平面S波在飽和多孔熱彈性介質(zhì)邊界的反射問題研究

柳鴻博, 周鳳璽,2, 郝磊超

(1. 蘭州理工大學 土木工程學院, 甘肅 蘭州 730050; 2. 西部土木工程防災減災教育部工程研究中心, 甘肅 蘭州 730050)

0 引言

隨著石油工程、化工、路面工程和核廢料管理等領域的快速發(fā)展,飽和多孔熱彈性介質(zhì)中的波的傳播和反射問題已經(jīng)引起了人們的廣泛關注。Biot[1-2]首先建立了在等溫和高低頻條件下流體飽和多孔彈性介質(zhì)中波傳播的理論框架。隨后國內(nèi)外眾多學者[3-9]借助經(jīng)典的Biot波動理論從不同角度對不耦合熱的兩相飽和多孔彈性介質(zhì)中波的傳播特性進行了大量的研究工作。與等溫條件下的多孔介質(zhì)相比較,飽和多孔熱彈性介質(zhì)由于孔隙中的流-固兩相的相互作用以及熱和力之間的相互耦合,故而其波動響應問題變得更為復雜。Pecker等[10]研究了溫度對液飽和多孔彈性介質(zhì)中體波的傳播特性的影響,并給出了相應的方程,但沒有考慮面波的傳播行為。Singh[11]基于Youssef提出的熱彈性理論,研究了飽和多孔熱彈性介質(zhì)中面波的傳播特性,但該模型比較復雜,其中一些物理參數(shù)的意義不夠明確。劉干斌等[12,13]基于Biot波動理論及熱彈性動力理論,建立了飽和多孔彈性介質(zhì)熱-流-固完全耦合的動力響應模型及控制方程,對飽和多孔彈性介質(zhì)的熱動力響應進行了研究。

雖然目前國內(nèi)外學者[14-22]針對飽和多孔彈性介質(zhì)中波的傳播和反射問題做了一些研究,但對彈性波在飽和多孔熱彈性介質(zhì)中的反射問題涉及較少。因此,對于彈性波在飽和多孔熱彈性介質(zhì)表面的反射問題的研究顯得十分重要。本文在熱-流-固耦合動力響應模型的基礎上,建立了飽和多孔熱彈性介質(zhì)的熱-流-固耦合波動方程,通過引入勢函數(shù)并結合位移矢量和邊界條件,推導得到了向飽和多孔熱彈性介質(zhì)邊界入射平面S波后各反射波振幅反射率的理論表達式,最后通過參數(shù)分析討論了土體熱膨脹系數(shù)、入射頻率和入射角對各反射波的影響。

1 飽和多孔熱彈性介質(zhì)波動方程

飽和多孔介質(zhì)中熱彈性本構關系可表示為[12]:

σij=λeδij+2μεij-αpwδij-Kacθδij

(1)

式中:δij為Kronecker符號;σij為總應力;εij為應變;e為體應變;λ和μ為多孔彈性介質(zhì)的Lamb常數(shù);pw為孔隙水壓力;α=1-K/Ks(α≤ 1)為飽和多孔介質(zhì)的壓縮系數(shù),Ks為固體顆粒的體積模量(GPa);K=λ+2μ/3為土體在排水條件下的體積模量(GPa);ac為土體的熱膨脹系數(shù)(℃-1);θ=T-T0為溫度變化量,T和T0分別為絕對溫度和初始溫度(℃)。

忽略體積力后,飽和多孔介質(zhì)的運動方程可以表示為:

(2)

式中:ui和wi分別表示i方向的位移和流體的相對位移;ρ=(1-n)ρs+nρw為飽和多孔介質(zhì)的密度,ρs和ρw分別為固體顆粒和流體的密度(kg/m3),n為孔隙率。

應變關系為:

(3)

考慮溫度的影響下,飽和多孔介質(zhì)的滲流方程為[12]:

(4)

式中:M為Biot模量,1/M=n/Kw+(α-n)/Ks,Kw為流體的體積模量(GPa);ξ為流體相對應變;au=naw+(1-n)as-(1-α)ac,as和aw分別為固體顆粒和孔隙水的熱膨脹系數(shù)(℃-1)。

非等溫條件下飽和多孔介質(zhì)的液相連續(xù)方程為[12]:

(5)

式中:kl為飽和多孔介質(zhì)的滲透系數(shù)(m/s);DT為熱力滲透作用系數(shù)(m2/s·℃),反映飽和多孔介質(zhì)中溫度梯度對滲流的影響;g為重力加速度(m/s2)。

根據(jù)廣義的熱彈性理論,飽和多孔介質(zhì)中的熱傳導方程可以表示為[23]:

(6)

式中:k=(1-n)ks+nkw為飽和多孔熱彈性介質(zhì)的熱傳導系數(shù),ks和kw分別為固體顆粒和孔隙中流體的熱傳導系數(shù)(J/s·m·℃);C=(1-n)ρscs+nρwcw為土體比熱(J/m3·℃),cs和cw分別為固體顆粒和孔隙流體的比熱(J/kg·℃);t0為松弛時間(s)。式(6)為溫度控制方程,與運動控制方程式(2),(4)和式(5)相互耦合。由于經(jīng)典的溫度控制方程采用Fourier熱傳導定律,因此溫度控制方程為擴散方程,表示熱以無限大速度傳播,與物理事實不相符,而式(6)考慮了熱波(T波)的有限傳播速度,描述了一個有限速度的彈性波與有限速度的熱波的耦合系統(tǒng)。

結合式(1)～(6),經(jīng)過推導可以得到飽和多孔熱彈性介質(zhì)的波動方程為:

(7a)

(7b)

(7c)

式中:

由平面波條件e=divu和ξ=-divw可得到位移矢量形式的飽和多孔熱彈性介質(zhì)的波動方程為:

μ▽2u+a11▽(▽·u)-a12▽(▽·w)+

(8a)

a21▽(▽·u)-a22▽(▽·w)+a23▽θ=

(8b)

為便于分析,引進兩相介質(zhì)位移矢量的Helmholtz分解形式,即:

u=▽ψs+▽×Hs

(9a)

w=▽ψw+▽×Hw

(9b)

式中:ψs和ψw分別為固體骨架、孔隙水的標量勢函數(shù);Hs和Hw分別為固體骨架、孔隙水矢量勢函數(shù)。其中:

ψs=Bsexp[i(kpnr-ωt)]

(10a)

ψw=Bwexp[i(kpnr-ωt)]

(10b)

Hs=Csexp[i(ksnr-ωt)]

(10c)

Hw=Cwexp[i(ksnr-ωt)]

(10d)

設T波的勢函數(shù)方程為:

θ=BTexp[i(kpnr-ωt)]

(11)

將式(9a)、(9b)和(11)代入式(8a)～(8c),并對方程兩端進行散度和旋度運算,將波動方程解耦得到以下特征方程:

(12a)

(12b)

其中,式(12a)和(12b)分別表示飽和多孔熱彈性介質(zhì)中的壓縮波和剪切波的特征方程,兩個特征方程中的元素分別表示為:

式中:kp和ks分別表示飽和多孔熱彈性介質(zhì)中P波和S波的復波數(shù)。

對于式(12a)可以解出6個不同的復波數(shù)kp=Re(kp)+i Im(kp),式(12b)可以解出兩個不同的復波數(shù)ks=Re(ks)+iIm(ks),其中Re和Im分別為實部和虛部,Re反映常規(guī)波數(shù),Im反映波的衰減特性。由于振幅沿著波傳播的方向衰減,則Im(kp)>0,Im(ks)>0,故而kp只有3個有意義的復根,其中兩個為壓縮P1波和P2波的復波數(shù)kp1和kp2,第三個為T波(熱波)的復波數(shù)kp3,而ks只有1個有意義的復根,即為剪切S波的復波數(shù)。

2 S波的反射問題

2.1 熱彈性波的勢方程

設飽和多孔熱彈性地基中頻率為ω的平面S波以任意角度αrs入射至邊界處,在邊界處將產(chǎn)生四種反射波(反射P1波、反射P2波、反射T波和反射S波),如圖1所示。

圖1 平面S波的反射示意圖Fig.1 Reflection diagram of plane S-wave

對于飽和多孔熱彈性介質(zhì),即z≥0的部分,則有入射S波的勢函數(shù):

(13a)

反射S波的勢函數(shù):

(13b)

反射P波的勢函數(shù):

反射T波的勢函數(shù):

式中:krs和vrs分別表示入射S波的波數(shù)和波速;kfs和vfs分別表示反射S波的波數(shù)和波速;kfp1、kfp2和kfp3分別表示反射P1波、P2波和T波的波數(shù);vfp1、vfp2和vfp3分別表示反射P1波、P2波和T波的波速。

將式(10)和(11)代入式(12),可以推導出飽和多孔熱彈性介質(zhì)中的P波、T波和S波在不同介質(zhì)中的勢函數(shù)幅值比例關系如下:

(14a)

(14b)

式中:γ=1,2,3。

2.2 邊界條件

考慮地表為自由透水、絕熱邊界,則在地表z=0處有以下邊界條件:

(15)

其中

αM▽2ψw-(αauM+Kac)θ

(16a)

(16b)

pw=-αM▽2ψs+M▽2ψw+auMθ

(16c)

將式(13a)～(13d)代入式(16a)～(16c)并結合邊界條件式(15),略去公共項后可得如下矩陣形式的各幅值之間的關系式:

(17)

式中:上標T表示轉置,[D]為4×4階矩陣,[E]為4×1階矩陣,其中的元素分別為:

(αauM+Kac)δT1;

(αauM+Kac)δT2;

(αauM+Kac)δT3;

(18)

式中:nfp1、nfp2、nfT和nfs分別表示反射P1波、反射P2波、反射T波和反射S波的振幅反射率。

3 數(shù)值計算與討論

表1 介質(zhì)的材料參數(shù)

圖2分別表示在不同入射頻率條件下地基邊界處各反射波的振幅反射率隨平面S波入射角度的變化曲線。圖2表明,入射角的變化對各波的振幅反射率均有較明顯的影響。當平面S波的入射角為0°,即平面S波垂直入射至飽和多孔熱彈性介質(zhì)的邊界時,只存在反射S波,且其振幅反射率為1。隨著入射角的增大,反射P1波、反射P2波和反射T波的振幅反射率均隨之增大,當入射角達到某一臨界角時其振幅反射率開始減小。而反射S波的振幅反射率隨著入射角的增大而減小,且已有研究表明當入射角達到某一值時,其振幅反射率將增大。此外,由圖2可以看出平面S波的入射頻率對各反射波的振幅反射率亦有較大影響,主要表現(xiàn)為四種反射波的振幅反射率均隨著入射頻率的增大而增大。同時,可以看出在同一入射角和入射頻率下,四種反射波的振幅反射率按由大到小的次序排列依次為反射S波、反射P1波、反射P2波和反射T波。

圖2 不同頻率下各波振幅反射率隨入射角的變化Fig.2 Variation of the amplitude reflection ratio of different reflected wave with incident angle under different frequencies

圖3分別給出了在不同熱膨脹系數(shù)的飽和多孔熱彈性介質(zhì)的邊界上四種反射波隨平面S波入射角度大小的變化曲線。圖3中四種反射波的振幅反射率隨平面S波入射角的變化曲線與圖2計算結果保持一致。由圖3可知,飽和多孔介質(zhì)的熱膨脹系數(shù)對四種反射波的振幅反射率均有不同程度的影響,其中熱膨脹系數(shù)對反射P1波的影響最為顯著。可以看出,當熱膨脹系數(shù)au從2.0×10-4℃-1增大到4.0×10-4℃-1時,四種反射波的振幅反射率均有不同程度的增大,且反射P1波和反射S波的振幅反射率的增大幅度與反射P2波和反射T波的振幅反射率的增大幅度相差多個數(shù)量級。這是由于在飽和多孔介質(zhì)中,熱膨脹系數(shù)對于P1波有著很大影響,而其對P2波、T波和S波的影響基本可以忽略不計[23]。

圖3 不同熱膨脹系數(shù)下各波振幅反射率隨入射角的變化Fig.3 Variation of the amplitude reflection ratio of different reflected wave with incident angle under different thermal expansion coefficients

4 結語

本文基于多孔介質(zhì)理論和廣義熱彈性模型,研究平面S波由飽和多孔熱彈性介質(zhì)向其邊界入射并發(fā)生反射情形下,入射波頻率、土體熱膨脹系數(shù)和入射角對四種彈性反射波的振幅反射率的影響。通過數(shù)值算例并結合參數(shù)分析,得到以下結論:

(1) 平面S波的入射角對四種反射波的振幅反射率均有較大影響。當平面S波垂直入射時,只存在反射S波。

(2) 平面S波入射頻率的變化對四種反射波的振幅反射率亦有顯著影響,隨著入射波頻率的增大,四種反射波的振幅反射率亦將增大。

(3) 四種反射波的振幅反射率均隨著飽和土體的熱膨脹系數(shù)的增大而呈不同程度的增大。