小型電動無人機航程航時估算模型

張茂權，陳海昕

清華大學 航天航空學院，北京 100084

小型無人機通常是指起飛重量不大于25 kg，最大飛行高度小于120 m的一類無人機[1]。由于其振動小、無污染、無排放等優勢，已經成為無人機領域的發展熱點[2]。小型無人機通常采用蓄電池作為能源，運載存儲方便、使用靈活，其原理驗證機制作簡單，時間周期短。以小型無人機為平臺，可以展開電動飛機設計方法、效率等方面的研究，也能搭載一定載荷完成航拍、測繪、監視等任務，在科學研究和實際應用方面都有重要價值[3-4]。

傳統的飛機設計中，布雷蓋公式[5]建立了飛機燃油消耗和航程航時之間的關系，根據燃油重量和耗油率可估算飛機的航程航時，并能獲得達到最大航時(久航)和最大航程(遠航)飛行的最佳飛行參數。對于電動飛機而言，電池放電過程不涉及重量的變化，布雷蓋公式不再適用[6]。電池的放電功率取決于當前的飛行狀態，一般而言，可以通過當前飛行參數計算得到電池的放電功率，進而可以得到航程航時與電池容量的關系[7]。然而蓄電池放電過程受到Peukert效應[8]的影響，電池的有效容量并非恒定，而是會受到放電電流的影響，電池的電壓在放電過程中也不斷降低，因此準確估計電動飛機的航程和航時，首先需要建立電池的放電模型。

此外，電池電壓的變化將影響電機的工作狀態，進而影響到螺旋槳的推力和扭矩，對飛行狀態產生影響，需要設計合適的能量控制和優化控制方法[9]。本文首先通過理論分析建立了電機和螺旋槳構成的推進系統模型，然后結合飛行過程中的功率消耗實現了對航程航時的預測，并通過與實驗數據對比，驗證了理論模型的正確性。

1 鋰電池放電模型

Peukert提出在電池放電過程中電池容量C、放電電流I和放電時間t有以下關系：

C=Int

(1)

式中：Peukert系數n是與電池類型和溫度有關的放電參數[8]，n=1時放電電流與放電時間成反比，二者乘積It(電池有效容量)為定值，此時該電池稱為理想電池。實際情況下n通常大于1，如Peukert提出鉛蓄電池的n值為1.3，此時放電電流與放電時間的乘積It(電池有效容量)小于電池的標準容量C，且放電電流越大有效容量越小，通常把這種現象叫做電池的Peukert效應。

Traub分析了Peukert效應對電動飛機巡航飛行的影響，推導了不同Peukert系數與航程航時的關系，并通過迭代計算得到了恒功率條件下電池的放電曲線[10]。文獻[11]也利用Peukert效應較為準確地預測了電動飛機的航程航時，他們的研究基于飛機定常平飛時功率消耗恒定的情況，但Doerffel和Sharkh指出對于功率變化較大的放電過程，Peukert效應不再適用[12]。

針對特定品牌和型號的蓄電池，其放電曲線往往是生產商通過多次實驗測量得到的，數據準確可靠，并會提供給消費者以便進行電池選擇以及實驗研究。Tremblay等基于簡單實用的電池放電模型，提出了一種根據電池放電曲線估計放電模型參數的方法[13]。在本文的研究中，為了得到更為理想的結果，對Tremblay提出的方法進行了改進，采用粒子群[14](Particle Swarm Optimization，PSO)方法搜索得到模型參數，并利用放電實驗數據驗證了模型的準確性。

本文所采用的鋰電池數學模型，可以用一個電壓源E與一個電阻R串聯起來表示，如圖1所示，并滿足下面幾點假設：

1) 電池的內阻在充放電過程中保持恒定，且不受電流大小的影響。

2) 不考慮Peukert效應[8]，電池的容量保持恒定。

3) 忽略溫度對電池放電的影響。

電壓源E可以表示為當前放電電流i的函數：

(2)

圖1 鋰電池放電模型Fig.1 Lithium battery discharge model

電池的外電壓可以表示為

Vbat=E-Ri

(3)

表1為型號為XP22003ECO電池的技術參數，可得知該電池是由3節3.7 V的鋰電池串聯起來，標準容量2 200 mA·h，標準電壓11.1 V。

圖2是該電池以10 C和20 C倍率進行放電(對應放電電流分別為22 A，44 A)實驗得到的放電曲線，可知以10 C(22 A)的放電倍率進行放電，完全放電的時間約為6 min。

根據Tremblay的方法，放電曲線可以分為標準放電區域和指數放電區域[13]，人為估計兩個區域的電壓值和電池容量，模型參數K、A和B

表1 XP22003ECO鋰電池參數Table 1 XP22003ECO battery parameters

圖2 ECO 2 200 mA·h鋰電池放電曲線Fig.2 ECO 2 200 mA·h battery discharge curves

可用下面的方法得到：

A=Efull-Eexp

(4)

(5)

(6)

E0=Efull+K+Ri-A

(7)

式中：Efull表示充滿電時的電壓值；Eexp表示指數放電區域結束時的電壓值；Qexp表示指數放電區域結束時的電池容量；Enorm和Qnorm表示標準放電區域結束時的電壓值和電池容量。

然而圖2中鋰電池放電曲線的指數區域和標準區域分界并不明顯，繼續采用人工估計的方法可能得到比較大的誤差，因此本文采用粒子群算法對Eexp、Qexp、Enorm和Qnorm進行搜索，將仿真模擬結果與實驗數據的差值作為目標函數，進而確定鋰電池模型。根據10 C倍率放電曲線得到的模型參數如表2所示，為了驗證所得模型的準確性，用20 C放電倍率的實驗數據與模型結果對比，結果見圖3，實驗放電曲線與理論結果基本相似，該模型能較好地模擬鋰電池的放電過程。

至此得到了鋰電池放電的近似模型，改變電流值即可模擬在任意工作條件下的放電過程，為了保護電池延長使用壽命，實際中極少會讓鋰電池完全放電，本文在后續的仿真中當放電至容量Q小于額定值的90%時，停止放電，認為鋰電池耗盡。

表2 電池模型參數Table 2 Battery model parameters

圖3 鋰電池放電模型結果與實驗結果對比Fig.3 Model results vs experiment results of battery discharge

2 無刷直流電機模型

無刷直流電機(BLCD)的特性通常與Kv(r/min/V)值、空載電流I0(A)和內阻Rm(Ω)3個常數有密切的關系[16]。Kv值表示空載時每伏電壓下的每分鐘轉速，相同電壓情況下Kv值越大，轉速越高對應輸出扭矩越小?？蛰d電流I0和內阻Rm表征電機為了克服機械阻力、磁滯和渦流損耗需要額外做的功。通常情況下，無刷直流電機可以等效為圖4的形式[16]，據此可以計算輸出功率Pout和轉速n：

Pout=Im·Vm=(Iin-I0)(Vin-IinRm)

(8)

n=Kv·Vm=Kv(Vin-IinRm)

(9)

電機的效率可表示為

η=Pout/Pin=(Iin-I0)(Vin-IinRm)/(IinVin)

(10)

由式(10)可知，對于確定的輸入電壓Vin，存在一個工作電流Iin使得無刷直流電機工作在最佳效率點，由于Iin由負載如螺旋槳決定，因此根據負載選擇合適的電機型號，能使電機螺旋槳推進系統效率達到最佳。

本文選取了兩款電機[17]作為研究對象，其基本信息如表3所示。

圖4 無刷直流電機模型[16]Fig.4 BLDC motor model[16]

表3 電機參數Table 3 Motor parameters

由式(8)～式(10)可知，電機輸出功率Pout取決于輸入電流和電壓，當螺旋槳和電機直接相連時，螺旋槳獲取的功率將等于電機的輸出功率，同時二者轉速相同。以飛機定常平飛為例，螺旋槳需要提供的拉力取決于飛機受到的阻力，也就是與飛行速度、飛行攻角等飛行狀態有關，飛行狀態同時決定了螺旋槳需要的轉速，便可以求出維持電機運轉的電壓和電流大小。而在螺旋槳拉力測試實驗中，將通過控制電機輸入電壓來得到不同拉力值。

3 螺旋槳氣動模型

螺旋槳的氣動模型可以通過葉素理論、動量盤理論等方法建立[18]，但是這些方法都需要提供螺旋槳的三維模型。實際中小型無人機螺旋槳多從市場上選擇得到，螺旋槳的三維幾何難以獲取。為了建立不同來流速度下螺旋槳推力和扭矩與轉速的關系，本文利用風洞試驗數據擬合得到螺旋槳前進比與功率系數和推力系數的關系，進而計算得到推力和扭矩。

螺旋槳氣動模型建立在UIUC螺旋槳風洞試驗數據基礎上[19-20]，螺旋槳的推力和功率可以利用推力系數CT和功率系數CP分別計算得到。

T=CTρN2D4

(11)

P=CPρN3D5

(12)

式中：ρ表示空氣密度；N表示螺旋槳的轉速；D表示螺旋槳直徑。圖5給出了“GWS DD(Direct Drive)1170”(前兩位數字代表螺旋槳的直徑，后兩位數字代表螺旋槳的螺距，單位in,1 in=2.54 cm)螺旋槳在不同轉速和來流速度下的實驗數據，橫坐標J表示螺旋槳的前進比，定義為

(13)

式中：v表示垂直于螺旋槳槳盤的來流速度。前進比J表征了來流速度和槳尖速度的相對大小,前進比越大，槳葉的實際攻角越小。

圖5 GWS DD1170螺旋槳試驗數據擬合曲線Fig.5 GWS DD1170 propeller test results fitted curves

如圖5所示，在4種不同的轉速下，螺旋槳的功率系數或拉力系數表現出相似的關系，因此可以忽略轉速的影響，將功率和拉力系數認為只是前進比J的函數，據此可以用多項式擬合得到功率系數CP和拉力系數CT與前進比J的關系為

CP=p1J2+p2J+p3

(14)

CT=t1J2+t2J+t3

(15)

式中:p1～p3和t1～t3均為擬合系數。

本文選取同一型號3種不同直徑的螺旋槳進行研究，得到的參數如表4所示。

因此，根據式(11)～式(15)，可以計算螺旋槳在任意來流速度和轉速下的推力、需用功率及扭矩，結合前文電機的模型，就能計算出需要輸入的電壓電流大小，進而計算得到在任意飛行狀態需要消耗的電能。

表4 螺旋槳模型參數Table 4 Propeller model parameters

4 電機螺旋槳模型驗證

上述螺旋槳的相關擬合模型基于風洞試驗數據，其中來流速度不為零。為了驗證電機螺旋槳模型的有效性，本文采用靜推力實驗數據[17]與仿真數據進行對比，驗證所得模型的合理性，仿真計算流程如圖6所示。

靜推力仿真計算中，在仿真模型中給定電機的輸入電壓，螺旋槳的功率等于電機輸出功率，由于傳動比為1，螺旋槳的轉速就是電機的轉速，便可以計算得到實際工作電流，以及產生的推力值和實際轉速。

選用表3中的電機和表4中的螺旋槳，一共進行了5組推力仿真與實驗對比,電機和螺旋槳分組如表5所示。

由圖7可知，模型得到的靜推力值、電流值、轉速值和功率都與實驗結果相近，推力誤差小于9.3%，功率誤差小于9.5%。盡管螺旋槳模型是從風洞試驗數據擬合得到，且是在來流速度遠大于零的情況下進行的擬合，但實驗證明該模型同樣適用于靜推力的計算。因此推斷該模型可以適用任意來流速度的情況。

此外，由圖7可知，大多數情況下，模型得到的結果都略低于實驗結果，其中一個可能的原因是CT和CP的擬合計算值在前進比為零的時候比真實值大，根據式(11)和式(12)，得到的轉速就會比實際值偏小，因此推斷推力功率和電流都比實驗結果偏小。該誤差在前進比接近零的時候較為明顯，實際情況中前進比通常大于零，因此推斷本文所建立的電機螺旋槳模型可以用于計算任意飛行速度下的推力、功率值，進而計算電池的能量消耗。

圖6 電機螺旋槳仿真計算流程Fig.6 Motor-propeller simulation pipeline

表5 推力實驗分組Table 5 Thrust experiment groups

圖7 仿真與實驗結果對比Fig.7 Comparison of simulation results and experiment results

5 電動飛機航程航時估計

前文建立了電池、電機和螺旋槳組成的動力系統模型，本節將用該模型估算電動飛機的航程航時，為小型電動無人機的總體設計提供參考。

5.1 飛機模型

文獻[10]中給出了用于航程航時估計的某小型電動無人機總體參數，如表6所示。

其中起飛總重W=9.34 N，除去選用電池重量[22]，飛機的重量為W0=6.70 N，飛行速度用U

表6 某小型無人機參數[10]Table 6 Parameters of a small UAV[10]

表示，無人機的零升阻力系數CD0與升力系數CL之間的關系為

(16)

機翼面積Sw=0.32 m2，由此可以得到阻力和升力分別為[23]

D=0.5ρU2SwCD

(17)

L=W=0.5ρU2SwCL

(18)

理論上取得最大航程時無人機的升、阻力系數滿足：

(19)

取得最大航時無人機的升、阻力系數滿足：

(20)

無人機在兩種情況下的理論最佳飛行速度(遠航速度UR與久航速度UE)分別為

(21)

(22)

本文選擇用來估計航程航時的電機型號為朗宇(Sunny Sky)x2216，螺旋槳選用GWS1060，在專用于小型無人機估算的商業軟件MotoCalc[24]中選擇對應的電機、螺旋槳和設置對應的飛機參數，可以得到軟件的計算值。

5.2 電池容量對航程航時的影響

電池容量對無人機的航程航時有著決定性的影響，圖8給出了4種不同容量的電池，將本文建立的模型對航程航時估算結果與MotoCalc估算的結果進行對比，二者的變化趨勢及結果都較為符合。

根據遠航速度UR和久航速度UE的計算公式可以得到其理論值(UR=11.9 m/s,UE=9.1 m/s )，根據本文模型估計的遠航速度和久航速度都接近理論值，但在UR和UE附近的航程和航時略大于MotoCalc的結果，可能的原因是表6中的k值在實際中并非定值，而是與誘導阻力相關的一個系數，會隨飛行速度改變，MotoCalc的估算中考慮到了k的影響，而本文僅針對動力系統的航時評估，沒有考慮到飛行時阻力系數的變化。

此外，由圖8中航程和航時與飛行速度的關系可知，增加電池容量，可以帶來航程和航時的提升，同時也會增加整機的重量，但圖中結果表說明，對于本文所分析的小型無人機，電池容量增加帶來的航程航時上的收益大于重量增加帶來的影響。

圖8 電池容量對航程航時的影響Fig.8 Range and endurance estimation on different battery

6 結 論

本文提出了一套通過試驗數據和理論分析建立電動飛機動力系統模型的方法，該模型包含鋰電池放電模型和電機螺旋槳構成的推力模型，模型與試驗結果吻合良好，能夠較為準確地估計飛行過程中螺旋槳的功率、推力及消耗的電能，可作為小型電動無人機總體設計的有力參考。通過仿真電池放電過程，可準確估算出電動飛機的航程和航時，為小型電動無人機的性能評估提供了一套分析方法和工具。