雨滴下落情況的理論分析

2021-03-26 02:20:54謝禮平

物理教師 2021年2期

謝禮平

(南京東山外國語學校,江蘇南京 211103)

1 問題提出

某高三物理訓練卷中出現這樣一道習題.

例題.已知雨滴在空中運動時所受的空氣阻力f=kr2v2,其中k為比例系數,r為雨滴的半徑,v為雨滴下落速度,t=0時,雨滴由靜止開始沿豎直方向下落,落地前雨滴已做勻速直線運動且速率為v0,用a表示雨滴的加速度,g表示重力加速度,下列圖像可能正確的是

圖1

本題給出的正確選項為(A)、(B)、(C)．針對(A)選項,許多教師展開了熱烈的討論,都覺得這是一個錯誤選項,理由如下.由牛頓第二定律

(1)

這是一個關于時間t的函數式,兩邊求導數,可得

(2)

設x為雨滴下落某時刻的位置,根據初始條件:

當t=0時,x=0,v=x′=0,故在初始時刻加速度對時間的變化率應為0,(A)選項與此結論矛盾,該選項是錯誤的．

以上討論,由初始位置的信息確定了(A)是錯誤選項,那么,從教師角度來看,(A)選項表示的加速度圖像究竟是什么形狀?(B)選項也是正確的嗎?

2 問題探究

2.1 推導雨滴下落的位置時間關系、速度時間關系以及加速度時間關系表達式

原題中的已知條件都是以字母的形式呈現的,為使得問題的討論更切合實際,本文從數據的層面上討論本題．

百度搜索可知,下落中的雨滴的最常見半徑為r=1 mm,這樣大小的雨滴下落的最終速度約為v0=5 m/s,假設這些數據是真實的,取g=10 m/s2.

當雨滴勻速下落時,有

kr2v02=mg.

(3)

(4)

由(3)、(4)兩式可得

代入數據可得k≈1.67 kg2/m3.

將此結果代入(1)式可得

a+0.4v2-10=0.

這是一個關于時間t的函數式,將其轉化為位置x的二階微分方程,得

x″+0.4x′2-10=0.

(5)

令x′=p,那么

可將(5)式化為

上式進一步變形為

湊項得

兩邊積分可得

ln|0.4p2-10|=-0.8x+C1.

整理得

0.4p2-10=C2e-0.8x.

(6)

根據初始條件

當t=0時,x=0,p=x′=0,代入上式得C2=-10.

于是(6)式可化為

0.4p2=10-10e-0.8x.

解得(負值舍去)

即

得到

再次湊項

兩邊積分得

根據初始條件,當t=0時,x=0可得C3=0.

于是可得

化簡上式得

進一步化簡為

(7)

(7)式為雨滴下落的位置與時間的函數關系式,對(7)式求導數,得到雨滴速度表達式

(8)

進一步求導數,得到雨滴加速度表達式

(9)

2.2 描繪(7)—(9)3式圖像

在手機(如HUAWEI Mate30 5G)下載超級計算器APP,名為“Maple Companion”.

打開APP,分別輸入3個函數式: 圖1與(7)式對應的雨滴下落的位置時間圖像,縱坐標表示雨滴下落相對于出發點的位置,橫坐標表示下落時間.圖2與(8)式對應的雨滴下落的速度時間圖像,縱坐標表示雨滴下落的速度大小,橫坐標表示下落時間.圖3與(9)式的對應的雨滴下落的加速度時間圖像,縱坐標表示雨滴下落的加速度大小,橫坐標表示下落時間．由于t>0,所以,對于圖1—3,只需要觀察第一象限的圖像即可．