機械能守恒中的繩索問題

厲浚宇

(浙江省慈溪中學，浙江 慈溪 315300)

圖1

例題.如圖1所示,總長為L,質量為m的光滑勻質繩索跨過一個光滑的輕質小滑輪,開始時下端A、B相平齊,當略有擾動時其一端下落,則當繩索剛脫離滑輪的瞬間,繩索的速度為多大?

對于這一類繩索,鐵鏈問題,由于它們會發生形變,其重心位置并不是固定不變的,因此在考慮的時候,我們首先需要確定其重心位置,然后抓住重心位置的變化而得到重力勢能的變化,再根據機械能守恒來求得最終的速度.

常規的解法: 繩索剛離開滑輪時,相當于原來的BB′部分移到了AA′的位置．由于滑輪很小,我們可以通過對折來求重心,也可以分段求出各部分的重力勢能,再求出代數和作為總的重力勢能.

圖2

從初始位置到繩索剛離開滑輪,

重力勢能的減少量為

動能的增加量

根據機械能守恒定律有

-ΔEp=ΔEk.

解得繩索剛脫離滑輪時的速度為

圖3

初始位置繩的質心坐標為

根據機械能守恒,可以得到

即

解得此時繩子的運動速率為

下面利用微元法和質心運動定律求解滑輪對繩索的作用力F,在t時刻和t+Δt時刻系統動量分別為

對繩索進行受力分析,繩索受到豎直向下的重力和豎直向上的滑輪對繩索的作用力,因此有

解得

當繩索與滑輪脫離時,F=0,即

解得

因為

所以得

也就是說,當繩索右側長0.85L時,繩索已脫離滑輪．此時繩索速度應為

所以對于此類問題,應該從更嚴謹的角度去求解,不能用一般習慣性的思維.