作，但完全在個(gè)人的頭腦中，因此使她或他能夠想象執(zhí)行轉(zhuǎn)換而不必外顯式地執(zhí)行每個(gè)步驟.

對(duì)象階段，如果個(gè)體或?qū)W習(xí)者意識(shí)到一個(gè)過程是一個(gè)整體，意識(shí)到轉(zhuǎn)換可以作用于這個(gè)整體，并且可以構(gòu)造這樣的轉(zhuǎn)換，那么我們說個(gè)人已經(jīng)把這個(gè)過程壓縮成一個(gè)認(rèn)知對(duì)象.

圖式階段，雖然這些結(jié)構(gòu)描述了個(gè)體如何構(gòu)建單一轉(zhuǎn)換，但一個(gè)數(shù)學(xué)主題通常涉及許多動(dòng)作、過程和對(duì)象，需要將它們組織起來并連接到一個(gè)緊湊的框架中，這個(gè)框架就是圖式.

三 基于APOS理論的函數(shù)一致連續(xù)性的教學(xué)設(shè)計(jì)

操作階段——?jiǎng)?chuàng)設(shè)問題情境，引出新知識(shí)

第一步：復(fù)習(xí)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的概念，根據(jù)定義證明下題.

定義1 設(shè)函數(shù)在某鄰域U（x0）上有定義，若對(duì)任意的ε>0，存在δ>0，使得當(dāng)|x-x0|<δ時(shí)有|f（x）-fx0|<ε，則稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0連續(xù).

例1 證明函數(shù)f（x）=1x在區(qū)間（0，1）上連續(xù).

證明 任取x0∈（0，1），對(duì)任意的ε>0，由于x→x0，不妨限制x-x0x02.要使f（x）-fx0=1x-1x0=x-x0xx0<2x20x-x0<ε，只需取δ=min x02，x202ε，則當(dāng)x-x0<δ，總有|f（x）-fx0|<ε，故f（x）在x0連續(xù).由x0的任意性可知f（x）=1x在區(qū)間（0，1）上連續(xù).

教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)和總結(jié)：在這個(gè)定義中關(guān)鍵是理解δ的存在性，能否理解δ的存在性、找到合適的δ是學(xué)生對(duì)函數(shù)連續(xù)性理解出現(xiàn)層次分化的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).在復(fù)習(xí)舊知識(shí)的過程中出現(xiàn)了一個(gè)應(yīng)用連續(xù)函數(shù)定義證明的過程，這實(shí)際上是連續(xù)函數(shù)的圖式階段.APOS理論強(qiáng)調(diào)了個(gè)體現(xiàn)有的數(shù)學(xué)概念圖式在新知識(shí)建構(gòu)中的重要作用.

第二步：新的問題情境，引出新知識(shí)——函數(shù)的一致連續(xù)性.

問題1：對(duì)于定義1中的δ，如果固定ε，那么對(duì)于不同的x0，δ是否一樣？

借助曲線f（x）=1x的圖像，取兩個(gè)不同的點(diǎn)x1，x2，其中x1靠近x=0點(diǎn)，x2遠(yuǎn)離x=0點(diǎn)，同時(shí)保證|f（x）-f（x1）|<ε，|f（x）-f（x2）|<ε，即函數(shù)值的變化范圍都為ε.如此容易觀察出在兩點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的δ不同，δ的取值除依賴于ε之外，還與點(diǎn)x有關(guān).這樣的實(shí)例使學(xué)生認(rèn)識(shí)到在某點(diǎn)連續(xù)的概念中所存在的δ的大小不僅依賴于ε而且依賴于點(diǎn)x的位置.此處教師可借助幾何畫板等軟件以動(dòng)態(tài)的形式展示出來，幫助學(xué)生獲得直觀的認(rèn)識(shí).

問題2：既然每一個(gè)x都有相應(yīng)的δ與之對(duì)應(yīng)，那么如果x取遍整個(gè)區(qū)間I，是否會(huì)存在一個(gè)公共的δ>0，使得對(duì)任何x′，x″∈I，只要|x′-x″|<δ，就有|f（x′）-f（x″）| <ε呢 ？

學(xué)生容易從圖像中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，x越趨近于0，函數(shù)值變化越大，而且δ越來越小且無限接近0，即找不到公共的δ>0，也即對(duì)于例1中的連續(xù)函數(shù)來說，找不到一個(gè)公共的δ>0，使得對(duì)任何x′，x″∈I，只要|x′-x″|<δ，就有|f（x′）-f（x″）| <ε.

問題3：是否存在“使δ的取值只與ε有關(guān)而不受x0的位置限制”的連續(xù)函數(shù)？引出函數(shù)一致連續(xù)（較強(qiáng)的概念）的定義.

根據(jù)APOS理論，在操作階段，學(xué)生需要完成一系列外顯的指令來改變數(shù)學(xué)對(duì)象，而函數(shù)的一致連續(xù)性這個(gè)數(shù)學(xué)概念的形成，是對(duì)已有數(shù)學(xué)概念——函數(shù)連續(xù)性的進(jìn)一步抽象概括.所以，教師首先從函數(shù)的連續(xù)性復(fù)習(xí)引入，并且在此階段，創(chuàng)設(shè)了一系列的問題情境，通過問題情境的呈現(xiàn)讓學(xué)生感受新概念，引起學(xué)生對(duì)新概念的思考，為后續(xù)獲得函數(shù)一致連續(xù)性概念打好了基礎(chǔ)，同時(shí)為進(jìn)入APOS的下一階段做好認(rèn)知準(zhǔn)備.

過程階段——展示探究過程，理解概念

第三步：通過具體問題形成對(duì)函數(shù)一致連續(xù)性的直觀認(rèn)識(shí).

問題5：我們找到了這樣一個(gè)連續(xù)函數(shù)，δ的取值不受x0的位置限制而只與ε有關(guān)，那么是否能找到問題2所說公共的δ>0呢？

學(xué)生經(jīng)過上一階段對(duì)公共的δ>0的尋找，可以直接在腦海里想象到f（x）=1x在[c，+∞）（c>0）的圖像相對(duì)平緩，而且經(jīng)過上一階段的動(dòng)態(tài)展示，對(duì)該函數(shù)圖像有了了解，可以明確當(dāng)x越靠近c(diǎn)（c>0）時(shí)，函數(shù)值變化越大，同時(shí)δ越來越小，但在接近0的同時(shí)會(huì)存在一個(gè)最小值，也就是可以找得到公共的δ>0.

此時(shí)可以借助數(shù)形結(jié)合思想向?qū)W生說明公共的δ（ε）的含義.我們不妨就此問題進(jìn)行講解：在例2中，δ除了可以取最小值δ0=c2ε外，還可以取δ1=2c2ε，δ2=3c2ε，…，而c2ε是最小值，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)|x-x0|<δ0<δ1<δ2<…時(shí)，有|f（x）-f（x0）|<ε.

依據(jù)APOS理論，在過程階段，學(xué)生借助幾何直觀，對(duì)特定函數(shù)圖像進(jìn)行觀察、比較、分析、歸納等一系列的數(shù)學(xué)活動(dòng)探究過程，可以從具體的外顯觀察活動(dòng)過渡到內(nèi)隱的抽象分析過程，加深其對(duì)函數(shù)一致性概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解.

對(duì)象階段——構(gòu)造對(duì)象實(shí)體，把握概念性質(zhì)

第四步：形成對(duì)概念的整體認(rèn)識(shí)，把握概念的實(shí)質(zhì)，賦予嚴(yán)格的形式化和符號(hào)化定義.

問題6：類比連續(xù)函數(shù)的ε-δ定義，給出函數(shù)一致連續(xù)性的定義.注意：此時(shí)的兩點(diǎn)是任意兩點(diǎn)，δ是適合于I上所有的點(diǎn)x的公共區(qū)域.

定義2 設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù).若對(duì)任意的ε>0，存在δ=δ（ε）>0，使得對(duì)任何x′，x″∈I，只要|x′-x″|<δ，就有|f（x′）-f（x″）|<ε，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù).

第五步：通過舉例證明，鞏固概念理解.

問題7：你能用準(zhǔn)確嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)非一致連續(xù)的定義嗎？

定義3 設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù).若存在一個(gè)ε0>0，對(duì)任意的δ=δ（ε）>0，存在x′，x″∈I，且|x′-x″|<δ，有|f（x′）-f（x″）|≥ε0，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上非一致連續(xù).

根據(jù)APOS理論，在對(duì)象階段，學(xué)生需要判斷函數(shù)的一致連續(xù)性和非一致連續(xù)性，故應(yīng)該對(duì)上一階段抽象出的概念的一些本質(zhì)特征“公共的ε>0，對(duì)于任意兩點(diǎn)，只要它們的距離小于δ=δ（ε），就可使|f（x′）-f（x″）|<ε”賦予形式化和符號(hào)化的定義——定義2，進(jìn)而使它壓縮成為一個(gè)具體的對(duì)象，然后學(xué)生運(yùn)用它來判斷（非）一致連續(xù)性或一致連續(xù)性的性質(zhì)等.

圖式階段——建立深層圖式，形成概念體系

第六步：總結(jié)連續(xù)與一致連續(xù)的關(guān)系與區(qū)別，構(gòu)成知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

問題8：用類似于定義2的表述方式給函數(shù)在區(qū)間連續(xù)下定義，從對(duì)比的角度深入理解兩個(gè)概念.

定義4 設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上有定義.任取x0∈I，若對(duì)任意的ε>0，總存在δ（ε，x0）>0，使得當(dāng)|x-x0|<δ時(shí)，有|f（x）-f（x0）|<ε，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上連續(xù).

（1）函數(shù)一致連續(xù)性是一個(gè)整體概念，而連續(xù)性是局部概念.

（2）函數(shù)一致連續(xù)性可推出函數(shù)連續(xù)，但函數(shù)連續(xù)不一定一致連續(xù)，因此一致連續(xù)性是更強(qiáng)的概念.

（3）兩個(gè)概念的本質(zhì)區(qū)別在于δ，一致連續(xù)定義中存在的δ與x∈I的選取無關(guān)，是公共的，而連續(xù)性概念中的δ與所選取的x∈I有關(guān).也就說如果能找到公共的δ，則連續(xù)性進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為一致連續(xù)性.

根據(jù)APOS理論，在圖式階段中，學(xué)生需要建構(gòu)新概念與已有概念之間的聯(lián)系.在此階段，學(xué)生對(duì)連續(xù)性與一致連續(xù)性進(jìn)行聯(lián)系與比較，而學(xué)生之前已經(jīng)將連續(xù)性與函數(shù)極限等概念形成了聯(lián)系，進(jìn)而對(duì)概念又有了進(jìn)一步深入的理解，并構(gòu)成圖式，為后續(xù)新概念的學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備.

從認(rèn)知心理學(xué)的角度出發(fā)，APOS理論揭示了學(xué)習(xí)者主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的過程，展示了學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知發(fā)展階段，因而本文運(yùn)用APOS理論對(duì)函數(shù)一致連續(xù)性概念進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)分析，借此幫助學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)雜的或抽象的數(shù)學(xué)概念，弱化學(xué)生在學(xué)習(xí)理解過程中遇到的思維障礙點(diǎn)，進(jìn)而讓教師可以更具針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué).

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