一種共振演示儀工作原理的研究

姜付錦 吳 珊

(武漢市黃陂區第一中學，湖北 武漢 430300)

1 提出問題[1]

圖1 4個單擺

如圖1所示,在一條張緊的繩子掛4個擺,其中A、B的擺長相等．當A擺振動的時候,通過張緊的繩子給其他各擺施加驅動力,使其余各擺做受迫振動．驅動力的頻率等于A擺的頻率．其他各擺的固有頻率取決于自己的擺長．B、C、D3個擺在驅動力作用下開始擺動,觀察它們的振幅的差別．3個擺的振幅與它們固有頻率有什么關系?

教師用書上說,A擺是驅動擺為其它擺提供周期性的驅動力,頻率就是A擺的固有頻率．因為B擺與A擺的擺長相同,固有頻率一樣,所以B擺做受迫振動的振幅最大,C、D兩擺的固有頻率與A擺相差較大,所以受迫振動的振幅比B擺小．

2 心存疑惑

筆者通過實驗發現:只要時間足夠長,A擺和B擺的振幅相對較大,且振幅隨時間做周期性變化;C、D兩擺的振幅相對較小,振幅也是隨時間做周期性變化,4個擺的運動不具備簡諧運動的特征,所以筆者以為它們不是受迫振動,也不是簡諧振動,而是一種復雜的振動系統．筆者嘗試對這個振動系統提出一種理論模型,通過理論分析和數值模擬對實驗中發現的一些現象做出一些解釋．

3 問題解析

固定框架上兩端張緊的輕繩等距懸掛擺長不等的若干單擺,設擺長分別為L1、L2、L3……Ln,n個單擺組成振動系統,為簡便取擺球質量均為m．假定擺系統的總機械能在擺動過程中沒有損失,輕繩因力的作用而產生微小彈性形變,正是這微小的彈性形變傳遞了機械能．圖2所示為垂直于張緊輕繩的小球擺動所在正視面,小球擺動引起輕繩在水平位置微小位移,忽略輕繩在豎直方向上的形變量,取輕繩平衡位置為原點O,建立坐標Ox軸,位移向右為正,向左為負;擺角向右為正,向左為負,圖中d是彈性輕繩相對平衡位置的水平方向上的微小位移．設某一時刻各個小球相對于坐標原點的位置如圖2中所示,根據牛頓運動定律寫出每個小球的動力學微分方程如下.

圖2 建立動力學微分方程

3.1 3個擺球的振動系統

圖3 3個單擺

如圖3所示,張緊的水平繩上吊著A、B、C3個小球,B靠近A,但兩者的懸線長度不同;C遠離球A,但兩者的懸線長度相同,現讓A在垂直于水平繩的方向擺動,分析另外兩個球的運動規律．為了研究問題方便,不妨設L1=L2=L,L3,m1=m2=m3=m.

(1)

3.2 3個小球振動的本征頻率

設m=1 kg,k=5 N/m,L=20 m,L3=10 m,v0=1 m/s,g=10 m/s2,代入以上微分方程組(1)式后得

(2)

根據文獻[4]中的方法可以發現,式(2)是二階常系數線性齊次方程組,具有

x1=A1ept,x2=A2ept,x3=A3ept.

形式的解,代入式(2),得

(3)

此方程組非零解的充要條件是

(4)

由此得6個本征值為

(5)

其實本征頻率只有3個,即式(5)中的3個正值．

再結合式(5)和初始條件可以求得3個小球的振動方程如下

(6)

3.3 數值模擬

圖4 A球的振動圖像

圖5 C球的振動圖像

圖6 B球的振動圖像

通過分析以上三幅圖可以發現,A、C兩球振動的幅度相對較大,振動特點類似耦合擺,[4]且振幅變化規律與差拍現象[3]類似;B球的振幅相對較小,它們的振幅都是隨時間周期性變化,而且振幅變化周期近似相同,它們不具備簡諧振動的特征．數值模擬的這些特點與在實驗中觀察到的現象是吻合的．

4 結語

這種理論模型可以解釋實驗中觀察到的一些現象:共振演示儀中各個小球的機械能是通過張緊的輕繩在各個小球之間來回傳遞,當系統振動達到穩定后,不再有“受迫擺”和“驅動擺”之分,它們對系統穩定的貢獻是“平權”的,沒有主次之分．擺長相等的兩個擺振動幅度相對較大,振動規律近似相同,而擺長不同的擺振動幅度相對較小．每個小球的振幅都是隨時間做周期性變化,且振幅變化的周期近似相同,所以每個小球發生的振動不是簡諧振動,是一種特殊的振動現象．理論分析還表明:系統振動的本征頻率個數與單擺個數相等,各個本征頻率與各個小球的質量、擺長、輕繩的彈性系數及重力加速度有關．